2024-2025学年高中数学第4讲数学归纳法证明不等式第一课时数学归纳法练习新人教A版选修4-5

PAGEPAGE1第一课时数学归纳法[基础达标]1.下列命题中能用数学归纳法证明的是A.三角形的内角和为180°B.(1－n)(1＋n＋n2＋…＋n100)＝1－n101(n∈R)C.eq\f(1,n（n＋1）)＋eq\f(1,（n＋1）（n＋2）)＋eq\f(1,（n＋2）（n＋3）)＝eq\f(3,n（n＋3）)(n＞0)D.cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝eq\f(sin2nα,2sinα)(sinα≠0，n∈N＋)解析因为数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，只有D符合要求，故选D.答案D2.已知f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)，则f(k＋1)等于A.f(k)＋eq\f(1,3（k＋1）＋1)B.f(k)＋eq\f(1,3k＋2)C.f(k)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(1,k＋1)D.f(k)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(1,k＋1)解析f(k)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)，f(k＋1)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)，∴f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(1,k＋1).答案C3.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，从n＝k到n＝k＋1一步时，等式左边应增加的式子是________.解析等式左边从k到k＋1需增加的代数式可以先写出n＝k时两边，再将式子中的n用k＋1来代入，得出n＝k＋1时的等式，然后比较两式，得出需增加的式子是(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k.答案(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k4.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的其次步中，当n＝k＋1时，为了运用归纳假设应将5k＋1－2k＋1变形为________.解析假设当n＝k时，5k－2k能被3整除，则n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5(5k－2k)＋3·2k由假设知5k－2k能被3整除，3·2k能被3整除.故5·(5k－2k)＋3·2k能被3整除.答案5·(5k－2k)＋3·2k5.求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1).证明(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立.∴n＝1时等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，依据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.[实力提升]1.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为A.1 B.1＋aC.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3答案C2.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证A.n＝1成立 B.n＝2成立C.n＝3成立 D.n＝4成立答案C3.在数列{an}中，a1＝eq\r(2)－1，前n项和Sn＝eq\r(n＋1)－1，先算出数列的前4项的值，依据这些值归纳猜想数列的通项公式是A.an＝eq\r(n＋1)－1 B.an＝neq\r(n＋1)－1C.an＝eq\r(2n)－eq\r(n) D.an＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)答案D4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上A.k2＋1B.(k＋1)2C.eq\f(（k＋1）4＋（k＋1）2,2)D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案D5.设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于A.eq\f(1,2n＋1) B.eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D.eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)解析∵f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，f(n＋1)＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).答案D6.某个命题与自然数n有关，假如当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得A.n＝6时，该命题不成立B.n＝6时，该命题成立C.n＝4时，该命题不成立D.n＝4时，该命题成立答案C7.用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立.答案k＋28.视察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出的结论：________.答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)29.用数学归纳法证明命题：当n是非负整数时，11n＋2＋122n＋1能被133整除，假设n＝k时命题成立，推证n＝k＋1时命题也成立，应添加的协助项为________.答案11·122k＋1－11·122k＋110.用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*).证明(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除.(2)假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k－1.由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，而(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除.故ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即当n＝k＋1时命题也成立.由(1)(2)可知，对随意n∈N*原命题成立.11.求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n∈N*，n≥4).证明(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，eq\f(1,2)×4×(4－3)＝2，命题成立.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f(k)＝eq\f(1,2)k(k－3)，现在考虑当n＝k＋1时的情形，第k＋1条棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的k－2条棱分别增加了1个对角面，共(k－2)个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为f(k)＋(k－2)＋1＝eq\f(1,2)k(k－3)＋k－1＝eq\f(1,2)(k2－3k＋2k－2)＝eq\f(1,2)(k－2)(k＋1)＝eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)－3].由(1)(2)可知，命题对随意n≥4，n∈N*都成立.12.是否存在常数a，b，c使得1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(n（n＋1）,12)(an2＋bn＋c)对一切n∈N＋都成立？证明你的结论.解析此题可用归纳猜想证明来思索.假设存在a，b，c使题设的等式成立.令n＝1，得4＝eq\f(1,6)(a＋b＋c)；当n＝2时，22＝eq\f(1,2)(4a＋2b＋c)；当n＝3时，70＝9a＋3b＋c，联立得a＝3，b＝11，c＝10.∴当n＝1，2，3时，等式1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(n（n＋1）（3n2＋11n＋10）,12)成立.猜想等式对n∈N＋都成立，下面用数学归纳法来证明.当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立.记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2，设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，上面等式成立，即有Sk＝eq\f(k（k＋1）（3k2＋11k＋10）,12).则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋(k＋1)(k＋