2025年新高考数学一轮复习：等差数列及其前n项和（十大题型）（讲义）（学生版+解析）

第02讲等差数列及其前〃项和

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：等差数列的有关概念....................................................4

知识点2：等差数列的有关公式....................................................4

知识点3:等差数列的常用性质....................................................5

解题方法总结...................................................................6

题型一：等差数列的基本量运算...................................................6

题型二：等差数列的判定与证明...................................................7

题型三：等差数列的性质.........................................................9

题型四：等差数列前n项和的性质.................................................9

题型五：等差数列前n项和的最值................................................10

题型六：等差数列的实际应用....................................................12

题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论..........................................13

题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题........................................14

题型九：利用等差数列的单调性求解..............................................16

题型十：等差数列中的范围与恒成立问题..........................................18

04真题练习•命题洞见............................................................19

05课本典例•高考素材............................................................41

06易错分析•答题模板............................................................20

易错点：忽视数列的首项........................................................20

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年甲卷(文)第5题，5分

(1)等差数列的概念2024年n卷第12题,5分(1)选择题、填空题多单独考查基本量的计

(2)等差数列的通项公2023年甲卷(文)第5题，5分舁.

式与求和2023年I卷第7题，5分(2)解答题多与等比数列结合考查，或结合

(3)等差数列的性质2022年上海卷第10题，5分实际问题或其他知识考查.

2022年乙卷(文)第13题，5分

复习目标：

(1)理解等差数列的概念.

(2)掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.

(4)了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.

老占突硒・力理悭宙

------

知识JJ

知识点1:等差数列的有关概念

（1）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为4-%T=d（常数）

（neN*,n>T）.

（2）等差中项

若三个数4，A，匕成等差数列，则A叫做〃与〃的等差中项，且有a+b・

A=------

2

【诊断自测】（2024.江苏连云港.模拟预测）已知数列｛。〃｝的前"项和为S"，且S“=++'.证明：数列

Lan

⑶｝是等差数列；

知识点2：等差数列的有关公式

（1）等差数列的通项公式

如果等差数列｛q｝的首项为q，公差为d,那么它的通项公式是4=%+（〃-l）d.

（2）等差数列的前几项和公式

设等差数列｛an｝的公差为d,其前〃项和S,=叫+%12d=.

【诊断自测】（2024四川凉山.二模）设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若%+%=1。，为%=5。，则

知识点3：等差数列的常用性质

已知｛4｝为等差数列，d为公差，然为该数列的前”项和.

(1)通项公式的推广：an=am+(n-ni)d(n,msN*).

(2)在等差数列｛4｝中，当帆+九="+“时，cim+an=ap+aq(m,n,p,qeN*).

特别地，若加+〃=2l,贝！J〃机+。〃=2qO，n,/EN*).

(3)ak,ak+m,以+2加，…仍是等差数歹I，公差为md(k,meN*).

(4)Sn,S2-Sn,邑「邑小…也成等差数列,公差为〃2d.

(5)若｛4｝,出〃｝是等差数列，则｛必+微〃｝也是等差数列.

(6)若｛4｝是等差数列，则｛a｝也成等差数列，其首项与｛q｝首项相同，公差是｛%｝公差的

n2

$

(7)若项数为偶数2〃，则S2”=〃(4+出〃)=〃(。〃+氏+1)；S偶一5奇=次/；-^-=—n--

S偶an+\

s

(8)若项数为奇数2〃—1,则S21=(2〃—；S奇一S偶二册；=----

S偶n-1

(9)在等差数列｛““｝中，若%>0,d<0,则满足的项数加使得S“取得最大值S,”若

[am+1<0

/<0,d>0,则满足卜的项数m使得S“取得最小值S.,.

K+i^0

2

(10)S„=|«+(ai-|>.数列｛%｝是等差数列(43为常数).

(11)等差数列的前〃项和的最值

公差d>00｛〃“｝为递增等差数列，工有最小值；

公差d<0o｛a“｝为递减等差数列，S“有最大值；

公差2=0=｛〃〃｝为常数列.

特别地

若1%>°，则S,有最大值(所有正项或非负项之和)；

[d<0〃

若则s“有最小值(所有负项或非正项之和).

