2025年新高考数学一轮复习：函数与导数背景下的新定义压轴解答题（九大题型）（学生版+解析）

拔高点突破05函数与导数背景下的新定义压轴解答题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：曲率与曲率半径问题......................................................2

题型二：曼哈顿距离与折线距离....................................................5

题型三：双曲正余弦函数问题......................................................6

题型四：凹凸函数................................................................8

题型五：二元函数问题............................................................9

题型六：切线函数新定义.........................................................10

题型七：非典型新定义函数.......................................................12

题型八：拐点、好点、不动点、S点...............................................14

题型九：各类函数新概念.........................................................16

03过关测试....................................................................17

方法特眄与Q饯

1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查

考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，

重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.

2、设尸（西,为）,0（%,%）为平面上两点,则定义昆-再|+历-为|为“折线距离”“直角距离”或“曼哈

顿距离”，记作d（P,Q）=|x2-xj+昆-儿|.

结论1：设点尸（尤0，为）为直线/:Nx+8y+C=0外一定点，0为直线/上的动点，则

出。+By。+C|

4（尸,Q）min

max{|^|,|5|}

结论2：设点尸为直线++G=0上的动点，点0为直线/x+gy+G=。上的动点，则

C-GI

义尸，。濡=

max{|^|,|5|）

题型归赢总结

题型一：曲率与曲率半径问题

【典例1-1]（2024•浙江温州•二模）如图，对于曲线r,存在圆。满足如下条件:

①圆C与曲线「有公共点A,且圆心在曲线「凹的一侧;

②圆C与曲线「在点A处有相同的切线;

③曲线「的导函数在点A处的导数（即曲线「的二阶导数）等于圆c在点A处的二阶导数（已知圆

+(y-b)2=/在点/(%,%)处的二阶导数等于区My)；

则称圆C为曲线「在A点处的曲率圆，其半径/称为曲率半径.

(1)求抛物线>=/在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线的曲率半径的最小值；

X

(3)若曲线y=e”在(再,9)和92，/乂%w%)处有相同的曲率半径，求证：xt+x2<-ln2.

【典例1-2】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因，在

修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率(Curvature)来刻画路线弯曲度.如图所示的光滑

曲线C上的曲线段/瓦设其弧长为As,曲线C在4,8两点处的切线分别为〃,4，记加4的夹角为

1凶1ir(x)|

△小回回,定义心普为曲线段蕊的平均曲率，定义风月=蚂

krz,3仁为曲线

C：y=/(x)在其上一点/&/)处的曲率.(其中/'(X)为/⑴的导函数，/㈤为了‘(X)的导函数)

TT

(2)记圆/+/=2025上圆心角为w的圆弧的平均曲率为a.

①求。的值；

②设函数g(x)=ln(x+45a)-xe、i,若方程g(x)=加(加>0)有两个不相等的实数根%,吃,证明:

区-士|<1-与?，其中e为自然对数的底数，e=2.71828-.

3e-3

【变式1-1]定义：若"(X)是。X)的导数,"(X)是一(X)的导数，则曲线y在点若,〃(%))处的曲率

K=―W'⑸—(Tiy(1A

(r已知函数/(》)=6>111片+工|,g(x)=x+(2a-l)cosx,a<-\,曲线y=g(x)在点

[l+[〃(x)『｝2U)I2)

(0,g(0))处的曲率为变；

4

(1)求实数。的值；

7T

(2)对任意xe--,0，时(x)2g'(x)恒成立，求实数小的取值范围；

(3)设方程/(x)=g'(x)在区间,2〃兀+鼻eN")内的根为项,马,x"，…比较x"+]与X"+2兀的大小,

并证明.

【变式1-2](2024•湖北黄冈•二模)第二十五届中国国际高新技术成果交易会(简称“高交会”)在深圳

闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现

代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线。：了=/(同上

的曲线段48,其弧长为As,当动点从A沿曲线段N8运动到8点时，A点的切线乙也随着转动到8点的

切线记这两条切线之间的夹角为(它等于。的倾斜角与〃的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，

一/\<7

夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K=丁为

As

曲线段的平均曲率；显然当8越接近A,即As越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，

因此定义《=图二=；7(若极限存在)为曲线c在点A处的曲率.(其中y,y分别表示

11(i+y2)2

了=/卜)在点A处的一阶、二阶导数)

(1)已知抛物线/=2加(p>0)的焦点到准线的距离为3,则在该抛物线上点(3,力处的曲率是多少？

xx

11（e_1_e-]

⑵若函数g（x）=3不等式g|---|vg（2-cos<wx）对于xeR恒成立，求。的取值范围；

（3）若动点A的切线沿曲线〃力=2》2-8运动至点8（x",〃x"））处的切线，点5的切线与X轴的交点为

（%,0）仅eN）若占=4,b„=xn-2,7；是数列也｝的前〃项和，证明「<3.

