2025中考数学专项复习：规律探究（原卷版）

专题02规律探究（考题猜想，8种热考题型）

型大裳合

_____

题型一、规麟究一■规律（共11题）

题型二：规麟究一数字宝塔（共7题）

题型三：规麟究一乘方规律（共9题）

题型四：规麟究幻方规律（共7题）

规律探究

题型五：规律探究幻圆规律（共7题）

题型六：规麟究一特殊结构（共诵）

题型七：规麟究一数形规律（共7题）

题型八：规麟究一列代数式解决面积问题（共4题）

大通关

题型一：规律探究一一数表规律（共11题）

1.（2022秋•简阳市期中）如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据

此规律，可推测出机的值为（）

A.0B.1C.4D.8

2.（2021秋•泾阳县期末）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子

中所填整数之和都相等，则第2021个格子中的数为（）

-1abc25

A.-1B.0C.2D.5

3.（2023秋•钟山区期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学

符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将9个数填入三阶幻方的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三

个数之和相等.如表是一个未完成的三阶幻方，则表中机的值为（）

FTB

8机

（1）正方形（4）中，m=；

（2）正方形（"）中，a=，b=，c=,m=.（用含〃的代数式表示）

5.（2023秋•坪山区期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值

为—.

-1324-3546a10

0-1314-2-13534.......bX.......

第1个第2个第3个第4个.......

6.（2023秋•莲池区校级期末）数学活动——探究日历中的数字规律：如图1是2023年11月份的日历，小

乐在其中画出一个3*3的方框（粗线框）,框住九个数,计算其中位置如图2所示的四个数“S+c）-（a+d）”

的值.探索其运算结果的规律.

（1）初步分析：计算图1中（8+20）-（6+22）的结果为；

将3x3的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现（6+。）-（。+d）的值均为—；

（2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整.

解：设”=尤，贝!]Z?=x+2,c=x+14,d=

(b+c)—(a+d),

=(x+2+x+14)-(),

所以，@+c)-(a+d)的值均为

(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究.请从下列A,3两题中

任选一题作答.我选择—题.

A.在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“(6+c)-(a+d)”的值的规律,写出你的

结论，并说明理由;

B.在日历中用“y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“(6+c)-(a+d)”的值的规律,写出你的

图1图2图3图4

7.（2023秋•恩平市期末）如图1,边长为ac机的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可

制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为xcm.

（1）这个纸盒的底面积是cm2,高是（用含a、x的代数式表示）.

（2）x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：

x/cm123456789

纸盒容m72n

积/czz?

请通过表格中的数据计算：m=—,n=

（3）若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒.

①若为该纸盒制作一长方形盖子，则该长方形的两边长分别是—cm,—cm（用含。、y的代数式表

示）；

②已知A,B,C,。四个面上分别标有整式2（根+2）,机，-3,6,且该纸盒的相对两个面上的整式的和

相等，求“7的值.

8.（2022秋•青岛期中）如表所示的数中，第〃+3个数比第w个数大2（其中〃是正整数）.

第1个数第2个数第3个数第4个数第5个数

abCa+2b+2

（1）第6个数可表示为；第7个数可表示为

（2）若第22个数是12,第23个数为61,贝,b=

（3）第2025个数可表示为

9.(2023秋•盂县期末)阅读下列材料，并完成相应的任务.

书柜中序号的秘密

数学课上，李老师借助教室里书柜上的号码(如图1),带领同学们展开活动，探寻数字之间存在的规律.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313333343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566卫生工具

图1

勤奋小组发现：如图2,用阴影任意框出一个“Z字型”，下面两行数字之和与上面两行数字之和作差可得

到一个定值.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313233343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566卫生工具

图2

若将“Z字型”中左上角的数字设为机，则上面一行右边的数字为帆+1,下面一行左边的数字为根+15,

右下角的数字为m+\6.所以[(w+15)+(m+16)]-[m+(m+1)]=30.

智慧小组受到勤奋小组的启发，如图3,用阴影任意框出一个“8字型”，发现七个数字之和与中间数字存

在着一定的关系.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313233343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566卫生工具

图3

任务：

(1)请写出智慧小组发现的关系，并说明理由.

（2）小明同学提出：在图3中，智慧小组框出的七个数字之和可以等于364.他说的正确吗？请说明理由.

10.（2023秋•湖北期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其

中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.