[d>0"

(12)若已知等差数列｛4,｝,公差为d,前”项和为S“，则：

①等间距抽取4,。阳,4+”,4+(1”…为等差数列，公差为以.

②等长度截取S,“，邑”-黑,匕-52„,,.为等差数列，公差为机2d.

③算术平均值:,,,日,为等差数列，公差为

【诊断自测】已知数列｛%｝为等差数列，%+%+%=24,则|出+。3=一.

解题方法总结

(1)等差数列｛%｝中，若%=九。加=〃(加。〃,机,〃EN*),则%〃=0.

(2)等差数列｛〃/中，若Sn=m,Sm=〃(mwn,m,HeN*),贝ljS*,=-(加+〃).

(3)等差数列｛〃“｝中，若Sn=SNnwn,m,〃eN*),则)…=0.

(4)若｛%｝与｛b“｝为等差数列，且前〃项和为S”与7“，则鲁=工旦.

题型一：等差数列的基本量运算

【典例1-1】(2024•西藏林芝•模拟预测)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若邑=15吗=9,则%=

()

A.3B.7C.11D.23

【典例1-2】(2024・广东汕头•三模)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，%=3,a2n=2a„+\,若

S„+«„+1=100,贝!]〃=()

A.8B.9C.10D.11

【方法技巧】

等差数列基本运算的常见类型及解题策略：

(1)求公差d或项数在求解时，一般要运用方程思想.

(2)求通项.q和d是等差数列的两个基本元素.

(3)求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.

(4)求前〃项和.利用等差数列的前〃项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.

【变式1-D已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若Sg=l,则/+%=（）

72

A.—2B.—C.1D.一

39

【变式1-2］（2024.天津滨海新.三模）已知数列｛%｝为各项不为零的等差数列，S”为数列｛%｝的前几项和,

4S,=《4+1,则a的值为（）

A.4B.8C.12D.16

【变式1-3］（2024•辽宁•模拟预测）等差数列｛4｝的前〃项和记为S“，若q=2,%+%=8,则席=（）

A.51B.102C.119D.238

【变式1-4］（2024.北京.模拟预测）记等差数列｛凡｝的公差为d,前〃项和为S,,若%+4=62,且

兀=351,则该数列的公差"为（）

A.3B.4C.5D.6

题型二：等差数列的判定与证明

【典例2-1］已知数列｛a“｝（〃eN*）的前〃项和为S“，若+S“=3/+6〃+3,q=2.记2=%+”用判断

｛久｝是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.

2

【典例2-2】（2024.全国•模拟预测）数列｛an｝的前"项和Sn满足Sn=nan+l-n-n（neN*）.证明:

｛«„｝是等差数列；

【方法技巧】

判断数列｛%｝是等差数列的常用方法

（1）定义法：对任意〃eN*,a”.-a“是周一常数.

（2）等差中项法：对任意九.2,,湍足2%=%+］+〃〃_］.

（3）通项公式法：对任意〃wN*,都满足〃〃=p〃+£p均为常数）.

（4）前〃项和公式法：对任意〃wN*,都湍足S〃=A/+囱z（A,5为常数）.

2"+%

【变式2-1］（2024.陕西安康.模拟预测）已知数列｛。“｝满足4=2,%+］=一六

an+2

证明：数列是等差数列；

【变式2-2］已知数列｛。"｝有％=a,a2=p（常数p>0）,对任意的正整数〃，S,=4+%+…+。”，并有

S濡曰<”（见-4）

酒七二-------.

（1）求。的值；

（2）试确定数列｛%｝是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由.

【变式2-3】已知数列氏满足4=3,且（2"+1,用一（22+1）%=（2B+1+1）（2向+2）•

（1）证明：数列，看J是等差数列；

⑵求［卢」的前〃项和s”.

ZH-1

【变式2-4］（2024・重庆・三模）已知数列｛凡｝的前〃项和为S",满足（=〃eN*.

（1）证明：数列｛%｝是等差数歹U；

（2）若数列｛%,｝的公差不为0,数列｛%｝中的部分项组成数列气，气，怎「…，鬼恰为等比数列，其中

—1,%=4,&=10,求数列优｝的通项公式.

