专题02 巧用隐圆 带解析

专题02巧用隐圆一．选择题1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝42，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．22π+4 B．2π C．42+2 解：如图，取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝42，∴AB=2BC∴OC=12AB＝4，OP=∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝4，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长是12•π•4＝2π故选：B．2．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）A．22π B．2π C．3π D．2解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，14AB长为半径的圆交CB于D的QD∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB=2CA＝42，∠QBD∴∠DOQ＝90°，∴QD为⊙O的14∴线段BM的中点N运动的路径长为：90π×14故选：A．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（）A．2 B．π C．2π D．22解：如图，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，在△ADE和△CDF中，AD=CD∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，∵AB＝4，AB=2AC∴AC＝22，∴OA＝OC=2∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴点G的运动轨迹的长为90π×2180故选：D．二．填空题4．如图，扇形AOB，且OB＝4，∠AOB＝90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE．当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为2π．解：如图，连接BE，∵点E是△ODC的内心，∴∠EOC=12∠COD，∠ECO=1∴∠EOC+∠ECO=12（∠COD+∠∵DC⊥OB，∴∠CDO＝90°，∴∠COD+∠DCO＝90°，∴∠EOC+∠ECO=12（∠COD+∠∴∠OEC＝180°﹣45°＝135°，∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠BOE，∵OB＝OC，OE＝OE，∴△COE≌△BOE（SAS），∴∠CEO＝∠OEB＝135°，∴当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为图中OB的长度，设△BOE的外接圆为⊙M，在优弧BNO上任取一点N，连接BN，ON，则∠N＝45°，∴∠M＝90°，∴BM＝OM=22OB∴OB的长=90⋅π⋅22故答案为：2π．5．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是解：如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC=2，∠ACB∴AB=2+2∴OP=12∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK=12OP∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，12∴点M运动的路径长=12•2•π•故答案为π26．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是AC，如图所示：连接OA、OC，作OD⊥AC于D，则AD＝CD=12∵AEC所对的圆心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴OD=33AD=32，OA∴AC的长为120π×23故答案为：4397．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为．解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四边形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AF=2∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝2+4＝6∴AF的最大值为6∵AF=2∴AO的最大值为32．故答案为：328．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+12EC故答案为529．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为．解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，∴AC=12∴点Q的运动路径长为120⋅π⋅118010．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=12．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为解：如图1中，作射线OC．∵tan∠BAC=1∴∠CAB是定值，∵∠COB＝∠CAB，∴∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动．如图2中，当线段AB在y轴上时，设OC1＝k，A1C1＝2k，则有：k2+4k2＝102，∴k＝25∴OC1＝25，如图2中，四边形A2OB2C2是矩形时，OC2＝AB＝10，此时OC2的值最大，当线段AB在x轴上时，同法可得OC3＝45，观察图形可知，点C的运动轨迹是C1→C2→C3，∴点C的运动路径为：（10﹣25）+（10﹣45）＝20﹣65，故答案为20﹣65．11．如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为．解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于2π×2×34=故答案为：3π．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形内部一动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP的最小值是．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝5，OB＝4，∴OC=B∴PC＝OC﹣OP=41∴PC最小值为41−故答案为：41−三．解答题13．如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．（1）证明：如图1，由旋转得：∠EDF＝90°，ED＝DF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADC＝∠EDF，即∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∵AD=CD∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF；（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，∵O是BC的中点，且AB＝BC＝25，∵A，E，O三点共线，∴OB=5由勾股定理得：AO＝5，∵OE＝2，∴AE＝5﹣2＝3，由（1）知：△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF，CF＝AE＝3，∵∠BAD＝∠DCP，∴∠OAB＝∠PCF，∵∠ABO＝∠P＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴ABOB∴CP＝2PF，设PF＝x，则CP＝2x，由勾股定理得：32＝x2+（2x）2，x=355∴FP=355，由勾股定理得：OF=(（3）解：如图3，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF（SAS），∴PE＝OF，当PE最小时，为O、E、P三点共线，OP=OB2∴PE＝OF＝OP﹣OE＝52−∴OF的最小值是52−14．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①点O与△APE的位置关系是，并说明理由；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝，AE达到最大值，最大值是．解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴AEBP=AP解得：AE=3故答案为：34（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：证明：如图1，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ=12∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ=12∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），故答案为：点O在△APE的外接圆上；②连接OA、AC，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC=42+4∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=12AC＝2即点O经过的路径长为22；（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴AEBP∴AE4−x∴AE=14（x﹣2）∴x＝2时，AE的最大值为1，即当AP＝2时，AE的最大值为1．故答案为：2，1．15．阅读下列材料，回答问题．材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值．解决问题：（1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件时，AB有最小值为．（2）如图②，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到BC的距离最小值为．（3）如图③，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ＝4，则在线段PQ滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由．（4）如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求DB'的最小值，并说明理由