2025中考数学一轮复习：实数及其运算（讲义）（原卷版）

第01讲实数及其运算（讲义）【3大考点16大题型】

知识网络

题型1实数的相关概念辨析

题型2实数与数轴

题型3用科学记数法表示数

题型4估算无理数

题型5实数的大小比较

题型6平方根、立方根及非负性的性质

题型7实数的简单运算

,（题型8数的简便运算

题型9实数的混合运算

（题型10实数的实际应用）

题型11实数计算中的规律问题

L实数的分类

分法一：

J正有理数［有限小数或

「有理数1op无限循环小数

实数〔负有理数J

「正无理数］

I无理数1卜无限不循环小数

I负无理数」

分法二：

'正实数

实数

负实数

2.实数的相关概念

(1)数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

(2)相反数

代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

一般地，。和互为相反数。0的相反数是0。

a=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a=0o

(3)绝对值

定义：一般地，数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作同。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：如果a>0,那么⑷=a；

如果a=0,那么|a|=0；

如果。<0,那么⑷=-ao

a=|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a>0o

(4)倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果。与6互为倒数，则有而=1,反之亦成立。

a」所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，«=±lo

a

(5)科学记数法

定义：把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整数)，这种记

数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。

用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，”是原数的整数数位减1得到的正整数。

用科学记数法表示一个绝对值小于1的数Qxi（r）时，〃是从小数点后开始到第一个不是o的数为止

的数的个数。

（6）近似数

一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十

分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；…。

3.平方根、算术数平方根和立方根

平方根

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

正数有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0;负数没有平方根。

算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“正”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

立方根

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

4.实数的大小比较

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，a—b>0<=>a>b;a—b=0=a=b;a—b<0<=>a<b;

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，：>1Qa>b；a=b；a<b：

bbb

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则|a|>|b|oa>b；

（5）平方法：设a、b是两负实数，则a2>b20a<b.

典例分析

【题型1实数的相关概念辨析】

【例1】（2024•黑龙江大庆•中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（）

-1

A.|一2024|和一2024B.2024和瞑

-I

C.1—20241和2024D.—2024和茄莉

【变式1-1]（2024・四川雅安・中考真题）将一2,TT,0,V2,3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，

从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是.

【变式1-2]（2024•山东威海•中考真题）一批食品，标准质量为每袋454g.现随机抽取4个样品进行检测,

把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示.那么，最接近标准质量的是（）

A.+7B.-5C.-3D.10

【变式1-3]（2024•山东淄博・中考真题）下列运算结果是正数的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【题型2实数与数轴】

【例2】（2024•山东德州・中考真题）实数a,8在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（）

ab

-1012

A.\a\>\b\B.a+h<0

C.a+2>b+2D.\CL-l|>|b—11

【变式2-1]（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则J（a—一

（6-a-2）的化简结果是（）

I?II।?।1A

-3-2-1012

A.2B.2a-2C.2-2bD.-2

【变式2-2]（2024.河北.中考真题）如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为

-4,2,32,乙数轴上的三点O,E,尸所对应的数依次为0,x,12.

ABC

丁-4232

DEF

乙0x12

⑴计算A,B,C三点所对应的数的和，并求桀的值；

（2）当点A与点D上下对齐时，点、B,C恰好分别与点E,尸上下对齐，求x的值.

【变式2-3]（2024•山东威海・中考真题）定义

我们把数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值.数轴上表示数a,。的点A,2之间的距离48=

a-b（a>b）.特别的，当a20时，表示数。的点与原点的距离等于a-0.当a<0时，表示数。的点与原

点的距离等于0-a.

应用

如图，在数轴上，动点A从表示-3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，动点B

从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.

AB

—।-----------1-----------------------------------------1——>

-3O12

（1）经过多长时间，点A,2之间的距离等于3个单位长度？

（2）求点A,B到原点距离之和的最小值.