题型三：等差数列的性质

【典例3-1］（2024.高三.上海.期中）已知等差数列｛%｝的前〃项的和为S“，且以=-1,S15=St

au

则正整数左的值为.

【典例3-2】（2024•上海•模拟预测）记等差数列｛4｝的前〃项和为S“，%=6,贝U儿=一.

【方法技巧】

如果｛.“｝为等差数列，当"+"=/?+«时，am+an=ap+aq（m,n,p,q&N*）.因此，出现

凡L”，4,4”+”等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与金（或其他项）有关的条件；若求4项，可

由=“+%+“）转化为求+an+m的值•

【变式3-1］（2024•陕西商洛•模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且&8=56,则

《2+。13+〃14+。15+。16+%7=.

【变式3-2］已知数列｛4｝（"eN*）是等差数列，S“是其前”项和.若％%+“8=0，S9=27,贝。Sg=.

题型四：等差数列前n项和的性质

【典例4-1】（2024・高三・天津宁河•期末）已知等差数列｛%｝,｛〃,｝的前,项和分别为S“，T”,且

Sn2n+la5

Tn4〃4+b7---

【典例4-2】在等差数列｛%｝中，^=-2020,其前〃项和为S.，若泊漆2,则Sb

【方法技巧】

在等差数列中，S",s.-sn,s“一$2“，…仍成等差数列；｛&｝也成等差数列.

n

（（.S”5〃一3

【变式4-11等差数列｛an｝,｛b„｝的前n项和分别为S“，T,,若对任意的正整数n都有广=£币，则

%_

厂——■

【变式4-2】已知两个等差数列｛%｝和0｝的前〃项和分别为A“和且务则使得答为整数的

n屋十°Un

正整数n的集合是.

【变式4-3］已知等差数列｛综｝,｛〃｝的前〃项和分别为S“和/,^-i=—r，且U是整数，则〃的值

1n九+J%”

为一

【变式4-4】已知等差数列｛。”｝的前〃项和为S“，且醺=12,兀=15,则&=.

【变式4-5］（2024.江西上饶.一模）己知数列｛?｝、｛2｝均为正项等比数列，P,、。"分别为数列｛4｝、

,、InP5n-7Ina.

2的前“项积，且丁才=一二，则厅的值为_____.

1

'InQ2nlno3

题型五：等差数列前n项和的最值

【典例5-1】（2024.辽宁葫芦岛.二模）等差数列｛%｝中，4>0,邑=凡，则使得前"项的和最大的〃值为

（）

A.7B.8C.9D.10

【典例5-2】（2024•山东泰安•三模）已知S“为等差数列｛4｝的前"项和，4=-21,S,=Sl5,贝|S”的最小

值为（）

A.-99B.-100C.-110D.-121

【方法技巧】

求等差数列前〃项和"最值的2种方法

(1)函数法：利用等差数列前〃项和的函数表达式+加，通过配方或借助图象求二次函数最

值的方法求解.

(2)邻项变号法：①若6>0,d<0,则满足的项数M使得s“取得最大值与；

a+1V0

②若%<0,d〉0,则满足[册’°的项数也使得S.取得最小值s,“.

&+120

【变式5-1](2024.全国•模拟预测)己知S”为等差数列｛%｝的前"项和，若3阳+阳<。，/+3@>。，则

当S“取最小值时，w=()

A.9B.10C.10或11D.11

【变式5-2](2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知｛%｝是等差数列，3是其前〃项的和，则下列结论错误

的是()

A.若。“=2〃-25,则S“取最小值时w的值为12

B.若4=-3"+27,则S,,的最大值为108

C.若S[3=S]7，则必有63。=。

D.若首项q>0,S6=S12,则S“取最小值时〃的值为9

【变式5-3](2024・山东•二模)已知数列㈤｝，q=13,%+|=。”一4.求：

(1)数列｛%｝的通项公式；

⑵数列｛%｝的前n项和S”的最大值.

