高中数学讲义（人教B版2019必修四）第11讲1022复数的乘法与除法

10.2.2复数的乘法与除法TOC\o"13"\h\u题型1复数的乘法运算 ②∆<0时，x=−b±−（b（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解.【例题5】对于一元二次方程（其中，）下列命题不正确的是（）A.两根满足，；B.两根满足；C.若判别式时，则方程有两个相异的实数根；D.若判别式时，则方程有两个相等的实数根；【答案】B【解析】若一元二次方程，则方程有两个相异实根由韦达定理得：，，则正确；当为虚根时，，则错误；若一元二次方程，方程有两个相等实根，正确.故选：【变式51】1.（多选）（2023·高一单元测试）已知复数z1,zA．z1=z2 B．z1z2∈【答案】ACD【分析】在复数范围内解方程得z1【详解】Δ=b2−4<0，∴x=−z1z1z1z2=1，∴z1b=1时，z1=−12z22=z1故选：ACD．【变式51】2．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知复数z是方程x2(1)求z；(2)若Imz>0，且az−z=b【答案】(1)z(2)17【分析】（1）解出方程即可求解；（2）由Imz>0，可得z=−1+i，再结合条件求出a【详解】（1）由x2+2x可得x+1=±i，解得x即z（2）由（1）知，z=−1±i因为Imz>0，所以z=−1+i所以az所以1−a2=b1−所以a+【变式51】3．（2023·全国·高一专题练习）设ω=−(1)证明：(ω(2)在复数范围内，利用公式x3−1=x【答案】(1)见解析(2)方程的根为1或−1+3i2【分析】（1）直接计算(ω（2）z3−1=0因式分解为【详解】（1）(ω故(ω（2）z3=1，即z则z−1=0或z当z−1=0，z当z2+z+1=0故方程的根为1或−1+3i2【变式51】4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的方程x2−2ax+a(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对x2(2)若|α【答案】(1)a<1，(2)a=1【分析】（1）若该方程没有实根，则Δ<0，解之即可，由x2−2ax+a（2）分Δ≥0和Δ<0两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案.(1)解：若该方程没有实根，则Δ=4a2−4由x2−2ax所以x−a2所以在复数范围内对x2−2ax(2)解：当Δ=4a2−4则α,由韦达定理可知α+故α,所以|α|+|β当Δ<0，即a<1时，方程有两个共轭虚根，设为m则α+故|α|+|β|=2m综上所述，a=12【变式51】5.（2023·高一单元测试）已知关于x得二次方程：x2(1)当方程有实数根时，求点(a(2)求方程实数根的取值范围.【答案】(1)(2a(2)−4，0.【分析】（1）根据复数相等结合条件可列出关于a,b的方程，整理即可求得点（2）由题可得8a【详解】（1）设方程的实数根为x0x0即(x所以x0两式消去x0可得(整理可得(2a即点(a,b（2）由x02+2整理得8a∵a∴Δ=16x解得−4≤x∴方程的实数根的取值范围是−4，0.【变式51】6．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1=1(1)若复数z1−z(2)若虚数z1是实系数一元二次方程4x2【答案】(1)−2<(2)m【分析】（1）求出z1（2）z1也是方程的根，根据韦达定理先求得a，再求得m【详解】（1）由已知得到z1−z解得−2<a<−（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程4x2−4x+m所以z1所以z1⋅z【变式51】7.设，关于的方程的两个根分别是和.（1）当时，求与的值；（2）当时，求的值.【答案】（1），，；（2）4【解析】（1）当时，，，.（2）依题意，，其得，所以.（或，由，所以）【变式51】8.是关于的方程的一个根.(1)若且求实数的值；(2)若且为虚数,求实数的值.【答案】(1)(2)或2【解析】(1)当时，则有，无实数解；当时，则有，解得，故实数的值为.(2)根据题意设，代入方程可得，所以，又所以，解得或2，故实数的值为或2.【变式51】9.已知复数，，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.【答案】（1）（2），或【解析】（1）于是又，所以，解得：.所以实数的取值范围为.（2）由（1）知，.因为（）是方程的一个根，（）也是此方程的一个根，于是解得或，且满足所以，或题型6含参问题【例题6】（2023·高一单元测试）已知a−i1+i=3+2A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】化简复数方程，根据复数相等的结论列方程求a,b，由此可求【详解】由a−i1+i=3+2则3−2b=a2b故选：C.【变式61】1．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1=1+i，z2(1)若z1⋅z(2)若z2=z1，复数【答案】(1)−1；(2)m=2【分析】（1）运用复数乘法及若z=a+（2）运用共轭复数及复数除法及若z=a+【详解】（1）∵z1∴x+又∵x,y为非零实数，∴xy（2）∵z2∴z1∴z=∴m∴m的值为2.【变式61】2．（2023·高一单元测试）已知m∈R，关于z的方程z2【答案】1【分析】先判断判别式中至少有一个为负，若判别式一正一负，则可根据z1−z【详解】设z2+z+m由题意Δ1=1−4m≠0,Δ①当m<18②当18<m<14时，所以1−4m此时z2+z+1且z3=−2+这四个点为以−13,0为中心，且对角线的方程分别为x=−1③当m>14因为m为实数，故z1,z2为共轭复数且z1同理z3,z4的实部为综上：m=故答案为：m=【变式61】3．（2021春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）方程x2−(m−4)x+1【答案】72##3.5【分析】由题意得Δ<0求出m的范围，再设α=a+bi(【详解】因为方程x2−(m所以Δ=(m−4)设α=a+所以αβ=因为|α所以2a所以a2所以m=故答案为：72