2023届高考数学特训营-第3节-函数的奇偶性、周期性与对称性

第3节函数的奇偶性、周期性与对称性A级(基础应用练)1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A．y=|log3x| B．y=x3C．y=e|x| D．y=cos|x|答案：C解析：对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y=x3是奇函数．对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，对于D选项，y=cos|x|在(0，1)上单调递减．2．(2022•安徽省安庆市模拟)设函数f(x)=2x－2－x＋x3，则使得不等式f(2x－1)＋f(3)<0成立的实数x的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，2)C．(－1，＋∞) D．(2，＋∞)答案：A解析：函数的定义域为R，f(－x)=2－x－2x－x3=－f(x)，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为f(2x－1)<f(－3)，∴2x－1<－3，解得x<－1，∴x的取值范围是(－∞，－1)．(2022•咸阳模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(lnx)<f(2)，则x的取值范围是()A．(0，e2) B．(e－2，＋∞)C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)答案：D解析：根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(lnx)<f(2)⇔|lnx|<2，即－2<lnx<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2)．4．(2022•河南省安阳市模拟)设函数f(x)满足f(－x)=f(x)，且∀x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则()A．f(－2)<f(－3)<f(1)B．f(－3)<f(－2)<f(1)C．f(－1)<f(－2)<f(3)D．f(－1)<f(3)<f(－2)答案：C解析：由题意知∀x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可得函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又由函数f(x)满足f(－x)=f(x)，可得f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)=f(2)，所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(－1)<f(－2)<f(3)，故选C.5．(2021•全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2＋b.若f(0)＋f(3)=6，则f(eq\f(9,2))=()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(7,4) D.eq\f(5,2)答案：D解析：因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)=－f(x＋1)①；因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)=f(－x＋2)②.令x=1，由①得f(0)=－f(2)=－(4a＋b)，由②得f(3)=f(1)=a＋b.因为f(0)＋f(3)=6，所以－(4a＋b)＋a＋b=6⇒a=－2，令x=0，由①得f(1)=－f(1)⇒f(1)=0⇒b=2，所以f(x)=－2x2＋2.思路一：从定义入手．f(eq\f(9,2))=f(eq\f(5,2)＋2)=f(－eq\f(5,2)＋2)=f(－eq\f(1,2))，f(－eq\f(1,2))=f(－eq\f(3,2)＋1)=－f(eq\f(3,2)＋1)=－f(eq\f(5,2))，－f(eq\f(5,2))=－f(eq\f(1,2)＋2)=－f(－eq\f(1,2)＋2)=－f(eq\f(3,2))，所以f(eq\f(9,2))=－f(eq\f(3,2))=eq\f(5,2).思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数f(x)的周期T=4.所以f(eq\f(9,2))=f(eq\f(1,2))=－f(eq\f(3,2))=eq\f(5,2).故选D.6．(2022•辽宁省模拟)写出一个单调递减的奇函数：________．答案：y=－x(答案不唯一)解析：y=－x在定义域R上是减函数，又f(－x)=x=－(－x)=－f(x)，所以函数是奇函数，故答案为y=－x(答案不唯一)．7．(2022•江西省鹰潭模拟)f(x)为R上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)=0，则不等式xf(－x)<0的解集为________．答案：(－1，0)∪(0，1)解析：不等式xf(－x)<0可化为xf(x)>0，画出f(x)的图象如图所示，∴xf(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)．8．(2022•江苏省淮安市模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)=－f(x)，且当－1≤x<0时，f(x)=－x2＋2，则函数f(x)的周期为________，f(2023)=________．答案：41解析：由f(x＋2)=－f(x)⇒f(x＋2＋2)=－f(x＋2)=－[－f(x)]，即f(x)=f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4.f(2023)=f(505×4＋3)=f(3)=f[3＋(－4)]=f(－1)=－(－1)2＋2=1.B级(综合创新练)9．(多选题)(2022•辽宁葫芦岛兴城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)=f(2－x)，且f(－x)=f(x)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于x=2对称B．