北师大版八年级数学常见题型专练：勾股定理的应用（3种题型）（原卷版）

第03讲勾股定理的应用（3种题型）

W【知识梳理】

--勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应

用.

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线

段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为

边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正

整数的直角三角形的斜边.

二.平面展开-最短路径问题

（1）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之

间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在

解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型.

W【考点剖析】

题型一.勾股定理的实际应用

例1.如图，一棵树从3帆处折断了，树顶端离树底端距离4〃z,那么这棵树原来的高度是（

）

4m

A.8mB.5mC.9mD.7m

【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到

地面后还多出1〃?，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距

离旗杆底部5加，由此可计算出学校旗杆的高度是（）

A.8mB.10mC.12mD.15”？

例2.如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外

2cm,当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度.

【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m,当他把绳子

的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.

题型二.平面展开-最短路径问题

例3.如图，长方体的底面边长是1cm和3cm,高是6cm,如果用一根细线从点4开始经

过4个侧面缠绕一圈到达3,那么用细线最短需要（）

A.12cmB.10cmC.13cmD.11cm

例4.一个上底和下底都是等边三角形的盒子,等边三角形的高为70cm,盒子的高为240cm,

M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？

A

M

【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm,底面半径等于3c在圆柱的底面A

点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n

取3）

题型三：勾股定理中的折叠问题

例5.如图，矩形纸片ABCD中，AB^4,45=3,折叠纸片使的边与对角线重合,

A.1B.-D.2

32

【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点。恰好落在边上尸点处，已知

CE=3cm,AB=8cm,求图中阴影部分的面积.

AD

【过关检测】

选择题

1.如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉

向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（

B.11尺C.12尺D.13尺

2.如图，已知圆柱底面的周长为12cm,圆柱高为8cm,在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌

有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（

A.10cmB.20cmC.V208cmD.100cm

3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离

为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端

距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）

A.0.8米B.2米C.2.2米D.2.7米

4.如图，台阶阶梯每一层高20c〃，宽30M,长50C〃，一只蚂蚁从4点爬到8点，最短路

程是（

A.10A/89B.5075C.120D.130

二.填空题

5.如图，圆柱的高为8cm,底面半径为2cm,在圆柱下底面的4点处有一只蚂蚁，它想吃

到上底面B处的食物，已知四边形AO8C的边4。、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁

吃到食物爬行的最短距离是

.（F取3）

B

D

6.《九章算术》中的"引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央,

出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池

塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺.如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶

部恰好碰到岸边（如图所示），则水深尺

7.《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今

有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一

丈的竹子（1丈=10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三

尺，问折断处离地面的距离为.

三.解答题

8.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”

问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图

所示，△ABC中，NACB=90°，AC+AB=10,BC=4,求AC的长.

9.如图，一架25米长的梯子A3斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端3离墙A0有7

米.

（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？

（2）小燕说"如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端3在水平方向就滑动了

4米.”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由.

10.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD,如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测

量EL4=90。，AB=3m,BC=12m,CD=13m,0A=4m,若每平方米草皮需要200元，问要

多少投入?

11.我国古代的数学名著《九章算术》中记载"今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问：

折者高几何？"

译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离

原竹子根部3尺远.问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）

12.如图，一个梯子AB,顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24

米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB

是多少？

13.（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台

A,利用旗杆顶部的绳索，划过90。到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B,

（1）求高台A比矮台B高多少米？

（2）求旗杆的高度OM;

（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度/WN.

14.如图，四边形ABC。是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网.经过测量得知：NB=

90°,4B=24m,BC=7m,CD=15m,AD^20m.

（1）判断/。是不是直角，并说明理由；

（2）求四边形A8C。需要铺的草坪网的面积