11ab2-7c

（1）可求得q=,b-,c=；

（2）第2023个格子中的数为；

（3）若前机个格子中所填整数之和S=666,则机的值为多少？若S=2033,%的值为多少？

（4）若b<x<c,则|尤-a|+|x-Z?|+|x-c|的最小值为.

11.（2022秋•连平县期末）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格

子中所有整数之和都相等.

(1)可求得x=，★=，☆=

(2)定义新运算，a*b=2{a+b),例如5*6=2x(5+6)=22,若y=[(-1)*(-0.5)]*2,则丁=

（3）数轴上A、3两点对应数为y、x（已在前两问求得），P点为数轴上一动点，尸点从原点出发，如果

A点、3点和P点分别以速度为1、2、3（单位长度/秒）向右运动，经过几秒后，P为的中点.

题型二：规律探究一一数字宝塔（共7题）

1.（2022秋•越秀区期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，

图中两线之间的一列数：1,3,6,10,15,我们把第一个数记为％,第二个数记为电，第三个数记为

的，…,第〃个数记为则。4+。11值是（）

1

A.96B.45C.76D.78

2.（2021秋•桥西区校级期末）观察下面一列数：-1,2,-3,4,-5,6,-7…，将这列数排成下列形式:

照上述规律排下去，则第九行中左边第6个数是（）

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

A.70B.-70C.69D.-69

3.（2022秋•恩施市期中）将自然数按照下列规律排列成一个数阵根据规律，自然数2021应该排在从上往

下数的第机行，是该行中从左往右数的第〃个数，那么根+〃=（）

o

23

45678

9101112131415

A.129B.130C.131D.132

4.（2021秋•荔湾区校级期中）已知一列数：1、-2、3、-4、5、-6、…，将这列数排成如图形式:

1

-23

-45-6

7-89-10

11-1213-1415

按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是.

5.（2021秋•凤山县期末）观察下面一列数：1,-2,3,-4,5,-6,7…将这列数排成如图形式，%为第

i行第j列，如a2i=-2,那么&=

1

-23-4

5-67-89

-1011-1213-1415-16

6.（2023秋•梁子湖区期中）将自然数按照下列规律排列成一个数阵，根据规律，自然数2023应该排在从

上往下数的第相行，是该行中从左往右数的第〃个数，那么m+〃的值是

0

123

45678

9101112131415

7.（2020秋•庐阳区期末）如图数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答:

1

234

56789

10111213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

（1）第8行的最后一个数是一；

（2）第几行的第一个数是—，第〃行共有一个数；

（3）数字2021排在第几行？从左往右数，第几个？请简要说明理由.

题型三：规律探究一一乘方规律（共9题）

1.（2023春•泗县期末）任意大于1的正整数根的三次累均可“分裂”成根个连续奇数的和，如：23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19,…按此规律，若力分裂后，其中有一个奇数是2023,则根的值是（

)

A.46B.45C.44D.43

2.（2022秋•岳西县期末）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；己知

按一定规律排列的一组数：个00,2101,2102,2199,2200,若2K用含a的式子表示这组数据的和是

（）

A.2a2—2。一2B.2al+ciC.2al—2aD.2al—a

3.（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：

1+2+3+…+100=?经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+=+其中〃是正整数.现

在我们来研究一个类似的问题：1X2+2X3+3X4+...+〃（〃+1）=?观察几个特殊的等式：

Ix2=1x（lx2x3-Oxlx2）,2x3=1x（2x3x4-lx2x3）,3x4=1x（3x4x5-2x3x4）,将这三个等式的

两边相加，可以得到1x2+2x3+3x4=2x3x4x5=20.读完这段材料，请你思考后计算：

3

Ix2+2x3+3x4+…+50x51的值是（）

A.41650B.44200C.46852D.49608

4.（2023秋•凉山州期末）大于1的正整数”的三次基可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19,…则133分裂出的奇数中最大是（）

A.165B.169C.179D.181

5.（2023秋•德城区期末）观察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

根据其中的规律可得7°+7+7。++7皿3的结果的个位数字是—.

6.（2023秋•蒙城县期末）观察下列算式，

『+22=^1^；P+22+32

666

C2C2A24x5x9

I2+22+32+42=----------；........

6

根据你发现的规律，用一个含〃的算式表示：12+22+32……+/=

7.(2023秋•历下区期末)【发现问题】

小明在计算过程中有一个有趣的发现：

1x2x3,

12=-----=i;

6

f+22=2x3x5=5；

6

9—9-23x4x7..

12+22+32=------=14；

6

产+22+32+42=93=30.