f(x)的图象关于(2，0)对称C．f(x)的最小正周期为4D．y=f(x＋4)为偶函数答案：ACD解析：∵f(2＋x)=f(2－x)，则f(x)的图象关于x=2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于x=2对称，则f(－x)=f(x＋4)，又f(－x)=f(x)，∴f(x＋4)=f(x)，∴T=4，故C正确；∵T=4且f(x)为偶函数，故y=f(x＋4)为偶函数，故D正确．10．(多选题)关于函数f(x)=sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四个命题，其中为真命题的是()A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的图象关于直线x=eq\f(π,2)对称D．f(x)的最小值为2答案：BC解析：∵f(x)=sinx＋eq\f(1,sinx)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)=sin(－x)＋eq\f(1,sin（－x）)=－sinx－eq\f(1,sinx)=－f(x)，∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故A错误，B正确．∵f(eq\f(π,2)－x)=cosx＋eq\f(1,cosx)，f(eq\f(π,2)＋x)=cosx＋eq\f(1,cosx)，∴f(eq\f(π,2)－x)=f(eq\f(π,2)＋x)，∴f(x)的图象关于直线x=eq\f(π,2)对称，故C正确．当x∈(－eq\f(π,2)，0)时，f(x)<0，故D错误．11．(2022•聊城模拟)偶函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，且f(x)∈[－2，4]，那么当x∈[－3，－1]时，f(－3)=________，f(x)max=________．答案：－24解析：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(－3)=f(3)=－2，偶函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，∴f(x)在区间[－3，－1]上单调递增，∴f(x)max=f(－1)=f(1)=4.12．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)=f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)=2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案：①②解析：在f(x＋1)=f(x－1)中，令x－1=t，则有f(t＋2)=f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0，1]时，f(x)=2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max=f(1)=2，f(x)的最小值f(x)min=f(0)=f(2)=20=1，且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．13．(2022•济南模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．解：(1)由f(x＋2)=－f(x)，得f(x＋4)=f[(x＋2)＋2]=－f(x＋2)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)=f(－1×4＋π)=f(π－4)=－f(4－π)=－(4－π)=π－4.(2)由f(x)是奇函数，且f(x＋2)=－f(x)，得f[(x－1)＋2]=－f(x－1)=f[－(x－1)]，即f(1＋x)=f(1－x)．知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称．又当0≤x≤1时，f(x)=x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=4S△OAB=4×(eq\f(1,2)×2×1)=4.14．对于定义域为D的函数y=f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．(1)求证：区间[0，2]是函数f(x)=eq\f(1,2)x2的一个“优美区间”．(2)求证：函数g(x)=4＋eq\f(6,x)不存在“优美区间”．(3)已知函数y=h(x)=eq\f(（a2＋a）x－1,a2x)(a∈R，a≠0)有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n－m的最大值．解：(1)f(x)=eq\f(1,2)x2在区间[0，2]上单调递增，又f(0)=0，f(2)=2，∴f(x)=eq\f(1,2)x2的值域为[0，2]，∴区间[0，2]是f(x)=eq\f(1,2)x2的一个“优美区间”．(2)设[m，n]是已知函数g(x)的定义域的子集．由x≠0，可得[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，∴函数g(x)=4＋eq\f(6,x)在[m，n]上单调递减．假设[m，n]是已知函数的“优美区间”，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋\f(6,m)＝n，,4＋\f(6,n)＝m，))两式相减得eq\f(6,m)－eq\f(6,n)=n－m，则eq\f(6（n－m）,mn)=n－m.∵n>m，∴mn=6，∴n=eq\f(6,m)，则4＋eq\f(6,m)=eq\f(6,m)，显然等式不成立，∴函数g(x)=4＋eq\f(6,x)不存在“优美区间”．(3)设[m，n]是已知函数定义域的子集．由x≠0，知[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，而函数y=h(x)=eq\f(（a2＋a）x－1,a2x)=eq\f(a＋1,a)－eq\f(1,a2x)在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“优美区间”，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h（m）＝m，,h（n）＝n，))∴m，n是方程eq\f(a＋1,a)－eq