题型二：曼哈顿距离与折线距离

【典例2-1】（2024•甘肃兰州♦一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点4,8的坐标分别为（为,为），

（演，/），那么称"（48）=k-xJ+|%-为|为/,8两点间的曼哈顿距离.

⑴已知点M，也分别在直线x-2y=0,2%-了=0上，点/（0,2）与点生，刈的曼哈顿距离分别为

d（M,N）,d（M,N2）,求d（MM）和刈/,乂）的最小值；

⑵已知点N是直线》+产歹+2左+1=0（左〉0）上的动点，点“（0,2）与点N的曼哈顿距离d（跖N）的最小值

记为/㈤，求/㈤的最大值;

（3）已知点点（k,m,»eR,e是自然对数的底），当后VI时，d（跖N）的最大值为

/（加,〃），求的最小值.

【典例2-2】（2024・高三•广西防城港•阶段练习）若设/（。川=同-1|+|冰-2|+…+|依-〃|为曼哈顿扩张距

离，它由〃个绝对值之和组成，其中〃为正整数.如：

M（2,6）=|2x-l|+|2x-2|+|2x-3|+|2x-4|+|2x-5|+|2x-6|

⑴若M（1,2）W5,求x的取值范围；

（2）若/（3,2）上相对一切实数x恒成立，设0>0,Z>>0,J!La2+b2=m+\，求2a+b的最大值.

【变式2-1]（2024•高三•北京•期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提

出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我

们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用刈45)表示，又称

“曼哈顿距离”，即d(43)=Ma+|C8|,因此“曼哈顿两点间距离公式"：若/(%,乂)，B(x2,y2),则

"(45)=b2-西|+历一%|

⑴①点4(3,5),5(2-1),求“43)的值.

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.

⑵已知点以1,0),直线2x-y+2=0,求2点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

⑶设三维空间4个点为4=(%,%zJ,，=1,2,3,4,且毛，N,4©{0,1}.设其中所有两点“曼哈顿距离”

的平均值即7,求7最大值，并列举最值成立时的一组坐标.

题型三：双曲正余弦函数问题

【典例3-1](2024•高三・江苏苏州•开学考试)定义：双曲余弦函数cosh(x)=e；e",双曲正弦函数

px-

sinh(%)二——-——.

(1)求函数y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；

(2)若函数/(x)=logg[cosh(2x)-4sinh(x)]在R上的最小值为-1,求正实数。的值；

sinh(x)1

⑶求证：对任意实数人关于％的方程J<=6+彳总有实根.

cosh(x)2

【典例3-2】(2024•高三・福建宁德•期末)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链

XX

线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程以匕+e。),其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数

片-2-

cosh%=£±£l,类似地我们可以定义双曲正弦函数sinhx='匚.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=.(只写出

即可，不要求证明)；

(2)Vxe[-l,l],不等式cosh2x+加coshx20恒成立，求实数加的取值范围；

⑶若x呜争，试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.

【变式3-1](2024•上海宝山•模拟预测)在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函

数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh(x)=C^,双曲余弦函数：

cosh(x)=《/，㈠是自然对数的底数).

(1)解方程：cosh(x)=2；

(2)写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：sinh(x+y)=,并证明；

(3)无穷数列{。“},q=。，«„+,=2^-1,是否存在实数使得出必=；?若存在，求出。的值，若不

存在，说明理由.

题型四：凹凸函数

【典例4-1】(2024•江苏苏州•模拟预测)定义：函数的导函数为了'(X),我们称函数/'(x)的导函

数/G)为函数/(X)的二阶导函数.已知P(x)=ex(x2+3),q[x)=ex+ax+2.

