2025届高三二轮复习 数学中的创新题训练解析

2025届高三二轮复习数学中的创新题型训练一、新定义题型1．[2024·湖南邵阳模拟]我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列{an+1-an}是“一阶等差数列”，则称数列{an}是“二阶等差数列”.定义：若数列{an+1-an}是“k阶等差数列”，则称数列{an（1）若数列{an}的通项公式为a（2）若数列{an}为“二阶等差数列”，且a1=1，对应的“一阶等差数列”的首项为（3）若“三阶等差数列”{an}的前4项依次为1,4,10,20，其前n项和为S【解析】（1）∵an=n2,∴an+（2）由题意得，{an+1-an}是{an}对应的“一阶等差数列”，∵{an+（3）∵{an}是“三阶等差数列”，∴{an+1-an}是“二阶等差数列”，设cn=an+1-an,则{cn+1-cn}是“一阶等差数列”.由题意得c1=4-1=3,c2=10-4=6,c32．[2024·辽宁葫芦岛一模]大数据环境下数据量巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据中所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，若运用合适的算法则会事半功倍.现有一个“数据漏斗”软件，其功能为：通过操作L(M,N)，删去一个无穷非减正整数数列中除以M的余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好，形成一个新的无穷非减正整数数列.已知数列{an}的通项公式为an=3n-1，（1）求Sn（2）是否存在不同的实数p,q,r∈N+，使得Sp，Sq（3）设en=nSn2(3n-1)，n∈N+，对数列{en}进行L(3,0【解析】（1）当n=1时，a1=1，当n≥2时，an3∈N（2）假设存在，由（1）知Sn单调递增，不妨设p<q<r，则2Sq=Sp+Sr，p，q，r∈N+，∵Sn（3）证明：由（1）知Sn=2(3n-1)，∴en=nSn2(3n-1)=n×2(3n-1)2(3n-1)=n，则e3n-2=3n-2，e3n-1=3n-1，e3n=3n，n∈N+，∴进行L(3,0)操作后保留e3n-2，e3n-1，则k2n-1=3n-2，k2n=3n-1，n∈N+，∴k4n3．[2024·广西南宁一模]若无穷数列{an}满足a1=0,|an+1-an|=f(n)，则称数列（1）若数列{an}为β数列，f(n)=1,n（2）若数列{bn}为γ数列，f(n)=n，记cn【解析】（1）先证必要性：依题意得，|an+1-an|=1，又数列{an}是递增数列，所以an+1-an=1，故数列{an}是首项为0，公差为1（2）由cn<cn+1，知数列{cn}是递增数列，因为cn=b2n，所以数列{bn}的偶数项构成递增数列，因为数列{bn}为γ数列,f(n)=n,所以b1=0,|bn+1-bn|=n,bn≤n-12.由|b2-b1|=|b2|=1,得b2=±1,又b2≤12,所以b2=-1.由|b3-b2|=|b3+1|=2，得b3=1或-3,又b3≤1，所以b3=1或-3.当b3=1时，由|b4-b3|=|b4-1|=3，得4．[2024·福建泉州模拟]已知(a,b)表示正整数a，b的最大公约数，若{x1,x2,⋯,xk}⊆{1,2,⋯,m}(k,m∈N*)，且（1）求φ(2)，φ（2）已知(m,n（ⅰ）求φ(（ⅱ）设bn=13φ(6n)-1【解析】（1）依题可得，φ(m)表示所有不超过正整数m，且与m互质的正整数的个数.因为与2互质的数为1，所以φ(2)=1；因为与3互质的数为1，2，所以φ(3（2）（ⅰ）因为[1,2n]中与2n互质的正整数只有奇数，所以[1,2n]中与2n互质的正整数的个数为2n-1，所以φ(2n)=（ⅱ）证法一：由(i)知φ(6n)=2⋅6n-1，所以bn=16n-1，所以bn≤15⋅6n-1，令cn=15⋅6n-1，因为cn+1cn=5．[2024·安徽三模]定义1：若数列{an}满足①a1=1，②∀n≥2,an(an-1)=0，则称{an}为“两点数列”；定义2：对于给定的数列（1）若an=1+(-1)n（2）设p:{an}为常数列，q:{（3）求b2025的最大值，并写出使得b2【解析】（1）依题意得an=1,n为奇数,0,n为偶数,故bn+1=∣an+1-2an∣⋅bn=2bn,（2）先判断充分性：因为a1=1，所以an=1，所以bn+1=|an+1-2an|bn=bn，又b1=1≠0，所以{bn}是以1为首项，1为公比的等比数列，故充分性成立.再判断必要性：假设{bn}为等比数列，且{an}不为常数列，则{（3）当an=1,an+1=1时，bn+1=bn；当an=1,an+1=0时，bn+1=2bn；当an=0,an+6．[2024·重庆一中模拟]对于数列{an}，定义Δan=an+1-an(（1）试写出“2-函数”f(2（2）若f(1,（3）记函数S(x)=x+【解析】6．由定义及Δ(Δan)=m，得Δ(Δan)=Δan+1-Δan=m，则{Δan}是公差为m的等差数列，所以Δan=Δa（1）当m=2时，an=1+(n（2）当m=1时，an=1+(n-2)(n-1)2=n2-3n+42，故“1-函数”f(1,n)=a1+a2+⋯+（3）证明：f(m,n)=a1m+a2m2+⋯+anmn二、交汇创新题型1．