【题型3用科学记数法表示数】

［例3］（2024・山东济南・中考真题）截止2023年底,我国森林面积约为3465000000亩,森林覆盖率达到24.02%,

将数字3465000000用科学记数法表示为（）

A.0.3465X109B.3.465X109C.3.465X108D.34.65X108

【变式3-1］（2024•山东威海.中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院

量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子

计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理

高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样

本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为（）

A.1x10-5B.1x10-6c.1x10"D.1x10-8

【变式3-2］（2024•山东淄博・中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据

中国汽车工业协会发布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科

学记数法表示为3.07X10".贝加的值是（）

A.4B.5C.6D.7

【变式3-3］（2024•四川广元・中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为

研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是10T8秒，也就是十亿分之

一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为秒.

【题型4估算无理数】

【例4】（2024•河北•中考真题）已知a,b,〃均为正整数.

（1）若n<V10<71+1,则几=;

（2）若n-l<4a<n,n<Vb<n+l,则满足条件的a的个数总比b的个数少个.

【变式4-1］（2024・重庆・中考真题）已知6=后-百，则实数m的范围是（）

A.2<m<3B.3<m<4C.4<m<5D.5<m<6

【变式4-2］（2024.重庆・中考真题）估计值（a+百）的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间

【变式4-3】（2024•江苏盐城・中考真题）对于整数%定义［低］为不大于低的最大整数，例如：［应］=1,

第一次第二次

［乃］=2,［&］=3,对26进行如下操作：26-［V26］=51［何=2,即对26进行2次操作后变为2.若

对整数a进行2次操作后变为3,贝b的最大值为（）

A.256B.255C.81D.80

【题型5实数的大小比较】

【例5】（2024.山东.中考真题）下列实数中，平方最大的数是（）

1

A.3B.-C.-1D.-2

2

【变式5-1］（2024.山东威海.中考真题）下列各数中，最小的数是（）

A.-2B.—（—2）C.——D.-V2

【变式5-2］（2024.安徽.中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为何，祖冲之给出圆周率的一种分

数形式的近似值为一.比较大小：V103（填“>”或“v”）.

【变式5-3］（2024.云南・中考真题）已知抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线％=设m是抛物线y=x2+

bx-1与％轴交点的横坐标，记M=I］；

（1）求b的值；

（2）比较M与誓的大小.

【题型6平方根、立方根及非负性的性质】

【例6】（2024•广东深圳・中考真题）如图所示，四边形4BCD,DEFG,GH〃均为正方形，且S正方形谢。=以

S正方形GH〃=I，则正方形DEFG的边长可以是.（写出一个答案即可）

BC

H—|/

/DGJ

【变式6-1］（2024•浙江宁波・中考真题）-8的立方根是.

【变式6-2］（2024・四川成都・中考真题）若小，n为实数，且（爪+4）2+而==0,则（加+几7的值为

【变式6-3】（2024.湖南娄底.一模）已知为整数，y=Vx+1011-V%-1012,则y的最小值是.

考点二a实数的运算。I

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1.实数的运算法则

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对

值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0;一个数同。相

加，仍得这个数。

加法运算律：①交换律a+b=b+a；②结合律（a+b）+c=a+（b+c）a

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a-b=a+{-b\

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。

乘法运算律：①交换律而=加；②结合律（ab）c=a（6c）；③分配律a（6+c）=ab+ac。

除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即："b=a《。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

2.实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如

有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。■…

3.常见的几种实数运算

（1）乘方

定义：求"个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做累。

如：优…・q读作°的〃次方（幕），在〃中，。叫做底数，〃叫做指数。

“个a

性质：负数的奇次塞是负数，负数的偶次幕是正数；正数的任何次幕都是正数；0的任何正整数次幕都

是0a

（2）零指数寨:a°=l（a#0）.

（3）负整数指数幕：a-P*（a¥0,p为正整数）.

典例分析

【题型7实数的简单运算】

【例7】（2024•浙江杭州.中考真题）计算下列各式，值最小的是（）

A.2x0+1-9B.2+0X1-9C.2+0-1X9D.2+0+1-9

【变式7-1］（2024.内蒙古鄂尔多斯.中考真题）计算：¥石+（2021-兀）。+（-3=.