(1)求函数O(x)的二阶导函数；

(2)已知定义在R上的函数g(x)满足：对任意&,g"(x)>0恒成立.尸为曲线y=g(x)上的任意一点.求

证：除点P外，曲线>=g(x)上每一点都在点P处切线的上方；

(3)试给出一个实数。的值，使得曲线y=o(x)与曲线了=4卜)有且仅有一条公切线，并证明你的结论.

【典例4-2】记/(x)=(/(x))'，/'(x)为/(x)的导函数.若对Vxe。，/"(x)>0,则称函数了=/(x)为。

上的“凸函数”.已知函数H-g/-a/-1,«eR.

(1)若函数/(x)为R上的凸函数，求。的取值范围；

(2)若函数y=〃x)-x在(1,口)上有极值，求a的取值范围.

【变式4-1】设g'(x)为g(x)的导函数，若g'(x)是定义域为D的增函数，则称g(x)为D上的“凹函数”,已

知函数/(x)=xe*+分+a为R上的凹函数.

(1)求。的取值范围；

(2)设函数6(x)=eX-；x2-x-l,证明：当x>0时，A(x)>0,当x<0时，A(x)<0.

1451

(3)证明：/(^)>—+x+77•

—24444

【变式4-2](2024•上海普陀•一模)若函数”/(“卜£。)同时满足下列两个条件，则称歹=/(可在。

上具有性质M.

①y=/(x)在。上的导数/'(x)存在；

②了=/'(x)在。上的导数/"(X)存在，且/〃(x)>0(其中=恒成立.

⑴判断函数y=1g：在区间(0,+8)上是否具有性质河?并说明理由.

⑵设。、b均为实常数，若奇函数g(x)=2x3+M+g在X=1处取得极值，是否存在实数c,使得y=g(x)

在区间[c,+8)上具有性质M?若存在，求出C的取值范围；若不存在，请说明理由.

(3)设左eZ且后>0,对于任意的xe(O,E),不等式1+M(x+1)>_L成立,求人的最大值.

XX+1

题型五：二元函数问题

【典例5-1](2024•高三・湖南•阶段练习)设A是有序实数对构成的非空集，B是实数集，如果对于集合A

中的任意一个有序实数对(xj),按照某种确定的关系/,在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称

为从集合A到集合8的一个二元函数，记作z=/(x,y),(x/)e”,其中A称为二元函数/的定

义域.

(1)已知/(x,y)=，拶+y2,1=(x],yj,8=(x2,y2),若/⑷=1,/®)=2,再%=1,求/R+B)；

(2)非零向量〃=(%,%),若对任意的(X,力eD,Z)a4〃>0,记方=(xj),都有/伍)</伍+碗)，则称/

在。上沿瓦方向单调递增.已知/(xj)=eX+y+er,xwR,"R.请问/在｛(x,y)|x/eR｝上沿向量(1,1)方向

单调递增吗？为什么？

(3)设二元函数/的定义域为D,如果存在实数M满足：

①V(x,y)e。，都有

②况乙，判)£。，使得，(%，%)=』.

那么，我们称M是二元函数/的最小值.求

/(X")=了+sin2x+|：-jJcos2x,(x,y)eeR,gV”2：的最大值.

【典例5-2】(2024•江苏盐城•模拟预测)根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=/(x,y)在约束条

件g(xj)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数=+其中/为拉格

朗日系数.分别对中的x,弘几部分求导，并使之为0,得到三个方程组，如下：

4(x,y㈤=£(x,y)+近(x,y)=0

<Ly(x,2)=fy(x,y)+Agy(x,y)=0,解此方程组，得出解(X/),就是二元函数z=/(x,y)在约束条件

LAx,y,X)=g(x,y)=0

g(x,y)的可能极值点.x，N的值代入到了(xj)中即为极值.

补充说明：【例】求函数/(x,y)=/+xy+产关于变量x的导数.即：将变量V当做常数，即：

fx(x,y)=2x+y,下标加上X,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的4,4,与表示

分别对x,y,2进行求导.

⑴求函数/(x,y)=x2/+2xy+xy2关于变量，的导数并求当x=1处的导数值.

(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数X，V满足g(x,y)=4/+y2+盯_1=o,求/(x/)=2x+7的最大值.

⑶①若x,%z为实数，且x+y+z=l,证明：x2+y2+z2>—.