6

【解决问题】

(1)12+22+32+42+52=.

(2)12+22+32+42++*=.

【应用新知】

对于自然数〃和〃，规定=如542=52+(5—1了=41.

(3)i+W1A2+2A2+3A2+4A2++12A2.

8.(2023秋•禹州市期中)已知”..2,且〃为自然数，对/进行如下“分裂”，可分裂成〃个连续奇数的和,

如图：

即如下规律：2?=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,...

(1)按上述分裂要求，将5分裂成奇数和的形式：52=；IO?可分裂的最大奇数为.

(2)按上述分裂要求，/可分裂成连续奇数和的形式是：〃2=I+3+5+…+(填最大奇数，用含力的

式子表示)；

(3)用上面的规律求：5+1)2

1

13g

22

37

9.（2023秋•平舆县期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示.

（1）仿照图1,在下面的图中补全67的平方的“竖式”；

（2）仿照图1的方法，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，并且这个两位

数某一个数位上的数字也是则这个两位数为（用含a的代数式表示）.

322=1024|

9

004

r2.L.J

L...1

0,2：4|

图1图2图3

题型四：规律探究一一幻方规律（共7题）

1.（2023秋•丹江口市期末）

c

Xa

8

b

-6

d

幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格•将9个数填入幻方的空格

中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等.如图为一个三阶幻方的一部分，则x

的值为（）

A.-2B.0C.1D.2

【分析】根据幻方的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次

方程，解之即可得出尤的值.

x+b+d=a+b-6

【解答】解：根据题意得:

x+a+c=c+S+d

[x+d=a-6®

即<

[x+〃=8+^7(2)

(X)+②得:2x+a+d=Q+2+d9

解得：x=l.

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关

键.

2.（2023秋•朝阳区期末）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中

的点数分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9.每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15.如

图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那

A.5B.1C.0D.-1

3.（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格.将

9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就

A.4B.5C.6D.7

【分析】如图（见解析），根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等建立方程，解方程

即可得.

【解答】解：如图，

由题思1*导：x-5+8=x+a-2,

解得：4=5,

-2+Z?+8=~5+b+d,

解得：J=11»

—2+ll+e=8+c+e,

解得：C=lf

—5+>+d=8+l+e,即：-5+》+ll=8+l+e,

解得：Z?=3+e,

x—5+8=8+c+e,即无-5+8=8+l+e,

解得：x=6+e,

贝ljx+b+e=8+l+e,即6+e+3+e+e=9+e,

解得：e=0,

所以九一5+8=8+c+e,即％+3=9,

解得：x=6.

故选：3C.□

S□

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键.

4.（2023秋•青岛期末）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载的龟背图是最早的幻方.如

图所示，若将数字1〜9填入这个3x3幻方中，恰好能使每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和

相等，则根的值为.

M

nn□

二

□

一l-2m

【分析】根据幻方中每一横行和两条对角线上的数字之和相等，即可得出关于根的一元一次方程，解之即

可求出m的值.

【解答】解：依题意得：7+2=5+（l-2m）,

解得：m=——.

2

故答案为：-

2

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

5.（2023秋•椒江区校级期末）幻方是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代的《洛书》一九宫图.三

阶幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）.则图2的九

格幻方中的9个数的和为（用含“的式子表示）

276a—4a

951a+4

438

【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的二个数的和都相等做出图形，设右下角为6,列方程

求解，

【解答】解：右下角的数为6.

可知左上角为6+8，

所以最中间的格内的数为a+a+4+b-（b+8+b）=2a-b-4,

同理可求，第二行左侧格内的数为26-a+4,

第三行中间格内的数为％-。+12,

左下角格内的数为26-a+8,

所以a+a+4+6=2b—a+8+2Z?一a+12—b，

整理得b=a-4,

所以a+a+4+b=3a,

所以图2的九宫格幻方中的9个数的和为3ax3=9a,

故答案为：9a.

b+8a—4a

2b-a+42a—b—4a+4

2b-a+82b-a+12b

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键在于熟练掌握运算法则，

6.（2023秋•高新区期末）将9个数填入幻方的九个格中（如图1）,使处于同一横行、同一竖列、同一斜对

角线上的三个数的和相等,若将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图2,则这9个数的和为_9a+18

（用含。的整式表示）.

492

357a+3

816aa+5

图1图2

【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于。与x

的方程，可得x=a+l,进一步求出这9个数的和即可.