【变式7-2］（2024.湖南湘西.中考真题）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2,则输出的值是—.（用

科学计算器计算或笔算）

输入X||平方|<=>|乘以3||=>「就去10||输出

【变式7-31.（2024•黑龙江绥化•中考真题）定乂一*种新的运算：如果a。0.贝!）有a团b=+必+|-,

那么（―勺团2的值是（）

33

A.-3B.5C.--D.-

42

【题型8数的简便运算】

【例8】（2024•四川内江.中考真题）对于正数尤，规定/"（乃=含，例如：/（2）=詈=%/6）=苔=|,

x2+1

八3）=言=£计算：/岛）+外击）+/岛）+…+4）+屋）+/⑴+偌）+

f（3）+-­­+f（99）+f（100）+f（101）=（）

A.199B.200C.201D.202

【变式8-1］（2024•河北唐山.三模）与3952+2x395x5+52相等的是（）

A.(395-5尸B.(395+5)(395—5)

C.(395+5/D.(395+10)2

【变式8-2］（2024•河北唐山•一模）数学课上老师出一道题，用简便方法计算2962的值，喜欢数学的小亮举

手做出了这道题，他的解题过程如下：

2962=（300—4尸第一步

=3002-2X300X（-4）+4?第二步

=90000+2400+16第三步

=92416第四步

老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误.

（1）你认为小亮的解题过程中，从第步开始出错.

（2）请你写出正确的解题过程.

【变式8-3］（2024.河北.中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算:

利用运算律有时有继行简便计算。

例198x12=(100-2)x12=1200-24=1176

例2-16x233+17x233=(-16+17)'233=233

（1）999x（-15）；

41、?

（2）999*11/+999*（--）-999x18-.

【题型9实数的混合运算】

【例9】（2024•山东济南・中考真题）计算：V9-（TT-3.14）0+Q）"1+|V3|-2cos30°.

【变式9-1］（2024・四川广安・中考真题）计算：6―3）°+2sin6（T+|遮—2|—（|/.

【变式9-21（2024•河北・中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“1口2口6口9”中的每个□内，填入+,—,X,

+中的某一个（可重复使用），然后计算结果.

（1）计算：1+2—6—9；

（2）若请推算1+2x6口9=—6,请推算□内的符号；

（3）在“1口2口6-9”的口内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.

【变式9-3］（2024.贵州.中考真题）（1）在①22,②|—2|,③（―1）。，④之义2中任选3个代数式求和；

（2）先化简，再求值：（/一1）•羡，其中x=3.

【题型10实数的实际应用】

【例10】（2024•湖南长沙•一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同

学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们.从奶茶店到学校的每份订单配送

费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订

单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）.但根据该奶茶店的优惠活动，

当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价

（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换

一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）

最低可为元.

【变式10-1］（2024・四川达州•中考真题）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，

例：12=1x10+2,212=2x10x10+1x10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用

0~9来表示0~15,满十六进一，它与十进制对应的数如下表:

十进制012891011121314151617

十六进制01289ABCDEF1011

例：十六进制2B对应十进制的数为2X16+11=43,10C对应十进制的数为1X16X16+0X16+12=

268,那么十六进制中14E对应十进制的数为（）

A.28B.62C.238D.334

【变式10-2】（2024•内蒙古呼和浩特•中考真题）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，

且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5

月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他

共用宣纸张数为,并可推断出5月30日应该是星期几.

【变式10-3】（2024•四川攀枝花•中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛.决赛

阶段分为分组积分赛和复赛.32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，

分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队

将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽

签，然后进行2决赛，[决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外

2支球队决出三、四名.

（1）本届世界杯分在C组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个C组分组积分赛对阵表

（不要求写对阵时间）.

（2）请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？

（3）请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？

【题型11实数计算中的规律问题】

【例11]（2024•重庆江北•一模）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值.