,11,

②设。>6>c>0,求20rH--H"-——1Qac+25c的最小值.

aba(a-b)

【变式5-1](2024•全国•模拟预测)已知变量x,y,z,当x,y在某范围。内任取一组确定的值时，若变

量z按照一定的规律/总有唯一确定的x,夕与之对应，则称变量z为变量x,y的二元函数，记作

z=f(x,y).已知二元函数〃x,y)=2x+：(y力0).

⑴若孙>0,求/(xj)./','的最小值.

(2)对任意实数x,不等式|/(x,a)|+|/(x,2a)上.恒成立，求实数a的取值范围.

题型六：切线函数新定义

【典例6-1】若两个函数y=〃x)与y=g(x)在x=/处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为

⑴判断函数”sinx与歹=%是否相切；

(2)设反比例函数歹=，与二次函数y=狈2+乐(。力0)相切，切点为求证：函数产,与歹=4—+法恰有

两个公共点；

⑶若0<a<i,指数函数y=/与对数函数歹=logaX相切，求实数。的值；

(4)设(3)的结果为％,求证：当0<“<为时，指数函数>=/与对数函数>=bg“x的图象有三个公共点.

【典例6-2】对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数/(x),若对在/(x)定义域内的给定常数风存

在数列｛%,｝满足出在/(x)的定义域内且4>a,且对\/〃22,"€3\*/=/卜)在区间(应4_1)的图象上有且

仅有在x=a“一个点处的切线平行于和的连线，则称数列｛4｝为函数〃x)的“(7关联

切线伴随数列”.

⑴若函数〃x)=f,证明：VaeRJ(x)都存在“。关联切线伴随数列”；

⑵若函数g(x)=(x-l)，数列｛%｝为函数g(x)的“1关联切线伴随数列”，且q=逝+1,求｛4｝的通项公

式；

(3)若函数〃(x)=晟+6sinx,数列也｝为函数从"的“关联切线伴随数列”，记数歹U也｝的前〃项和为S.，

证明：当初上1,620时，Sn+bn>｛n-\)b+2\.

【变式6-1](2024•广西•二模)定义：若函数/(x)图象上恰好存在相异的两点尸，。满足曲线歹=/(力

在尸和。处的切线重合，则称尸,。为曲线V=/(x)的“双重切点”，直线P。为曲线y=/⑺的“双重切线”.

⑴直线y=x-1■是否为曲线〃x)=；/_2x+2出的“双重切线”，请说明理由；

eY+1,x<0,

(2)已知函数g(x)=<4求曲线V=g(x)的“双重切线”的方程;

6—,x>0,

x

(3)已知函数/z(x)=cosx,直线尸。为曲线y="x)的“双重切线”，记直线尸。的斜率所有可能的取值为

k15

占出，…，勾，若左〉左2>尢（，=3,4,5,…力,证明：—<—.

伤O

【变式6-2］（2024•高三•贵州贵阳•开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复

数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程/（力=0的其中一个根，•在x=x。的附近，如

图所示，然后在点（%,/（%））处作/（x）的切线，切线与x轴交点的横坐标就是弓，用不代替「重复上面的

过程得到/；一直继续下去，得到天,4，巧，……，x”.从图形上我们可以看到々较天接近小巧较演

接近『，等等.显然，它们会越来越逼近「于是，求「近似解的过程转化为求五,若设精度为£,则把首

次满足|当-尤.」<£的当称为r的近似解.

已知函数/（力=/+（。一2.+°,aeR.

（1）当。=1时，试用牛顿迭代法求方程/（力=0满足精度£=0.5的近似解（取％=-1,且结果保留小数点

后第二位）；

⑵若/⑺-1nx»0,求。的取值范围.

题型七：非典型新定义函数

【典例7-1】（2024•湖南长沙•二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点

的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）

值.

对于函数y=/（x）,设自变量x从X。变化到X0+Ax,当Ax>0,lim"/+♦）一/（/）是一个确定的值,

则称函数y=/(x)在点看处右可导；当Ax<o,lim"/+♦)一/(/)是一个确定的值,则称函数

-Ax

y=/(x)在点七处左可导.当函数y=/(x)在点七处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数y=/(x)在

点七处可导.

