2022年北京市初三一模数学试题汇编：二次函数的图像和性质

第1页/共1页2022北京初三一模数学汇编二次函数的图像和性质一、单选题1．（2022·北京房山·一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（

）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系二、解答题2．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点，在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于时，总有，求m的取值范围．3．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数．(1)若此二次函数图象的对称轴为．①求此二次函数的解析式；②当时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若，当时，函数值都大于a，求a的取值范围．4．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点，，且，．①当时，比较，的大小关系，并说明理由；②若对于，，都有，直接写出t的取值范围．5．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．(1)若m＝n，求该抛物线的对称轴；(2)已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围．6．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，）和B（b+2，），当时，求b的取值范围．7．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)若，求的值；(2)若，求值的取值范围．8．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点，，在抛物线上．若，比较，，的大小，并说明理由．9．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求m的取值范围．10．（2022·北京通州·一模）已知抛物线过，，三点．(1)求n的值（用含有a的代数式表示）；(2)若，求a的取值范围．

参考答案1．D【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择．【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，由题意得：，这是关于一个二次函数．故选：D．【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．2．(1)(2)(3)【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标；（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，可知关于对称轴对称的点坐标为，进而可知的关系；（3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，，即，可得，可得；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，则，计算求出此时的取值范围；进而可得的取值范围．（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为．（2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，∴关于对称轴对称的点坐标为，∴，故答案为：．（3）解：将代入，得，∴，将代入，解得，∴，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，∵，∴，即，解得，∴，∴；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，∵对于时，总有，∴，解得，∴；综上所述，的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．(1)①；②>；(2)．【分析】（1）①根据对称轴求出a的值，即可得到二次函数的解析式；②把二次函数的解析式配方即可得到解答；（2）由题意可得原函数图象的对称轴为x=a，开口向上，且x≥-2时函数值随x的增大而增大，求出x=-2时y的值，再由y>a即可得到题目解答．(1)解：①由题意可得：,解之可得：a=1，∴二次函数的解析式为：；②∵=，∴y≥5，当x=1时，y=5；当x≠1时，y>5，故答案为>；(2)解：∵=，∴原函数图象的对称轴为x=a，开口向上，∵，∴当时，原函数的函数值随x的增大而增大，∵当x=-2时，y=4+4a+6=10+4a，∴10+4a>a，解之可得：a>，∴a的取值范围为：．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的对称轴、配方法及最值、二次函数的图象及性质是解题关键．4．(1)(2)①，理由见详解；②或【分析】（1）对于抛物线，令，可得，可知点（0，2）在抛物线上，根据点也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；（2）根据题意，大致画出抛物线图象．①当时，根据题意可计算、的取值范围，再结合抛物线图象判断，的大小即可；②分情况讨论，当、、三种情况下，区域和区域的位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围．（1）解：对于抛物线，令，可得，即该抛物线与y轴的交点为点（0，2），又∵点也在抛物线上，∴根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；（2）根据题意，大致画出抛物线图象，如下图，①当时，根据题意可知，，，，即有，，由图象可知，；②若对于，，都有，可分情况讨论，如下图：当时，，，由图象对称性可知，成立；当时，区域向左移动，区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知，成立；当时，区域、区域相向移动，两区域相遇时，有，解得，在时，成立；相遇后，再继续运动，两区域分离时，有，解得；分离后，即时，随着t的增大，由图象对称性可知，成立；综上所述，满足条件的t的取值范围为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应用，解题关键是根据题意画出图形，用数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题．5．(1)x=3(2)【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可；（2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对称轴的形式得出相应不等式解集，根据不等式解集的确定方法求解即可．（1）解：当m=n时，对称轴为；（2）解：根据题意可得：m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，∵m<p<n，mn<0，∴m<0，n>0，∴4a+2b<0，16a+4b>0，化简得：①，②，∵m<p<n，∴化简③得，化简④得，∵t=∴综合①②③④可得：1<t．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及利用不等式确定解集，理解题意，掌握不等式的性质及二次函数的基本性质是解题的关键．6．(1)；(2)；(3)或【分析】（1）把代入解析式，解答即可；（2）根据对称轴为直线计算即可；（3）把坐标代入解析式后，整理，最终转化为解不等式问题求解．（1）解：把代入解析式，，解得，抛物线的解析式为：．（2）解：二次函数的对称轴为直线：，（3）解：将A（b﹣1，）和B（b+2，）代入得，，整理得：，，当时，则，∵，∴，∵b+2>b+1>b-1>b-2，当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是负数，三个正数时，则，解得：1<b<2，当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是正数，三个负数时，则，解得：-2<b<-1，∴时，b的取值范围为：或．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，对称轴的性质，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，对称轴的公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质．7．(1)0(2)【分析】（1）将和分别代入函数解析式，根据，可解出b的值，再将代入函数解析式，可解出c的值；（2）若，由于函数图像开口向上，函数值越小离对称轴越近，函数值越大离对称轴越远，结合二次函数对称性可判断出对称轴的取值范围，把点带入中求出，进而可求出值的取值范围．(1)解：将和分别代入解析式，得，，，，解得，把点带入中，得，解得，函数解析式为当，；(2)解：，中，，函数图像开口向上，又，，，解得，把点带入中，得，，将代入解析式，得，，，，，即．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的性质，牢固掌握以上知识点并学会数形结合是做出本题的关键．8．(1)x=1；(2)．【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；(1)∵点在抛物线上，∴，∴b=-2a，∴抛物线函数关系式为：，抛物线的对称轴为：直线；；(2)∵a＜0，开口向下，且对称轴为：x=1，∴结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大，∵，∴，，，∴，，这三个点，离对称轴最近，离对称轴最远，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．9．(1)，（1，-1）；(2)【分析】（1）把点代入，即可求解；（2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解．(1)解：∵二次函数的图象经过点．∴，解得：a=1，∴该二次函数的解析式为，∵，∴图象顶点的坐标为（1，-1）；(2)解：∵一次函数的图象经过点A，∴，解得：b=5，∴一次函数的解析式为，∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．∴，，∵，∴，即，解得：．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．10．(1)(2)或【详解】（1）解：点在抛物线上，把代入得：，即．（2）、都在抛物线上