解：设S=31+32+33+34+35+36①，

贝ij3s=32+33+34+35+36+37②.

用②-①得3s-S=（32+33+34+35+36+37）-（31+32+33+34+35+36）=37-3

,?7o

：.2S=37-3.即S=宁.

o7_0

...31+32+33+34+35+36=—.

2

以上方法我们称为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：

阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏，阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一

格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行."国王以为要

不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了.

(1)国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒米；(用幕表示)

(2)设国王输给阿基米德的米粒数为S.求S.

拓展应用：计算：升去+*+••+之(仿照材料写出求解过程)

(3)44/43♦Ail

【变式11-1】(2024•山东荷泽・模拟预测)读一读：式子“1+2+3+4+...+100”表示从1开始的100个连续自然

数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为£起，n,这里“2”是求和符号.通

2020.

-1-=>

n(n+l)

Zn=1

【变式11-2](2024.四川内江.中考真题)观察下列等式：

第一个等式：a=----?----=-----;

11+3X2+2X222+122+1

第二个等式：a?=I+3X2：2X(22)2=含一含;

第三个等式：=1+3X23：2X(23)2=六一六；

第四个等式：&4=]+3X2；2X(2，)2=*一/;

按上述规律，回答下列问题：

(1)请写出第六个等式：36==；

(2)用含n的代数式表示第n个等式：an==:

(3)ai+a2+as+a4+a5+a6=(得出最简结果)；

(4)计算：ai+32+...+an.

【变式11-3](2024.山东东营.一模)在求；+G+|)+G+3+I)+*+|+|+》的值时，张强发现，若调

整各加数的顺序再进行计算便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下：

假设G+I)+(：+：+1)+《+1+1+》①，

又有4=：+©+》+《+[+》+<+|+2+》②'

①+②得：24=1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)=1+2+3+4=10,

••A=5.

4侑1八।2、"।2।3、,1,2,3,,2018、_

计算+?+(]+[+/-----(丽+丽+丽+…+痂)=

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1.二次根式

式子VH（aK））叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“厂'被开方数a必须是非负数。

2.最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,

这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式,

然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4.二次根式的性质

(1)(Va)2=a(a>0)

a(a>0)

(2)Va2=|a|=

—a(a<0)

Vab=y/a-Vb(a>0,b>0)

(4)£*虑。，b>0）

5.二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的

（或先去括号）。

典例分析

【题型12二次根式有意义的条件】

【例12】（2024•重庆・中考真题）下列二次根式中，无论无取什么值都有意义的是（）

A.Vx2—5B.y!-x—5C.VxD.V%2+1

【变式12-1］（2024・广东汕头•一模）已知X为正整数，写出一个使仍。在实数范围内没有意义的X值是

【变式12-2】（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）在函数旷=焉++中，自变量支的取值范围是.

【变式12-3］（2024.河北邢台・三模）若%>5时，二次根式SE枭为常数）有意义，则上的取值范围是

（）

A.kW—5B.kV—5C.k>—5D.kN—5

【题型13二次根式的值】

【例13】（2024•广东阳江•二模）若/x电是整数，则整数x的值是（）

A.1或3B.3或6C.3或12D.6或12

【变式13-1】（2024・上海・中考真题）已知式2%—1=1,贝！Jx=.

【变式13-2】（2024•黑龙江哈尔滨.二模）已知y=J（x_4）2_%+5,当x分别取1,2,3,……，2024时，

所对应y值的总和是.

【变式13-3】（2024•河北邯郸•二模）已知后存7是整数，则正整数”的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【题型14二次根式的混合运算】

【例14】（2024.湖南.模拟预测）斐波那契数列中的第〃个数可以用类［（苧表示.通过计算求

出斐波那契数列中的第2个数为.

【变式14-1】（2024.山东济宁.中考真题）下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.V2xV5=V10

C.2V2=1D.J（—5）2=-5

【变式14-2】（2024•湖北恩施・中考真题）从VL-V3,-应这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2

的有（）个.