(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；

⑵己知函数/(x)=x2eax2+t-x3sinx-ex2.

(i)求函数g(x)=e"'+i-xsinx-e在x=0处的切线方程；

(ii)若x=0为/(x)的极小值点，求。的取值范围.

【典例7-2)(2024•高三•重庆•期中)若函数/(x)在定义域内存在两个不同的数%,马,同时满足

/(石)=/仁)，且/(X)在点(巧,〃%)),(七,〃3))处的切线斜率相同，则称/(X)为“切合函数”

⑴证明：/(x)=x3-2x为“切合函数”；

⑵若g(x)=xlnx-x2+6zx为“切合函数”，并设满足条件的两个数为%,马.

(i)求证：再%2<—；

4

..、、2I---3

(ii)求证：(a+1)xxx2-y]xxx2<—.

【变式7-1](2024•上海•模拟预测)已知函数y=/(x),xeD,如果存在常数M,对任意满足

n

再<吃<…<X,I<X,的实数占,马5***,'“-19”n，其中再‘%2''"-I'6D，都有不等式»(士)-/(龙1)区加

i=2

恒成立，则称函数y=/(x),xeD是“绝对差有界函数”

⑴函数/(x)=^,x2工是“绝对差有界函数”，求常数M的取值范围；

xe

(2)对于函数y=/(x),xe[a,6],存在常数左，对任意的占,％e[见同，有|/(西)-/(%)归砒-引恒成立，

求证：函数了=/(x),xe[a,6]为“绝对差有界函数”

/、XCOS——,0<X<1

⑶判断函数/(x)=2x是不是“绝对差有界函数”？说明理由

0,x=0

【变式7-2］(2024•上海•三模)设函数y=/(x)的定义域为D,对于区间/=［。,可(/口。)，当且仅当函

数V=/(x)满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间/是V=/(x)的一个“美好区间

性质①：对于任意与",都有〃/)€/;性质②：对于任意都有

⑴已知〃x)=f2+2x,xeR.分别判断区间［0,2］和区间［1,3］是否为函数y=/(x)的“美好区间”，并说

明理由；

⑵已知/(x)=---3x+12(xeR)且加>0,若区间［。,间是函数y=/(x)的一个“美好区间”，求实数加

的取值范围；

(3)已知函数y=/(x)的定义域为R,其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意都有

f(a)-f(b)>b-a.求证：函数y=/(x)存在“美好区间”，且存在%eR,使得七不属于函数y=/(x)的

任意一个“美好区间”.

题型八：拐点、好点、不动点、S点

【典例8-1］(2024•高三•福建泉州•期中)记/'(X)、g'(x)分别为函数/⑺、g(x)的导函数.若存在

x°eR，满足/(%)=g(Xo)且/=则称％为函数/(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)证明：函数/(x)=x与g(x)=f+2x-2不存在“S点”;

(2)若函数/(工)=加-1与g(x)=lnx存在“S点”，求实数。的值.

【典例8-2】对于函数/G),若存在实数/满足/(%)=%,则称/为函数/(%)的一个不动点.已知函数

f(x)=x3+ax2+bx+3,其中a，beR

(1)当。=0时，

(i)求/(x)的极值点；

(ii)若存在「既是/G)的极值点，又是/(x)的不动点，求b的值：

(2)若/(x)有两个相异的极值点々，莅,试问：是否存在0,6使得々，巧均为/(x)的不动点？证明你

的结论.

【变式8-1】记y=/'(x),y=g'(x)分别为函数y=/(x),y=g(x)的导函数.若存在x°eR,满足

/(飞)=g(%)且/'(3)=g'(3),则称不为函数y=/(x)与y=g(x)的一个“好点”.

(1)判断函数/(“=》与8(“=炉-》+1是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明理由;

⑵若函数/(X)="-1与g(x)=Inx存在“好点”，求实数。的值；

⑶已知函数/(%)=-/+°,g(x)=——，若存在实数0＞0,使函数了=/(力与了=8(”在区间(2,+8)内

存在“好点”，求实数6的取值范围.

【变式8-2］给出定义：设/'(x)是函数y=/(x)的导函数，/"(x)是函数/'⑺的导函数，若方程

/”(x)=0有实数解x=%，则称(%,/(%))为函数y=/(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数

/(0=渥+加+次+〃(//0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=/(x)图象的对称中心.