题型六：等差数列的实际应用

【典例6-1】（2024•云南曲靖.二模）小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差

数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（）

A.25元B.18元C.20元D.16元

【典例6-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任

务.运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都

增加3km,在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序.则从点火到进入转弯程序大约需要的

时间是（）秒.

A.10B.11C.12D.13

【方法技巧】

利用等差数列的通项公式与求和公式求解.

【变式6-1］（2024•高三・浙江嘉兴•期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见.卫生纸形状各异，有

单张四方型的，也有卷成滚筒形状的.某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm,卫生

纸厚度为0.1mm.若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm,则这个卷筒卫生纸大约已经

使用了（）

A.25.7mB.30.6mC.35.3mD.40.4m

【变式6-2］（2024•山西晋城•一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动

（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分.若某

天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始.某会员参与打卡活动，从3月1日开始,

到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（）

A.3月5日或3月16日B.3月6日或3月15日

C.3月7日或3月14日D.3月8日或3月13日

【变式6-3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学

软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段A3,作一个等边三角形ABC,然后以点B

为圆心，A3为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点。（第一段圆弧），再以点C为圆心，8为半

径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当

得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（）

【变式6-4](2024.河北唐山.模拟预测)2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次

在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足

球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动,

派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合

①中条件的可以获得普通足球一个•已知该网站的会员共有1456人(编号为1号到1456号，中间没有空

缺)，则获得精品足球的人数为()

A.102B.103C.104D.105

题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论

SU牖数记加4分别为数列同，也｝的前〃项和，

【典例7-11已知｛4｝为等差数列,b„=

$4=32,n=16.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，Tn>S„.

【典例7-2]已知数列｛。"｝满足4=1,%=2,an+2-an=3-

⑴求%

(2)当〃为奇数时，求数列m｝的前九项和S”.

【方法技巧】

对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从〃为奇数、偶数进行分类.

2鼠+2,”为奇数,

【变式7-1］已知数列｛4｝的通项公式为。“=

H+1,"为偶数.

⑴求数列的前“项和s”；

⑵设bn=a2n,,,求数列｛bn-齐｝的前〃项和＜.

1%+2,〃为奇数

【变式7-2］（2024.全国•模拟预测）已知数列｛2｝中,L,且。“+2［也，”为偶数.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵求｛4｝的前〃项和s”.

【变式7-3］（2024.高三・湖北•期中）已知数列｛为｝的各项均为正数，其前〃项和为S“，且d=4S“-2a”-1.

⑴求s“；

/20_，”为奇数

⑵设々=，7^+1+J%+5,求数列他｝的前8项和r8.

S"-S"T，〃为偶数

题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题

1g

【典例8-11（2024.四川成者B•二模）已知数列｛%,｝的前〃项和S“=-/〃2+M%eN*）,且R,的最大值为5.

⑴确定常数左，并求。“；

（2）求数列｛|。」｝的前15项和列.

【典例8-2】(2024.高三•浙江绍兴•期末)已知数列｛%｝的前〃项和为S".若[为等差数列，且满足岳=8,

&=5.

4

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设北=闻+同+…+同,求加

【方法技巧】

由正项开始的递减等差数列｛4｝的绝对值求和的计算题解题步骤如下：

(1)首先找出零值或者符号由正变负的项％

(2)在对“进行讨论，当〃《小时，Tn=Sn,当〃>/时，Tn=2Sllo-Sn

【变式8-1](2024•全国模拟预测)已知正项等比数列｛%｝满足%的41=64,&+2是他与。森的等差中项.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若么=log2o„,求数列｛囚|｝的前n项和.

【变式8-2](2024•高三・上海•期中)在公差为d的等差数列｛?｝中，已知％=10,且％,22+2,5%成

等比数列.

⑴求d,a„；

出若4<0,同+同+同^---1■同=100,求〃.

【变式8-3](2024・高三.河南・期中)已知等差数列｛%｝的公差为整数，%=9,设其前W项和为S“，且

是公差为।的等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵若么=-80,求数列步.|｝的前n项和T„.

【变式8-4］（2024•安徽宣城•二模）已知数列｛4｝是首项为1的等差数列，公差d>0,设数列｛?｝的前〃

项和为S“，且S］,凡成等比数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛|a„-8|｝的前n项和Tn.