【解答】解：如图所示：

x+2-a+2x-33a-2x+6

a+32a+3—x-a+2x—1

aQ+5X

图2

ci+2a+3—x+3a—2x+6=a+a+5+%，

角窣得光=a+1,

a+a+5+x=2a+5+a+1=3a+6,

3（3a+6）=9Q+18.

故答案为：9a+18.

【点评】此题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7.（2023秋•漳州期末）探寻神奇的幻方

幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三

阶幻方（如图1）,将9个数填在3x3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上

的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方.

（1）研究发现：三阶幻方最中间的数字与9个数字的和有确定的数量关系.如果设三阶幻方最中间的数字

为〃，9个数字和为s,则5=（用含〃的代数式表示）；

（2）图2是一个未完成的三阶幻方，求a,6的值;

（3）图3是一个未完成的三阶幻方，求c的值.

题型五：规律探究一一幻圆规律（共7题）

1.（2023秋•黄岛区校级期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、

9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个

顶点上的数字之和相等.现有如图2所示的“幻方”，则的值是（）

图1图2

A.-27B.-1C.8D.16

2.（2023秋•锡山区期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将

-6,8,-10,12,-14,16,-18,20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内

4个数字之和都相等，则a+6的值为（）

A.-28或-10B.-28或10C.2或一2D.2或一16

3.（2023秋•商南县校级期末）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将-1、2、-3、4、-5、6、

-7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4、6、-7、8

这四个数填入了圆圈，则图中6的值为（）

4.（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1,-2,-3,3,4,6,-7,

8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4,6,-7,8这四

个数填入了圆圈，则图中a+b的值为.

5.（2023秋•常德期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个

顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将T,-2,-1,2,3,4,6,7填入如

图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则。+6的值为—.

6.（2021秋•南安市期中）现有七个数-1,-2,-2,-4,-4,-8,-8将它们填入图1（3个圆两两相交分

成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为加，如图2给出了一种填法，此时机=64,

在所有的填法中，机的最大值为

7.（2023秋•光明区期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）.“洛书”是一

种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用

今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）.三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9,数字不

重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等.

（1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整；

（2）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3）,请补全这个新的三阶幻方；

（3）如图4,有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“O”.将-11、-9、-7、-5、-3、-1、2、

4、6、8、10、12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处中的数

的和都为2.请直接写出〃俏的值.

题型六：规律探究一一特殊结构（共6题）

1.（2022秋•黄石港区期中）对于自然数”，将其各位数字之和记为与，如的>19=2+0+1+9=12,

%020=2+0+2+0=4,贝%+4+4+—+々2019+“2020=（）

A.28144B.28134C.28133D.28131

2.（2023秋•金台区期末）观察下表三行数的规律，回答下列问题：

第1列第2歹1」第3歹U第4歹1」第5歹U第6歹U

第1行-24-8a-3264

第2行06-618-3066

第3行-12-48-16b

（1）第1行的第四个数，是—；第3行的第六个数。是

（2）若第1行的某一列的数为c,则第2行与它同一列的数为—；

（3）已知第〃列的三个数的和为2562,若设第1行第〃列的数为X,试求x的值.

3.（2022秋•常德期末）阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为q,

第二个数记为电，第三个数记为例，以此类推，第几个数记为45为正整数），符号“fq”表示从这列

Z=1

数的第一个数开始依次加到第〃个数的和，即$>,.=%+%+/++?，例如：一列数1，3,4,7,9中，

Z=1

3

q=l，a2=3，。3=4，。4=7，Q5=9，工6=a1+%+q=1+3+4=8；

i=l

4

〉:（2-=4+a2+q+“4=1+3+4+7=15.

i=i

请解决下面的问题：

5

（1）已知一列数一1,2,-3,4,-5,6,-7,8,-9,10,求的值；

（=1

（2）已知一列数0,-3,6,-9,12,-15,18,-21,24,-27,按照规律可以无限写下去，那么

100

Goo的值是多少？并求的值；

1=1

（3）在（2）的条件下，是否存在正整数〃使等式|=2022成立，若存在请求出〃的值，不存在请说明

1=1

理由.

4.（2022秋•崂山区校级期末）现场学习：观察一列数：2,4,8,16,这一列数按规律排列，我们把

它叫做一个数列，其中的每个数，叫做这个数列中的项，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2,

我们把这个数列叫做等比数列，这个常数2叫做这个等比数列的公比.

一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，

这个常数就叫做等比数列的公比.