⑴若函数/("=犬+3》2一9x-l,求函数/(x)图象的对称中心；

1OS

(2)已知函数g(x)=2mx3+r61n(mx)-15~|x2+一x---+1,其中加＞0.

L3mm

(i)求g(x)的拐点；

(ii)若g(xJ+g(X2)=2(0＜Xi＜迎)，求证：0＜再＜,＜乙.

m

【变式8-3](2024•河南♦三模)设函数/(x)的导函数为/'(x),/'(x)的导函数为/〃(尤)数为7的导函数

为广⑺.若/(%)=0,且/"'(X0)N0,则(X°J(XO))为曲线y=/(x)的拐点.

(1)判断曲线、=•?是否有拐点，并说明理由；

(尬

⑵已知函数〃“=尔-5亡若±-,fm为曲线y=〃x)的一个拐点，求〃x)的单调区间与极值.

题型九：各类函数新概念

【典例9-1】定义：函数加(X),〃(X)的定义域的交集为。，A^D,若对任意的x°e/,都存在占

使得Xj,x0,4成等比数列，加(再)，“(X。)，加(%)成等差数列，那么我们称加(x),"(x)为一对“K函

数”，已知函数〃x)=«-?n±,g(x)=or,a>0.

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)求证：/(工)2彳(4-右)；

(III)若/=[1,”)，对任意的aeS,/(x),g(x)为一对“K函数”，求证：C为自然对数的

底数)

【典例9-2](2024•山东•模拟预测)如果/z(x)是定义在区间。上的函数，且同时满足：①〃(x“(x)>o；

x

②〃(x)与6(x)的单调性相同，则称函数/z(x)在区间。上是链式函数”.已知函数[(x)=e-^-x-l,

,x2

g(x)x=1---cosx.

(1)判断函数4%)与g(x)在(0,+8)上是否是“链式函数t并说明理由；

(2)求证：当x>0时，ex+cosx-2>-4smX.

3+cosx

【变式9-1](2024•上海奉贤•一模)若函数y=/(x)满足：对任意的实数s,fe(0,+co),有

f(s+0>/(«)+/(O恒成立，则称函数y=f(x)为“E增函数”.

(1)求证：函数y=sinX不是“X增函数”；

(2)若函数y=-x-。是“X增函数”，求实数。的取值范围；

⑶设g(x)=e*ln(l+x),若曲线y=g(x)在x=x。处的切线方程为歹=》，求％的值，并证明函数y=g(x)是

“E增函数”.

【变式9-2](2024•高三•陕西安康•期末)已知函数/(x)=(61nx—3)x2+12(zx(aeR).

(1)若/(x)在其定义域内是增函数，求。的取值范围；

(2)定义：若/⑴在其定义域内单调递增，且/(x)+g(x)在其定义域内也单调递增，则称g(x)为/(x)的

“协同增函数”.

已知函数g(x)=4/-18办、12(2-a)x,若g(x)是的“协同增函数”，求。的取值范围.

0

时生涮步

.八.V

1.(2024•湖北•二模)记/={/(x)|/(x)=Ax+加以加ER},若/O(X)E4,满足：对任意/(%)£/,均有

max|/(x)-/(x)|>max|/(x)-Zo(x)|,则称/。卜)为函数/(x)在x£［见句上“最接近”直线.已知函数

g(x)=21nx-x2+3,

(1)若g("=g(s)=0,证明：对任意/(%)w4max|g(x)-/(x)|>l；

（2）若r=l,s=2,证明：g（x）在xe［l,2］上的“最接近，，直线为：/°（x）=⑵n2-3）［x-野］+2+；（工。）,

其中x°e（l,2）且为二次方程2d+（21n2-3）x-2=0的根.

2.（2024•高三•浙江宁波•期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯

曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：y=/（x）上的曲线段前，其弧长为As,当动点从/沿曲线段前

运动到B点时，A点的切线乙也随着转动到B点的切线。，记这两条切线之间的夹角为（它等于。的

倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，

-LX（7

弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K=丁为曲线段蕊的平均曲率；显然当8越接近/,即As越

As'

orAW

小，K就越能精确刻画曲线C在点/处的弯曲程度，因此定义《=2%仄；。=；J（若极限存在）为

（1+9

曲线C在点/处的曲率.（其中y',y"分别表示y=/（x）在点/处的一阶、二阶导数）

（1）求单位圆上圆心角为60。的圆弧的平均曲率；

⑵求椭圆=i在［后!）处的曲率；

⑶定义。（7）=叩］为曲线7=/（X）的“柯西曲率”.已知在曲线/（x）=xInx-2x上存在两点

（1+了）

尸（xj（xj）和。卜2，〃七）），且P，0处的“柯西曲率”相同，求再+疾的取值范围.

