【数学】乘法公式(2)课件-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

1.3乘法公式第一章整式的乘除1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;（重点）2.会运用公式进行简单的运算；(难点)学习目标第3课时完全平方公式的认识平方差公式：

(a+b)(a－b)=a2－b2

2.公式的结构特点：

左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.1.由下面的两个图形你能得到哪个公式？复习巩固新课导入3.多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加

.单项式×多项式单项式×单项式多项式×多项式情境引入一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.你发现了什么？aabb直接求：总面积=(a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式讲授新课观察下面算式及其运算结果，你有什么发现呢？(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2·3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？a2+2ab+b2(a＋b)2=

.你能用右图解释这一公式吗？总面积=(a+b)2

；总面积=a2+ab+ab+b2.=a2+2ab+b2

(a+b)2=a2+2ab+b2

议一议(a-b)2=?你是怎么做的呢？方法一：(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2方法二：(a-b)2=[a+(-b)][a+(-b)]=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2(a-b)2=

.a2-2ab+b2要点归纳完全平方公式（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.

简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”

公式特征：1.积为二次三项式；2.积中的两项为两数的平方；3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.你能根据图中的面积解释(a－b)2=a2－2ab+b2吗?baba

图

1思考:a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2典例精析例1

运用完全平方公式计算：解:(2x－3)2==4x2(1)(2x－3)2；(a－

b)2=a2

－2ab+b2(2x)2－2•(2x)•3+32－12x+9；(a

+

b)2=a2

+

2ab+b2y2(2)(y+)2.=y2+y

++()2+2•y•

解：(y+)2=

思考(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2与a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.例2

运用乘法公式计算:(1)(x+2y－3)(x－2y+3);

解:原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]=x2－(2y－3)2=x2－(4y2－12y+9)=x2－4y2+12y－9.方法总结：需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.(2)(a+b－5)2.解：原式=[(a+b)－5]2=(a+b)2－10(a+b)+52=a2+2ab+b2－10a－10b+25方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用完全平方公式计算.例3

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，

所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，

所以m＋1＝±60，

所以m＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．例4

如图的三角形可解释(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.其中(a＋b)0＝1，(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，根据“杨辉三角”计算(a＋b)4.解：原式＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

1．在等号右边的括号内填上适当的项：（1）a+b－c=a+（）（2）a－b+c=a－（）（3）a－b－c=a－（）（4）a+b+c=a－（）b-cb-cb+c-b-c能否用去括号法则检查添括号是否正确?当堂练习

2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1）(x+y)2=x2+y2(2)(x

－y)2=x2－y2(3)(－x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××x2+2xy+y2x2－2xy+y2

x2－2xy+y24x2+4xy+y23.如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为(

)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4abD4.若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k=_______．10或－105.若(x-y)2=(x+y)2+a,则a为

.-4xy(1)(6a+5b)2；

(2)(4x－3y)2

；

=16x2－24xy+9y2；(3)(2m－1)2

；

=4m2－4m+1；(4)(－2m－1)2

.

=4m2+4m+1.6.运用完全平方公式计算:=36a2+60ab+25b2；完全平方公式法则注意(a±b)2=a2±2ab+b21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，需要先添括号变形3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同点（从公式结构特点及结果两方面）课堂小结1.进一步掌握完全平方公式；2.灵活运用完全平方公式进行计算．(重点，难点)学习目标第4课时完全平方公式的运用2.想一想：（1）两个公式中的字母都能表示什么?（2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用?（3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?

(a+b)

2=a2+2ab+b2(a－b)

2=a2－2ab+b2

1.完全平方公式：复习导入新课导入完全平方公式的运用讲授新课思考：怎样计算1022,1972更简便呢？分析：1022和1972是改写成(a+b)2还是(a-b)2呢？a和b怎么确定呢？(1)1022；解：原式=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)1972.解：原式=(200–3)2=40000-1200+9=38809.=1002+2×2×100+22=2002-2×3×200+32典例精析例1计算：(1)(x+3)2－x2；(2)(a+b+3)(a+b－3)；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(1)(x+3)2－x2=

x2+6x+9－x2=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b－3]=(a+b)2－32

=a2+2ab+b2－9；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=

x2+10x+25－(x2－5x+6)=

x2+10x+25－x2+5x－6=

15x+19.例2

运用乘法公式计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);

原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.解:(1)方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.(2)(a+b+c)2.解：原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.例3

化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)=(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4.方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.例4

已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2

的值．解：因为a＋b＝7，所以(a+b)2＝49.所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29.(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.1.运用完全平方公式计算：(1)962

；(2)2032.解：原式=（100－4）2=1002+42－2×100×4=10000+16－800=9216；解：原式=（200+3）2=2002+32++2×200×3=40000+9+1200=41209.当堂练习2.若a+b=5,ab=－6,

求a2+b2,a2－ab+b2.3.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y.解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37；a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.解：因为x+y=4,所以