专项19-一次函数与正比例函数-重难点题型

一次函数与正比例函数-重难点题型【知识点1一次函数和正比例函数的概念】一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。【题型1一次函数的概念】【例1】（娄星区期末）在下列函数中：①y＝﹣8x；②y=32x+1；③y=x+1；④y＝﹣8x2+5；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（肥西县校级月考）下列函数：（1）y＝3x；（2）y＝2x﹣1；（3）y=1x；（4）y＝x2﹣1；（5）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-2】（汉阴县期末）在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系．A．1 B．4 C．3 D．2【题型2利用一次函数的概念求值】【例2】（昭通期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（）A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0【变式2-1】（雨花区期中）若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1【变式2-2】（杨浦区期末）如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是．【变式2-3】已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．【题型3正比例函数的概念】【例3】（萝北县期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m＝．【变式3-1】函数y＝（k+1）xk2是正比例函数，则常数k的值为【变式3-2】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为．【变式3-3】已知函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a＝．【知识点2正比例函数和一次函数解析式的确定】确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。【题型4用待定系数法求一次函数解析式】【例4】已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当y＝1时，求x的值．【变式4-1】已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的关系式；（2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值．【变式4-2】直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）．（1）求直线AB的解析式．（2）若直线CD与AB平行，且直线CD与y轴的交点与B点相距2个单位，则直线CD的解析式为．【变式4-3】已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时y的值是﹣1，当x＝﹣1时y的值是5．（1）求此一次函数的解析式；（2）若点P（m，n）是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，求n的最大值．【题型5用待定系数法求正比例函数解析式】【例5】（青山区期中）已知正比例函数过点A（2，﹣4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形ABP的面积为8．求：（1）过点A的正比例函数关系式；（2）点P的坐标．【变式5-1】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为．【变式5-2】若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值．【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（﹣2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）．（1）求这两个函数的解析式．（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象．（3）求出△POQ的面积．【题型6一次函数解析式与三角形面积问题】【例6】（赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线AB交y轴于点A，直线AC与x轴交于点C，直线AB与x轴交于点B，已知A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）若S△ABC＝12，求点C的坐标．【变式6-1】（阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线AB上的有一点C，且S△BOC＝2，求点C的坐标．【变式6-2】（泰兴市期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．【变式6-3】（雄县期末）如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合）．直线l2：y＝kx+2k经过点P，并与l1交于点M，过点P作PN⊥l2，交l1于点N．（1）求l1的函数表达式；（2）当k=4①求点M的坐标；②求S△APM．

一次函数与正比例函数-重难点题型（解析版）【知识点1一次函数和正比例函数的概念】一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。【题型1一次函数的概念】【例1】（娄星区期末）在下列函数中：①y＝﹣8x；②y=32x+1；③y=x+1；④y＝﹣8x2+5；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0）判定一次函数即可．【解答过程】解：∵一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），y＝﹣8x，y=32x+1，y＝﹣0.5∴一次函数有①②⑤，故选：C．【变式1-1】（肥西县校级月考）下列函数：（1）y＝3x；（2）y＝2x﹣1；（3）y=1x；（4）y＝x2﹣1；（5）A．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】直接利用一次函数的定义分析得出答案．【解答过程】解：（1）y＝3x是正比例函数，也是一次函数；（2）y＝2x﹣1是一次函数；（3）y=1x的分母含有自变量（4）y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数；（5）y=−x是一次函数的有3个，故选：B．【变式1-2】（汉阴县期末）在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据一次函数的定义解答即可．【解答过程】解：在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有①y＝﹣8x；⑤故选：B．【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系．A．1 B．4 C．3 D．2【解题思路】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答过程】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C．【题型2利用一次函数的概念求值】【例2】（昭通期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（）A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0【解题思路】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值．【解答过程】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，解得：k＝0．故选：A．【变式2-1】（雨花区期中）若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1【解题思路】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）求解．【解答过程】解：∵|m|﹣1＝1，∴m＝±2，又∵m+2≠0，∴m≠﹣2，∴m＝2，故选：B．【变式2-2】（杨浦区期末）如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是k≠﹣1．【解题思路】根据一次函数的定义条件直接解答即可．【解答过程】解：∵y＝kx+x+k是一次函数，∴k+1≠0．故答案为：k≠﹣1．【变式2-3】已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；（2）利用（1）中所求，再利用x＝3时，求出y的值即可；（3）利用（1）中所求，再利用y＝0时，求出x的值即可．【解答过程】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0，解得：k＝﹣1；（2）当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9；（3）当y＝0时，0＝﹣2x﹣3，解得：x=−3【题型3正比例函数的概念】【例3】（萝北县期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m＝2．【解题思路】依据正比例函数的定义求解即可．【解答过程】解：∵y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，∴m+2≠0，m2﹣4＝0，解得：m＝2．故答案为：2．【变式3-1】函数y＝（k+1）xk2是正比例函数，则常数k的值为【解题思路】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，即可得出k的值．