A.0B.1C.2D.3

【变式14-3】（2024•河北石家庄.二模）已知两个实数：痣和鱼.

⑴计算:强

（2）若加为正整数，，与近这两个数的平方和小于相，求机的最小值.

【题型15复合二次根式的化简】

【例15】（2024・湖北・中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：普=户母=7+

4V3,除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于』3+有—

V3-V5,设比=V3+V5-J3一有,易知J3+%>J3-逐,故x>0,由/=(73+75-73-V5)2=

3+V5+3-V5-2J(3+V5)(3-V5)=2,解得x=或，即+花--遮=&.根据以上方法，

化简噜噜+—3A/^—16+3A/^后的结果为()

V3+V2

A.5+3V6B.5+V6C.5-V6D.5-3A/6

【变式15-1](2024.安徽合肥.一模)已知％=飞6—26为一元二次方程%2+。％+人=0的一个根，且a,b为

有理数，则a=，b=

【变式15-2](2024.安徽芜湖・二模)当x=4时，尸2?_&+安的值为()

VX2-4V3X+12VX2+4V3X+12

A.1B.V3C.2D.3

【变式15-3】(2024•江苏扬州•模拟预测)数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换

它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如a?+2ab+b2=(a±b)2,那么Ja?±2ab+炉=\a+b\.如

何将双重二次根式55±2泥化简?我们可以把5±2泥转化为±2A/6+(V2)2=(V3±四?完全平方

的形式，因此双重二次根式「5土2旄=J(V3±V2)2=V3±&得以化简.

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q®y')给出如下定义：若y'=，则称点。为点

产的“横负纵变点”.例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(-2,5)的“横负纵变点”为(-2,-5).

请选择合适的材料解决下面的问题：

⑴点(鱼,-百)的“横负纵变点”为,点(-3次,-2)的“横负纵变点”为

(2)化简：77+2V10；

(3)已知a为常数(1<a<2),点M(—VXzn)且zn=](Ja+2V^=T+7a-2Va^T),点W是点M的“横

负纵变点”，则点"'的坐标是.

【题型16二次根式的实际应用】

【例16】(2024江苏镇江.二模)中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三

角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为S=2b2—(a"；-。)?](秦九韶公式).

古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积.如果一个三角形的三边长分别为a,

a+b+c

b,c,记p,那么这个三角形的面积S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)(海伦公式).

2

请完成下列问题:

(1)一个三角形的三边长依次为5,5,6,则该三角形的面积为二

(2)请由秦九韶公式推导出海伦公式;

(3)若三角形的周长为24cm,一边长为6cm,求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状.

【变式16-1](2024•河北邯郸・三模)如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为V8TT,宽为近兀的矩形,

若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是()

A.12TTC.24TTD.36it

【变式16-2](2024•山西・一模)如图1,两张面积分别为25cm2和20cm2的正方形纸片无重叠地放在一张长

方形纸片4BCD中.

AED

25cm220cm2

BFC

图1图2

(1)图1中阴影部分图形的长为cm,宽为.cm.

(2)求图1中阴影部分图形的周长和面积.

(3)小康将图1中的面积分别为25cm2和20cm2的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形

4BCD中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.若AB=6cm,求图2中空白部分的面积.

【变式16-3】(2024.江苏盐城・中考真题)发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

图1

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成

点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有〃个籽，每列有上个籽，行

上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（小女均为正整数，n>k>3,d>0）,如图1所示.

小明设计了如下二种铲籽方案.

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为,共铲行，则铲除全部籽的路径总长

为;

方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为；

方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.