[2024·河北沧州模拟]某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程票.为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，已知当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36，60和24.（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率；（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m(m>2且m∈N*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为（i）试用含m的代数式表示p；（ii）若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为B的概率，试求g(【解析】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为10×310=3，10（2）（i）从m+2人中任选2人，有Cm+22种选法，其中购票类型相同的有（ii）由题意得，5组中恰有3组被标为B的概率g(p)=C53p3(1-p)2=10p3(1-2p+p2)=10(p3-2p4+p5)，0<p<1，所以2．[2024·安徽阜阳模拟]篮球运动深受青少年的喜爱，为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100人进行调查，得到2×单位：人性别是否喜爱篮球运动合计喜爱不喜爱男性6040100女性2080100合计80120200（1）依据小概率值α=（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到.记甲第n次触球的概率为Pn，则P（i）证明：数列{P（ii）判断甲第24次与第25次触球的概率的大小.附：χ2=nα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）零假设为H0：喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据，得χ2=200×(（2）（i）证明：由题意得Pn=Pn-1⋅0+(1-P（ii）由(i)得Pn=34⋅(-13)3．[2024·河北沧州三模]已知数列{an}满足ana（1）求数列{a（2）设bn=an-1an+【解析】（1）∵anan+12=4n，a1=2，∴a2=4，∴an+1an+22=4n+1=2anan（2）证明：由（1）知，an=2n，∴bn=4．[2024·浙江温州模拟]已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2)，设过点A(1（1）若椭圆C的离心率为12，求b（2）若|AM|≥1（3）若b=1，记直线EM，EN，EP的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在k1，k2，k3的某种排列ki1，ki2，ki3【解析】（1）由题意知，a2=4，故a=2，又离心率e（2）设点M(x1,y1)，代入椭圆C的方程可得y12=b2(1-x124)，则|AM|=(x1-1)2（3）k1，k3，k2或k2，k3，k1成等差数列，证明如下：若b=1，则椭圆C:x24+y2=1，设点E(1,t)，t≠0.①若直线l的斜率为0，则点P(4,0)，不妨令点M(2,0)，N(-2,0)，则k1=-t，k2=t3，k3=-t3，此时k1，k2，k3的任意排列ki1，ki2，ki3均不成等比数列，k1，k3，k2或k2，k35．[2024·山东济南二模]在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为14.例如在第1秒末，粒子会等可能地出现在(1,0),(-1（1）设粒子在第2秒末移动到点(x,y)，记x+y的取值为随机变量（2）记第n秒末粒子回到原点的概率为pn（i）已知∑nk=0(Cn（ii）令bn=p2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，若对任意的正实数M【解析】（1）粒子在第2秒末可能移动到点(1,1),(2,0),(0,0),(1,-1),(-1,1)，(-X-202P141214E(（2）（i）易知第奇数秒末粒子不可能回到原点，故p3=0.若第4秒末粒子回到原点，则分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有A44种情形；每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右”“上上下下”，共有2C42种情形.于是p4=A44+2C4244（ii）证明：利用2πn(ne)n<n!<(6π)142πn(ne)n可知C2nn=(2n)!(n!)2>46．[2024·安徽合肥模拟]在数学中，把只能被自己和1整除的大于1的自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中的分布规律的公式有“费马数”F(n)=22n+1(n∈N)，还有“欧拉质数多项式”，其具体形式通常为二次多项式，例如：（1）数列{an}中a1,a2,a3经DZB数据加密技术加密后依次变为-5