13.4+课题学习+最短路径问题教学设计2024-2025学年+人教版数学八年级上册+_第1页
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教学设计

课程基本信息学科数学年级八年级学期秋季课题13.4课题学习最短路径问题教学目标1.探索最短路径问题的解决方法.2.理解解决问题所用的数学原理.3.会迁移平移、翻折等变换方法解决相关问题.教学重难点教学重点：利用平移、翻折等方法解决最短路径问题.

教学难点：根据条件和所学知识把复杂问题转化为基本问题.教学过程【引入】呈现图片，牧马人从A处出发，先到一条笔直的河边l饮马，再回到B处.他选择在何处饮马可使所走的路径最短？一、牧人饮马问题（建模·转化）1.抽象建模如图，牧人饮马问题抽象为数学问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB最小.想一想：和最短路径相关的数学知识有哪些？（两点之间，线段最短）2.基本模型为了解决上面的问题，先看一个简单的熟悉的问题：点A、B在直线l的两侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小.分析：根据基本事实“两点之间，线段最短”很容易解决.证明：在直线l上任取另一点P'，连接P'A，P'B∵AB<P'A+P'B∴PA+PB<P'A+P'B∴点P为路径最短的点3.构造转化比较两个问题的不同：原问题中PA、PB在直线同侧，已知问题中PA、PB在直线异侧分析：PA、PB在同侧⇒变为异侧⇒利用翻折变换，问题即转化为已知问题二、造桥选址问题（类比·迁移）1.提出问题，建立模型如图，A、B两地在河的两岸，要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使A地到B地的路径AMNB最短？（假定河两岸平行，桥要与河岸垂直）2.类比分析，迁移方法分析：因河岸宽度MN的长度为定值，故AM+BN最小时AM+MN+BN最小.即求当点M在何处时，AM+BN最小.再与前面已解决的基本问题相比，不同之处是：AM与BN是分散不连续的，所以需要转化为连续的折线段.类比迁移前面的方法，用运动变换的方式构造图形.AM、BN分散⇒变为连续⇒利用平移变换，问题即转化为前述基本问题.证明：在直线A上任取另一点M'作M'N'⊥B于N'，连接BN'，B'M'，∵BN平移至B'MBN'平移至B'M'∴B'M=BNB'M'=BN'∵AB'<AM'+B'M'(两点之间，线段最短)∴AM+B'M<AM'+BN'∴AM+BN<AM'+BN'又∵MN=M'N'∴AM+BN+MN<AM'+BN'+M'N'三、拓展应用（综合·提升）1.两次翻折如图，已知∠EOF=30°，点A、B分别在OE、OF上，OA=2，OB=6，点M、N分别是OE、OF上的动点，当AM+MN+BM最小时，画出点M、N的位置.AM、MN、BN在直线同侧⇒变为异侧⇒翻折变换，问题转化为求A'M+MN+B'N何时最小2.平移+翻折如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，MN是OC上的一条线段，且MN=2，点D在OA上，OD=3，画出MN的位置，使ΔDMN的周长最小.ΔDMN的周长最小⇒DM+DN最小DM、DN在OC同侧⇒转化为异侧一个定点与两个动点⇒转化为两定一动四、归纳小结（思想·方法）1.转

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