7•:

TITITITITI-••••••

11而中…

图1图2图3

特色专项练

【新考向：新考法】

1.（2024•山东临沂•模拟预测）我市2023年12月30日的天气预报显示如下图，请问该日温差为（）

2023年12月30日星期六农历十一月十八

-3-7C多云一级（-150轻度污染）

A.4℃B.-4℃C.10℃D.-10℃

2.（2024•广东惠州•一模）2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将

在原装备基础上增设科研设备，建成后装备研究能力将大幅提升.当前，全球建成的散裂中子源装备仅有4

个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需

求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器.已知中子的半径约为0.0000000000000016m,将

0.0000000000000016m用科学记数法表示为（）

1414

A.16x10-B.1.6X10T4c.1.6X10T5D.0.16x10-

【新考向：新趋势】

3.（2024.湖南长沙.二模）筹算是中国古代计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代

表负数，图中算式一表示的是（+2）+（-4）=-2,按照这种算法，算式二被盖住的部分是（）

算式」ini11

,.mmB'HHn

c.immD.mnin

4.（2024・四川南充・中考真题）如图，已知线段AB,按以下步骤作图：①过点B作8c14B,使80=^28,

连接2C；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交4C于点③以点A为圆心，以4。长为半径画弧，交AB

于点E.若45=^48,则根的值为（）

c

A.B.C.V5-1D.V5-2

2

5.（2024•四川泸州・中考真题）关于x,y的二元一次方程组。的解满足％+y>2/，写出a

的一个整数值

用©）表示10,这两种

6.（2024・湖北随州•模拟预测）古巴比伦的记数法是六十进制的，用t■表小1,

■表刁

符号能表示1〜59的数字，例如，32可以用示.从60起，开始使用符号组，从右往左

◎◎才廿

依次是个位、六十位、三千六百位…（每一位的数值都是上一位的60倍），例如,

的个位表小23个1,六十位表小2个60,所以这个符号表不143.则下列表示3812的符号是（）

A.tttttt

c.©ttttttD.

t◎廿#

7.（2024•广东珠海•中考真题）将1,VXW,旄按右侧方式排列.若规定（m,«）表示第加排从左向右第〃

个数，则（5,4）与（15,7）表示的两数之积是.

1第1排

V2第2排

V61V2第3排

V3V61V2第4排

V3V61V2V3第5排

【新考向：新情境】

8.（2024•江西・中考真题）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一

个钉头形代表1,一个尖头形代表10,在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的

方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位

数，则这个两位数是.

9.（2024.甘肃陇南.模拟预测）根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章

算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异.今两算得失相反，要令正负以名之.”简而言之，刘徽

不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”.如果向东走30米记作“+30米”,

那么向西走70米记作.

10.（2024・河南周口•二模）问题：先化简，再求值：2a+Va2-10a+25,其中a=3.

小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下.

小宇的解答过程如下：

解：2a+Va2-10ci+25

=2a+J（a-5）2（第一步）

=2a+a-S（第二步）

=3a-5（第三步）

当a=3时，

原式=3x3-5=4（第四步）

小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a=3直接代入原式中：

2a+7a2-10a+25

=6+132-10x3+25

=6+2

=8.

由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程.

【新考向：跨学科】

11.（2024•宁夏银川•一模）液体沸腾时的温度叫做沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点

最低的物质是（）

物质酒精液态甲醛液态一氧化碳花生油

沸点/汽78-19.5-191.5335

A.液态一氧化碳B.液态甲醛C.酒精D.花生油

12.（2024.广东清远.三模）在物理学中，表示电流大小的单位有千安（kA）、安培（A）、毫安（mA）、微安（附）

等，其中lkA=103A,IA=103mA,1mA=103nA.若某新能源电动汽车的充电电流为10A,则10A等于

（）

A.ICT3kAB.103mAC.106gD.107PA

13.（2024.云南曲靖.二模）科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带电荷是两种相反的电荷.物理

学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷.碳原子中的原子核带6个单位的电荷

可以表示为+6,其核外电子带6个单位的电荷可以表示为（）

A.3B.-3C.+6D.-6

14.（2024・广东・三模）化学中直链烷烧的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1〜10时，依次用甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为CH4,乙烷的化学式为C2H6,丙烷的化学

式为C3H8,其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为—