3.（2024•高三•辽宁•期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲

线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/'（X）是/（力的导函数,

⑴求曲线/(x)=lnx+x在(1,1)处的曲率4的平方;

(2)求余弦曲线〃(力=cosx(xeR)曲率K?的最大值；

4.已知定义在R上的函数/⑺的导函数为了'(X),若1对任意xeR恒成立，则称函数/⑺为“线

性控制函数”.

⑴判断函数/(x)=sinx和g(x)=e，是否为“线性控制函数”，并说明理由；

(2)若函数〃x)为“线性控制函数”，且〃x)在R上严格增，设43为函数/(x)图像上互异的两点，设直线

N8的斜率为左，判断命题“0<%VI”的真假，并说明理由；

(3)若函数为“线性控制函数”，且〃x)是以T(T>0)为周期的周期函数，证明：对任意看,马都有

5.(2024•上海徐汇•二模)已知常数上为非零整数，若函数》=/(x),xe[0,l]满足：对任意

44

Xt,x26[0,1],|/(^)-/(%2)|<|(^+1)-(X2+1)|,则称函数7=/(x)为“左)函数.

⑴函数y=2x,xe[o,l]是否为“2)函数？请说明理由；

⑵若y=/(x)为〃1)函数，图像在是一条连续的曲线，/(。)=0,/(l)=p且/(x)在区间

(0,1)上仅存在一个极值点，分别记/(x)1m-/(xL为函数V=的最大、小值，求/(、二一/⑺皿

的取值范围；

(3)若a>0,f(x)=0.05x2+0.lx+aIn(x+1),且y=/(x)为£(一1)函数，g(x)=f'(x),对任意

恒有|g(x)-g(y)|w，记M的最小值为〃(a),求。的取值范围及关于。的表达式.

6.(2024•上海奉贤•二模)设函数>=/(x)的定义域是R,它的导数是/'(X).若存在常数加(〃zeR),

使得/(x+M=-7'(x)对一切x恒成立，那么称函数y=/(x)具有性质尸(加).

⑴求证:函数y=e'不具有性质P(m)；

⑵判别函数>=sinx是否具有性质P(加).若具有求出加的取值集合；若不具有请说明理由.

7.(2024•河北石家庄•一模)已知函数f(x)=2x-&-(左+l)lnx,k>0.

X

(1)当左=1时，过坐标原点o作曲线y=/(x)的切线，求切线方程；

(2)设定义在/上的函数y=6(x)在点尸(/心)处的切线方程为y=/(x),对任意xw%,若

>0在/上恒成立，则称点尸为函数y=力(无)的“好点”，求函数y=/(x)在(0,+/)上所

有“好点”的横坐标(结果用上表示).

8.对于定义在。上的函数〃无)，其导函数为/'(尤).若存在斤e。，使得/")=/("),且》=后是函数

/(x)的极值点，则称函数/(x)为“极致上函数”.

(1)设函数/(x)=x+atanx,其中-aeR.

①若/(x)是单调函数，求实数。的取值范围；

②证明：函数/(x)不是“极致0函数”.

(2)对任意加€出,证明：函数8(司=皿11》+加1：05》-加是“极致0函数”.

9.曲线的曲率定义如下：若/'(X)是/a)的导函数，/"(x)是/。)的导函数，则曲线y=/(x)在点

1八刈

(员/。))处的曲率犬=3,已知函数〃x)="COSXg(x)=acosx+x(a<。)，曲线y=g(x)在

{l+[/'«]2p

点(o,g(。))处的曲率为e.

4

(1)求实数。的值；

(2)对任意的xe-pO,"(x)-g'(x)20恒成立，求实数/的取值范围；

(3)设方程/(x)=g'(x)在区间[2而+§,2〃兀+,J(〃eN+)内的根从小到大依次为%,马,…,x”,…，求证:

x“+i-X”>2兀.