【解答过程】解：k+1≠0，k2＝1，∴k＝1．故填1．【变式3-2】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为y＝25x．【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．【解答过程】解：由题意，得25﹣m＝0，解得m＝25，该函数的表达式为y＝25x，故答案为：y＝25x．【变式3-3】已知函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a＝23【解题思路】根据正比例函数的定义进行选择即可．【解答过程】解：∵函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，∴2a+b＝1，a+2b＝0，解得a=2故答案为23【知识点2正比例函数和一次函数解析式的确定】确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。【题型4用待定系数法求一次函数解析式】【例4】已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当y＝1时，求x的值．【解题思路】（1）已知y+2与x﹣1成正比例，即可以设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；（2）在解析式中令y＝1即可求得x的值．【解答过程】解：（1）设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入得：4+2＝k（3﹣1）解得：k＝3，则函数的解析式是：y+2＝3（x﹣1）即y＝3x﹣5；（2）当y＝1时，3x﹣5＝1．解得x＝2．【变式4-1】已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的关系式；（2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值．【解题思路】（1）根据y﹣1与x+2成正比例，设y﹣1＝k（x+2），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出关系式；（2）把点（m﹣1，m+1）代入一次函数解析式求出m的值即可．【解答过程】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2），把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2），解得：k＝2．则y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5；（2）把点（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5解得m＝﹣2．【变式4-2】直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，﹣4）．（1）求直线AB的解析式．（2）若直线CD与AB平行，且直线CD与y轴的交点与B点相距2个单位，则直线CD的解析式为y＝2x﹣2或y＝2x﹣6．【解题思路】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）找出在y轴上与B点相距2个单位的点的坐标，再结合直线CD与AB平行，即可得出直线CD的解析式．【解答过程】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（2，0）、B（0，﹣4）代入y＝kx+b中，2k+b=0b=−4，解得：k=2∴直线AB的解析式为y＝2x﹣4．（2）在y轴上与B点相距2个单位的点的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）．又∵直线CD与AB平行，∴直线CD的解析式为y＝2x﹣2或y＝2x﹣6．故答案为：y＝2x﹣2或y＝2x﹣6．【变式4-3】已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时y的值是﹣1，当x＝﹣1时y的值是5．（1）求此一次函数的解析式；（2）若点P（m，n）是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，求n的最大值．【解题思路】（1）把x＝2，y＝﹣1代入函数y＝kx+b，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）根据函数的性质得出m＝﹣3时n最大，代入求出即可．【解答过程】解：（1）依题意得：2k+b=−1−k+b=5解得：k=−2b=3.所以一次函数的解析式是y＝﹣2x+3；（2）∵由（1）可得，y＝﹣2x+3，∴k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，又∵点P（m，n）是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，∴把m＝﹣3代入得出n的最大值是﹣2×（﹣3）+3＝9，即n的最大值是9．【题型5用待定系数法求正比例函数解析式】【例5】（青山区期中）已知正比例函数过点A（2，﹣4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形ABP的面积为8．求：（1）过点A的正比例函数关系式；（2）点P的坐标．【解题思路】（1）设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把A（2，﹣4）代入即可求出k的值；（2）设出P点坐标，再分x＜0与x＞0两种情况进行讨论．【解答过程】解：（1）设正比例函数为y＝kx（k≠0），∵A（2，﹣4），∴﹣4＝2k，解得k＝﹣2，∴正比例函数的解析式为：y＝﹣2x．（2）设P（x，﹣2x）如图1所示，当x＜0时，S△ABP＝S△PBO+S△ABO＝﹣4x÷2+4×2÷2＝8，解得x＝﹣2，∴P（﹣2，4）；②如图2所示，当x＞0时S△ABP＝S△PBO﹣S△ABO＝4x÷2﹣4×2÷2＝8，解得x＝6．∴P（6，﹣12）．综上所述，P点坐标为（﹣2，4），（6，﹣12）．【变式5-1】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为y＝25x．【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．【解过程答】解：由题意，得25﹣m＝0，解得m＝25，该函数的表达式为y＝25x，故答案为：y＝25x．【变式5-2】若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值．【解题思路】设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），由当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9可得关于a、k的两个等式，联立方程组即可求出a，k，得出y关于x的函数关系式，再把x＝3代入，求解即可．【解答过程】解：设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），∴y＝ax+k（x﹣3）．由当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9可得，3=a+k(1−3)9=−a+k(−1−3)解得：a=−1k=−2∴y与x之间的关系式为：y＝﹣x﹣2（x﹣3），即y＝﹣3x+6；∴当x＝3时，y＝﹣3×3+6＝﹣3．【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（﹣2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）．（1）求这两个函数的解析式．（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象．（3）求出△POQ的面积．【解题思路】（1）设正比例函数解析式为y＝mx，一次函数解析式为y＝nx+4，将（﹣2，2）代入可得出两个解析式．（2）运用两点法确定直线所在的位置．（3）面积=12|OQ|•|P【解答过程】解：设正比例函数解析式为y＝mx，一次函数解析式为y＝nx+4，将（﹣2，2）代入可得2＝﹣2m，2＝﹣2n+4，解得：m＝﹣1，n＝1，∴函数解析式为：y＝﹣x；y＝x+4．（2）根据过点（﹣2.2）及（0，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（﹣2，2）可画出正比例函数图象．（3）面积=12|OQ|•|P横坐标|【题型6一次函数解析式与三角形面积问题】【例6】（赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线AB交y轴于点A，直线AC与x轴交于点C，直线AB与x轴交于点B，已知A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）若S△ABC＝12，求点C的坐标．【解题思路】（1）利用待定系数法求直线AB的关系式；（2）根据S△ABC＝12，可求出OC，进而确定点C坐标．【解答过程】解：（1）设直线AB的关系式为y＝kx+b，将A（0，4），B（2，0）代入得，b＝4，2k+b＝0，即k＝﹣2，b＝4，∴直线AB的关系式为y＝﹣2x+4；（2）∵S△ABC＝12，∴12BC•OA又∵OA＝4，OB＝2，∴BC＝6，∴OC＝BC﹣OB＝6﹣2＝4，∴点C（﹣4，0）．【变式6-1】（阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线AB上的有一点C，且S△BOC＝2，求点C的坐标．【解题思路】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．【解答过程】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴k+b=0b=−2解得k=2b=−2∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（2）设点C的坐标为（x