【变式8-5］（2024・重庆万州・模拟预测）已知数列｛。“｝的前〃项和为S“，且—/"-a

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列｛|%|｝的前〃项和为设月=?，求此的最小值.

题型九：利用等差数列的单调性求解

【典例9-1】（2024.北京海淀•三模）已知等差数列｛。“｝的公差为d,数列也｝满足％也=1（衣曰），贝IJ

“d>0”是“色｝为递减数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【典例9-2】（2024・贵州铜仁•二模）设S”为等差数列｛%｝的前〃项和，且V〃eN*,都有%一同>0,若

«17+«18=0>贝U（）

A.S”的最小值是席B.5“的最小值是几

C.“的最大值是LD.S”的最大值是几

【方法技巧】

（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列｛%｝是递增数列q

%士凡恒成立”.

（2）数列%=/（"）的单调性与y=/（x）,xe[l,+co）的单调性不完全一致.

一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理.但若数列对应的连续函数

是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题.即“离散函数有单调性分连续函数由单调性;

连续函数有单调性o离散函数有单调性”.

【变式9-1]（2024.全国.模拟预测）设S“为等差数列｛4｝的前w项和，且V〃eN*,都有个<霜•若

—<-1,贝U（）

“17

A.S”的最小值是席B.S,,的最小值是几

c.S”的最大值是力D.S1,的最大值是几

【变式9-2]已知等差数列｛叫的前〃项和为S“，公差为"，且⑸｝单调递增，若%=6,则d的取值范围

为（）

A.og]B.c-[0,1]D.[0,2）

【变式9-3]（2024・四川成都・模拟预测）设公差不为。的无穷等差数列｛4｝的前几项和为S“，贝广｛。“｝为递

减数列”是“存在正整数/，当时，5,<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式9-4】设S“为等差数列｛%｝的前〃项和，则对V〃wN*,an+l>\an\,是“科.〉（"+1电”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式9-5]已知等差数列｛4｝的前"项和为鼠，若S2°23>0,S2°24<0,则下列结论正确的是（）

A.数列｛%｝是递增数列B.koi3|>|%）i2|

C.当s“取得最大值时，〃=1013D.51013<S1010

题型十：等差数列中的范围与恒成立问题

【典例10-1］（多选题）（2024.高三.山东临沂.期中）公差为d的等差数列｛。"｝的前”项和为S"，若

sn>0,s12<0,贝U（）

A.d>0B.%>0

C.⑸｝中s$最大D.同<|%|

【典例10-2］（多选题）公差为d的等差数列｛4｝,其前”项和为S“，Sn>0,S12<0,下列说法正确的

有（）

A.d<0B.a7>0C.｛S“｝中S5最大D.同<|%|

【方法技巧】

等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前n

项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的

通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒

成立。

【变式10-1］（多选题）（2024•海南•模拟预测）已知数列｛4“｝满足卬=；出=1,且am=吐言，等差

数列｛"｝的前〃项和为S”，且％=9,%=20,若也>2恒成立，则实数2的值可以为（）

A.—36B.—54C.—81D.—108

【变式10-21（多选题）己知等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，当且仅当”=12时S”取得最大值，则满足

品>。的最大的正整数人可能为（）

A.22B.23C.24D.25

【变式10-3］（多选题）等差数列｛%｝的前〃项和为S“，已知品,=0,15=25,则（）

A.a5=0B.｛a“｝的前”项和中S5最小

q

C.使S,<0时，的最大值为9D.翌的最大值为0

【变式10-4］（多选题）设｛%,｝是等差数列，s.是其前〃项和，且$5<$6，S-*,则下列结论正确

的是().

A.d>0B.%=0

&与均为〃的最大值

C.S9>S5D.S,5

【变式10-5］（多选题）（2024.山东德州.模拟预测）设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，公差为d,6>0,

a6+a7>0,a6-a7<0,下列结论正确的是（）

A.d<0

B.当S“>0时，”的最大值为13

c.数列为等差数列，且和数列｛为｝的首项、公差均相同

D.数列前〃项和为7”，%最大

3

1.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列｛为｝的前〃项和为s0,若跖=1,则%+%=

A.-2IC.1D-t

2.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记S“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知邑=%，“5=1，则

4=(

D-W

A-Ic-4

3.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记S,为等差数列｛■的前“项和.若。2+%=1。，的8=45,则

$5=()

4.已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.求此数列中间

一项的值以及项数.

