2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广学案含解析北师大版必修4

PAGE§2角的概念的推广学问点一角的概念[填一填]1．角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．[答一答]1．一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对．假如一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故这个说法不正确．学问点二角的分类[填一填]2．(1)按旋转方向可将角分类(2)按角终边的位置分类[答一答]2．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°.学问点三终边相同的角的表示[填一填]3．一般地，全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．[答一答]3．锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角这四种角有什么差别？提示：受初中所学角的范围的影响，看到这四种角往往就说它们相同．其缘由是虽然已经将角扩充到了随意角，但是解决问题时，考虑的角还仅仅是锐角、直角、钝角，即初中所学的角的范围，没有按随意角来看待．其突破方法是把握各种角的取值范围．这四种角的范围用集合表示如下：锐角的集合是{α|0°<α<90°},0°～90°的角的集合是{α|0°≤α<90°}，小于90°的角的集合是{α|α<90°}，第一象限角的集合是{α|k×360°<α<k×360°＋90°，k∈Z}，所以锐角肯定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角、负角．1．对角的概念的两点说明(1)描述角时，往往用角的其次种定义，即用运动观点来定义角，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．(2)在描述角度(角的大小)时肯定要抓住三点：①要明确旋转方向；②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．随意角概念的四个关注点类型一角的概念的推广【例1】下列各种说法正确的是()A．终边相同的角肯定相等B．第一象限角就是锐角C．锐角是第一象限角D．小于90°的角都是锐角【思路探究】锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，当k＝0时，第一象限角的范围就与锐角的范围一样．【解析】对于选项A，－60°与300°是终边相同的角，它们并不相等，故说法错误；对于选项B,390°是第一象限角，但它不是锐角，故说法错误；对于选项D，－30°是小于90°的角，但它不是锐角，故说法错误．【答案】C规律方法(1)熟记一些角的概念，如第一象限角α可表示为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．(2)熟识一些角与角的基本关系，如锐角是第一象限角，反之不成立；钝角是其次象限角，反之也不成立．经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转过多少度？解：时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5eq\f(5,12)小时，由此可求出时针转的度数；而分针每小时转－360°，因而分针转的度数也可求．所以，时针转过的角度为－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1950°.类型二终边相同的角及象限角【例2】在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别推断它们是哪个象限的角．(1)1005°；(2)2583°34′；(3)－1342°15′；(4)－470°.【解】(1)因为1005°＝2×360°＋285°，所以285°就是与1005°终边相同的角，它是第四象限角，所以1005°是第四象限角．(2)因为2583°34′＝7×360°＋63°34′，所以63°34′就是与2583°34′终边相同的角，它是第一象限角，所以2583°34′是第一象限角．(3)因为－1342°15′＝－4×360°＋97°45′，所以97°45′就是与－1342°15′终边相同的角，它是其次象限角，所以－1342°15′是其次象限角．(4)因为－470°＝－2×360°＋250°，所以250°就是与－470°终边相同的角，它是第三象限角，所以－470°是第三象限角．规律方法先将这些角表示成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，再依据角α来确定它们所属的象限．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满意不等式－1080°≤β<－360°的角β.解：法1：赋值法与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件；故符合条件的角有－1055°，－695°.法2：解不等式法与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．解不等式－1080°≤k·360°＋25°<－360°，得－3eq\f(5,72)≤k<－1eq\f(5,72).又∵k∈Z，∴k＝－3或k＝－2.当k＝－3时，β＝－1055°；当k＝－2时，β＝－695°，故符合条件的角有－1055°，－695°.类型三区域角的表示【例3】如图所示，写出终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ(不包括边界)的角的集合．【思路探究】由题知，角的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)．可以先依据图形写出终边在每个区域内的角的集合，再对写出的两个集合求并集，并化简．也可以用k·180°＋α(k∈Z)的形式干脆写出．【解】法1：在0°～360°范围内，终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ(不包括边界)的角α应分别满意45°<α<135°，225°<α<315°.所以终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ中的角的集合分别为A＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k∈Z}，B＝{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}．故满意题意的角的集合为A∪B＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋45°<α<2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋45°<α<(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．