10.(2024•湖南永州•三模)曲线的曲率定义如下:若/'(x)是“X)的导函数，令夕(x)=/'(x),则曲线

|夕'(X)|2

y=/(x)在点(XJ(x))处的曲率K=/.已知函数/(x)=L+x(a>0),g(x)=(x+1)ln(x+1),

(l+[/M)2a

且fM在点(0,7(0))处的曲率K=受.

4

(1)求。的值，并证明：当x>0时，/(x)>g(x)；

(2)若4=噜詈,且丁=许也也…一(”旦*),求证：(〃+2)(<j上

11.(2024•江苏淮安•三模)定义可导函数y=/(x)在x处的弹性函数为/'(尤>二工，其中/(X)为/a)

的导函数.在区间。上，若函数"X)的弹性函数值大于1,则称"X)在区间D上具有弹性，相应的区间。

也称作"X)的弹性区间.

(1)若*x)=e*-x+l,求r(x)的弹性函数及弹性函数的零点；

(2)对于函数/(x)=(x-l)e"+Inx-tx(其中e为自然对数的底数)

(i)当"0时，求/a)的弹性区间D；

(ii)若〃乃>1在G)中的区间。上恒成立，求实数，的取值范围.

12.(2024•江苏南通•模拟预测)已知函数/'(x)=WU.

Cl)求函数/(x)的图象在x=e㈠为自然对数的底数)处的切线方程；

(2)若对任意的xe。,均有加则称加(x)为〃(x)在区间£)上的下界函数，为加(x)在区

间D上的上界函数.

①若g(x)=£,求证：g(x)为“X)在(0,+向上的上界函数；

②若g(x)=占，g(x)为/(X)在［1,m)上的下界函数，求实数上的取值范围.

13.(2024•高三•全国•课后作业)设於)是定义在区间(1,+8)上的函数，其导函数为了'(X).如果存在实

数。和函数〃(x),其中〃(x)对任意的XG(1,+8)都有力(x)>0,使得/。)=力任)(/-"+1),则称函数外)具有

性质尸(Q).

⑴设函数〃x)=lnx+g(x>l),其中6为实数.

①求证：函数人到具有性质P(a).②求函数人x)的单调区间.

(2)已知函数g(x)具有性质尸(2),给定x/,x2e(l,+oo),x/42.设优为实数，

a=mxl+(i-m)x2,fl=(1-m)x2+mx2,且a>1,力>1.若|g(a)-g(£)|<|g(xj-g3)|，求实数加的取值范

围

14.(2024•甘肃•二模)已知函数〃x)=e、+上「1(aeR且。为常数).

(1)当0=-1时，讨论函数/(X)在(-1,+8)的单调性；

(2)设了=/(x)可求导数，且它的导函数/(X)仍可求导数，则f'(x)再次求导所得函数称为原函数了=/(x)

的二阶函数，记为，’(X),利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性.一个二阶可导的函数在区间口,0上

是凸函数的充要条件是这个函数在(a，b)的二阶导函数非负.

若g(x)=(x+l)[/(x)+1]+(。-JN)/在不是凸函数，求a的取值范围.

15.已知函数/(%)=/-(a+2)x+Qlnx,其中实数。〉0.

⑴讨论函数/(X)的单调性；

(2)设定义在。上的函数y=〃(x)在点网%,〃(%))处的切线的方程为y=g(x),当时，若

”(无)[g0)>°在。内恒成立，则称P为蚱右⑺的“类对称点”当a=4时，试问y=〃力是否存在“类对称

点”？若存在，请至少求出一个"类对称点"的横坐标；若不存在，请说明理由.

16.曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动

率，设曲线c：y=/(x)具有连续转动的切线，在点(x,/(x))处的曲率K其中/'(X)为

[1+(/'(叨

/(x)的导函数，/"(X)为/'(X)的导函数，已知〃x)=x21nx-Wx3-|x2.

(l)a=O时，求/(力在极值点处的曲率；

(2)a>0时，/'(X)是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；

(3)g(x)=2xe*-4e*+/x2,,当/(x),g(x)曲率均为0时，自变量最小值分别为看,求证:

17.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯

曲程度的重要指标是曲率，曲线的