5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最

上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列｛%｝.

&(1)写出数列｛%｝的一个递推公式；

(2)根据(1)中的递推公式，写出数列｛4｝的一个通项公式.

6.已知两个等差数列2,6,10,…，190及2,8,14,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大

的顺序组成一个新数列.求这个新数列的各项之和.

㈤6

//易错分析-答题模板\\

易错点：忽视数列的首项

5,(n=l),

易错分析：由S“求通项公式4，可用4=J求解.当〃=1时，如果不适合

.2)

an=Sn-S.T，则应写成分段形式•

【易错题1】已知数列｛4｝的前八项和为S“，且S"="2+〃一2,则数列｛例｝通项公式%=—.

【易错题2】数歹U｛4｝的前〃项和3=/一2”一2,则该数列的通项—.

第02讲等差数列及其前n项和

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：等差数列的有关概念....................................................4

知识点2：等差数列的有关公式....................................................4

知识点3:等差数列的常用性质....................................................5

解题方法总结...................................................................6

题型一：等差数列的基本量运算...................................................6

题型二：等差数列的判定与证明...................................................7

题型三：等差数列的性质.........................................................9

题型四：等差数列前n项和的性质.................................................9

题型五：等差数列前n项和的最值................................................10

题型六：等差数列的实际应用....................................................12

题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论..........................................13

题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题........................................14

题型九：利用等差数列的单调性求解..............................................16

题型十：等差数列中的范围与恒成立问题..........................................18

04真题练习•命题洞见............................................................19

05课本典例•高考素材............................................................41

06易错分析•答题模板............................................................20

易错点：忽视数列的首项........................................................20

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年甲卷(文)第5题，5分

(1)等差数列的概念2024年n卷第12题,5分(1)选择题、填空题多单独考查基本量的计

(2)等差数列的通项公2023年甲卷(文)第5题，5分舁.

式与求和2023年I卷第7题，5分(2)解答题多与等比数列结合考查，或结合

(3)等差数列的性质2022年上海卷第10题，5分实际问题或其他知识考查.

2022年乙卷(文)第13题，5分

复习目标：

(1)理解等差数列的概念.

(2)掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.

(4)了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.

考点突破■题型探究

--------------[HHHJT,

知识

知识点1:等差数列的有关概念

（1）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为%（常数）

（〃eN*,n>2）.

（2）等差中项

若三个数a，A,o成等差数列，则A叫做［与匕的等差中项，且有a+b-

A=------

2

【诊断自测】（2024.江苏连云港.模拟预测）己知数列｛%｝的前“项和为S"，且S“=++'.证明：数列

,an

闾｝是等差数列；

【解析】（1）当〃=1时，6=彳+—=2,

2ax

S-S1

当时，+—

L七fT

S+S1

所以，。'I二丁丁，所以S：-S3=2（常数），

2”,一与-1

故数列£；｝是以s：=2为首项，2为公差的等差数列.

知识点2：等差数列的有关公式

（1）等差数列的通项公式

如果等差数列伍」的首项为％,公差为d,那么它的通项公式是l）d.

（2）等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛an｝的公差为d,其前〃项和S“=叫+.

【诊断自测】(2024.四川凉山.二模)设等差数列｛〃“｝的前w项和为S“，若生+%=1。，%%=5。，则

S$=___•

【答案】27

【解析】等差数列｛七｝中，由生+%=1。，得20=1。，解得4=5,而%%=50,则佝=10，

于是数列｛%｝的公差d==%=%-1=4,

所以$6=6(%；%)=3(4+%)=27.

故答案为：27

知识点3：等差数列的常用性质

已知｛4｝为等差数列，d为公差，3为该数列的前〃项和.

(1)通项公式的推广：an=ammeN*).

(2)在等差数列｛〃〃｝中，当加+〃=〃+9时，〃旭+%=。〃+%(彼