法2：终边落在第一、三象限内的边界线上的一个角为45°，则终边落在该边界线上的角可写为45°＋k·180°，k∈Z；终边落在其次、四象限内的边界线上的一个角为135°，则终边落在该边界线上的角可写为135°＋k·180°，k∈Z，故所求角的集合为{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．规律方法区域角的表示是在有限制条件的角的基础上进行的，解题的关键是找出终边落在区域边界上的角．解题时，需留意以下三点：(1)区域边界线是实线还是虚线；(2)角的旋转方向；(3)一般地，角α的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)时，角可以表示为“k·180°＋θ1<α<k·180°＋θ2，k∈Z”(θ1<θ2)的形式．(1)若角α＝45°，β＝150°的终边分别在射线OA，OB上，求终边落在如图(1)中阴影范围内(包括边界)的角的集合；(2)已知角α的终边在如图(2)的阴影部分(不包括边界)内，求角α的集合．解析：(1)在0°～360°之间落入阴影部分的角是45°≤θ≤150°，则终边落在图中阴影范围内(包含边界)的角的集合是{θ|k·360°＋45°≤θ≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2)终边落在l1上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}，终边落在l2上的角的集合为{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，则所求角的集合为{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋120°，k∈Z}．类型四由已知角的范围、象限，探讨未知角的范围、象限【例4】若角α是其次象限角，试确定角2α,eq\f(α,3)分别是第几象限角.【思路探究】【解】∵α是其次象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．(1)180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(2)法1：k·120°＋30°<eq\f(α,3)<k·120°＋60°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＋30°<eq\f(α,3)<n·360°＋60°(n∈Z)，此时，eq\f(α,3)是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋150°<eq\f(α,3)<n·360°＋180°(n∈Z)，此时，eq\f(α,3)是其次象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋270°<eq\f(α,3)<n·360°＋300°(n∈Z)，此时，eq\f(α,3)是第四象限角．综上所述，eq\f(α,3)是第一象限角或其次象限角或第四象限角．法2：将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x轴非负半轴起，按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号码1,2,3,4，如图所示．∵α是其次象限角，∴图中标有数字2的区域即eq\f(α,3)的终边所在的区域，故eq\f(α,3)是第一象限角或其次象限角或第四象限角．规律方法倍角是第几象限角的判定思路已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再转化为终边相同的角即可．留意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的状况．已知角θ终边所在的象限，确定eq\f(θ,n)(n∈N＋)终边所在象限的常用方法有以下两种：方法1分类探讨法．利用已知条件写出角θ的范围(用k表示)，由此确定eq\f(θ,n)的范围，然后对k进行分类探讨，从而确定eq\f(θ,n)的终边所在的象限．方法2等分象限法．要确定eq\f(θ,n)终边所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点动身的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域，就是θ为第几象限角时eq\f(θ,n)的终边所在的区域，这样角eq\f(θ,n)的终边所在的象限就可以直观地看出．说明：当n≥4时，角eq\f(θ,n)的终边所在的区域分布在四个象限，探讨的价值不大，一般只探讨n＝2，n＝3的情形．已知α为第三象限角，则eq\f(α,2)所在的象限是(D)A．第一或其次象限 B．其次或第三象限C．第一或第三象限 D．其次或第四象限解析：由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得eq\f(k,2)·360°＋90°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)为其次象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)为第四象限角．——易错警示——对角的概念理解不正确致误【例5】下面说法正确的个数为()(1)其次象限角大于第一象限角．(2)三角形的内角是第一象限角或其次象限角．(3)钝角是其次象限角．(4)小于90°的角是锐角．A．1 B．2C．3 D．4【错解】选B或C【正解】其次象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角①，直角既不是第一象限角，也不是其次象限角，故(2)错；(3)中钝角是其次象限角是对的；小于90°的角②如－60°，不是锐角，故(4)错．所以正确的只有1个．【错解分析】在①处三角形的内角误认为只有锐角和钝角，忽视了直角，从而误认为(2)正确；在②处依据初中的习惯，认为小于90°的角为锐角误认为(4)正确．【答案】A【防范措施】明确角的分类的实质依据角的旋转方向分为正角、负角和零角类似于实数正负之分；依据角的终边位置分为象限角和终边在坐标轴上的角，如在本例①处易忽视终边落在坐标轴上的角的状况．在坐标系中，下列说法中错误的是(C)A．锐角是第一象限角B．顺时针方向旋转生成的角是负角C．始边与终边重合的角是零角D．相等的角终边相同解析：360°角的终边也与始边重合．即始边与终边重合的角的集合应为{α|α＝360°k，k∈Z}．故选C．一、选择题1．下列说法正确的是(D)A．终边相同的角都相等B．钝角比第三象限角小C．第一象限角都是锐角D．锐角都是第一象限角解析：任何一个角α的终边旋转360°的整数倍后，还与它的终边相同，但它们相差360°的整数倍．象限角只反映角的终边的位置，而不反映角的大小，某象限角有多数多个，其中有正角，也有负角，所以第三象限角不肯定比钝角大．第一象限角不肯定是锐角，但锐角肯定是第一象限角．2．下列各组角中，终边相同的是(C)A．495°和－495°B．1