解决问题：

（1）已知等比数列3,6,12,24...,那么它的第八项是—.

（2）己知一个等比数列的各项都是正数，且第2项是10,第4项是40,则它的公比为—.

（3）如果等比数列%,a2,a3,a4,...»公比为q,那么有：a2=44,0,=的"=（44）4=,…，.（用

%与4的式子表示，其中"为大于1的自然数）

拓展应用：

等比数列3,6,12,24...,那么它的第〃项是.

5.（2022秋•宛城区期末）（1）观察一列数q=3,%=9,%=27,a4=81,a5=243...,由此我们发现这

一列数从第二个数开始，每一个数与前一个数之比是一个常数，这个常数是—，根据此规律，如果为（〃

为正整数）表示这一列数的第"个数，那么：4=—，%=一•（可用幕的形式表示）

（2）如果想要求l+2+2?+23+,+2i°的值，可令Si。=1+2+2?+23+...+21°①，

将①式两边同乘以2,得2工0=②，

由②减去①式，得1+2+22+23++严=/=_..

（3）若（1）中这一列数共有20个，设$2。=3+9+27+81+...+32°,请利用上述规律和方法计算工。的值.

（4）设一列数1,1,,白的和为S“，则S,的值为—.（提示等式=

6.（2020秋•科尔沁区期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为4,第二个数记为〃2,第三个数

记为〃3，以此类推，第〃个数记为（几为正整数），如下面这列数1,3,5,7,9中，q=l,%=3,

〃3=5,%=7，。5=9.规定运算s〃皿4:%）=/+/+/+…+。〃.即从这列数的第一个数开始依次加到第

〃个数，如在上面的一列数中，s〃加（弓：叼）=%+W+/=1+3+5=9.

（1）已知一列数1,一2,3,-4,5,-6,7,一8,9,一10,则。3=，sum{ax：^10）=.

（2）已知一列有规律的数：（-Dil,（-1）2x2,（-1）3x3,（-1）4x4,…，按照规律,这列数可以无限的

写下去.

①求S"皿q：%020）的值；

②是否有正整数〃满足等式帆（q:〃,）=-50成立？如果有，求〃的值，如果没有，说明理由.

题型七：规律探究一一数形规律（共7题）

1.（2023秋•九龙坡区期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有

4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色

圆片，…，依此规律，第10个图案中的白色圆片个数为（）

m8W88Wa8-

第1个第2个第3个第4个

A.20个B.22个C.24个D.26个

2.（2023秋•景县期末）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中

点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，…，按此规律操作

下去，则第“5为正整数）个图形中正方形的个数是（）

D.4〃一1

3.（2023秋•历城区期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为

4,图2中★的个数为电，图3中★的个数为生…，以此类推，第〃幅图中★的个数为a,,,则

★★★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★

★★★★★

'+'+'+...+-一的值为（）图1图2图3图4

q%”302023

2023n20222024口2025

AA.------B.------c

20242023.2023・2024

4.（2023秋•西城区校级期中）图1中的1,3,6,10,…，由于这些数能够表示成二角形，将其称为二角

形数；类似地，称图2中的1,4,9,16,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数

的是（）

1361014916

图I图2

A.15B.25C.36D.49

5.（2022秋•东源县期末）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地

砖的数量是（）

C.365D.369

6.（2022秋•梁子湖区期末）图中都是由棱长为。的正方体叠成的几何体.第1个几何体由1个正方体叠成,

第2个几何体由4个正方体叠成，第3个几何体由10个正方体叠成，…，按此规律，记第〃个几何体由相

个正方体叠成，其中〃=1,2,3,则++―L—+…++的值为（）

X2-X1x3-X2x4-x3x9-X8石o—X9

2021

A.2B.WD.

1111TTTT

7.（2023秋•和田地区期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第

10个图形共有个O.

oooooooo

o

第4个

题型八：规律探究一一列代数式解决面积问题（共4题）

1.（2024秋•朝阳区校级期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）.现准备铺设地面,

三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖.

（1）求a的值;

（2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含x的代数式表示）

（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米.装修公司有A、3两种活动

方案，如表:

活动方案木地板价格地砖价格总安装费

A8折8.5折2000元

B9折8.5折免收

已知x=2,则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？

2x

产——>

厨房卫生间

卧室2

卧室14

餐厅

v

客厅

卧室34

Vv

106

2.（2023秋•苍南县校级月考）根据以下素材，尝试解决问题.

我是小小预算师