专题02 认识三角形 带解析

2022-2023学年苏科版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题02认识三角形一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•锡山区期中）如图，在四边形ABCD中，已知点E是CD上的一点且满足CE＝3DE，连接BE，在BE上取一点G且BG＝2GE，点F是AD的中点，且S△DGF＝S△DGE，连接AG、CG，若四边形AGCD的面积为15，且BE＝9，则△BEC中BE边上的高为（）A．4 B．5 C． D．无法确定解：∵CE＝3DE，F是AD的中点，∴S△CGD＝4S△DGE，S△AGD＝2S△DGF，∵S△DGF＝S△DGE，∴S四边形AGCD＝S△CDG+S△AGD＝6S△DGE，∵四边形AGCD的面积为15，∴，∴S△CGE＝3S△DGE＝7.5，∵BG＝2GE，∴，∵BE＝9，∴△BEC中BE边上的高为：，故选：C．2．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，AB＝AE，∠1＝∠2，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF，若S△ABF＝14，AD＝4，CF＝，则线段EF的长度为（）A．4 B． C．5 D．解：∵∠ACB＝∠ADE＝90°，AB＝AE，∠1＝∠2，∴△ACB≌△ADE（AAS），∴AC＝AD，BC＝DE．∵S△ABF＝14，AD＝4，∴AC＝4，∴BF•AC＝14，∴BF＝7．∵CF＝，∴BC＝7﹣＝，∴DE＝．∵∠ACF＝∠ADF＝90°，AC＝AD，AF＝AF，∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL），∴CF＝DF．∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝＝．故选：B．3．（2分）（2022春•叙州区期末）如图所示，△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线，AF＝AD，CE＝EF，则△CDE的面积为（）A． B． C． D．解：∵△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线，∴S△ADC＝S△ADB＝＝2＝1，∵AF＝AD，∴S△CFD＝（1﹣）S△ADC＝×1＝，∵CE＝EF，∴S△CDE＝S△CFD＝×＝，故选：A．4．（2分）（2022春•青岛期末）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（）A．9 B．12 C．18 D．20解：∵BD是△ABC的边AC上的中线，∴S△ABD＝S△BCD＝S△ABC＝×32＝16，∵AE是△ABD的边BD上的中线，∴，又∵BF是△ABE的边AE上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线，∴，，则S阴影＝S△BEF+S△CEF＝4+8＝12，故选：B．5．（2分）（2022春•潍坊期末）在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的△ABC中，连接点A和BC上的一点D，线段AD等分△ABC的面积，则AD是△ABC的（）A．高线 B．中线 C．角平分线 D．对角线解：∵线段AD等分△ABC的面积，∴AD是△ABC的中线，故选：B．6．（2分）（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，点E是AC的中点，点D是BC的中点，点F是BD的中点．连接AF，BE交于点G．已知S△ABC＝12，则S△AGE﹣S△BGF＝（）A．4 B．3 C．2 D．1解：∵点E是AC的中点，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝6，∵点D是BC的中点，点F是BD的中点，∴BF＝BC，∴S△ABF＝S△ABC＝3，∴S△AGE﹣S△BGF＝S△ABE﹣S△ABF＝6﹣3＝3，故选：B．7．（2分）（2022春•深圳期末）如图将边长为a的大正方形与边长为b的小正方形放在一起（a＞0，b＞0），则三角形AEG的面积（）A．与a、b大小都有关 B．与a、b的大小都无关 C．只与a的大小有关 D．只与b的大小有关解：连接AC，如图所示：在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，∠GEC＝45°，∴AC∥GE，∴△AGE的面积＝△CGE的面积，∵正方形CEFG的边长为b，∴△CGE的面积＝，∴△AGE的面积为，∴△AGE的面积只与b的大小有关，故选：D．8．（2分）（2022春•遂宁期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是（）A．线段AD是△ABE的角平分线 B．线段CH为△ACD边AD上的高 C．线段BE是△ABD边AD上的中线 D．线段AH为△ABC的角平分线解：A、，由∠1＝∠2，根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；B、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；C、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误．故选：B．9．（2分）（2022春•乐亭县期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（）A．2 B．3 C．4 D．5解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．∵BD＝2AB，∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，∵AC＝AF，∴△ADF的面积＝△ACD的面积＝3m，∵EC＝3BC，∴△ECA的面积＝3m，△EDC的面积＝6m，∵AC＝AF，∴△AEF的面积＝△EAC的面积＝3m，∴△DEF的面积＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36，∴m＝2，∴△ABC的面积为2，故选：A．10．（2分）（2022秋•广州期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC＝为整数，∴BC边长为偶数，∴BC＝4，6，8，10，即BC的长可能值有4个，故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•番禺区校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为3．解：作EF⊥BC，∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，∴S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，S△BDE＝S△ABC，∵△ABC的面积为30，BD＝5，∴S△BDE＝BD•EF＝×5•EF＝×30，解得EF＝3，故△BDE中BD边上的高为3．故答案为：3．12．（2分）（2022春•锡山区期中）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上，DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE、CD，交于点O，则△ABO面积的最大值为8．解：∵DB＝2AD，AE＝3EC，∴设△ADO的面积为a，则△BDO的面积为2a，设△CEO的面积为b，则△AEO的面积为3b，设△BCO的面积为c，∵S△ABE＝3S△BCE，S△BDC＝2S△ACD，∴，可求得，a＝c＝8b，∴S△ABC＝3a+c+4b＝36b，S△ABO＝3a＝24b，∴S△ABO＝S△ABC，∵AC＝4．BC＝6，且垂线段最短，∴当AC⊥BC时，Δ△BC的面积有最大值，即S△ABC≤AC．BC＝12．∴S△ABO＝S△ABC≤8，即△ABO面积的最大值为8，故答案为：8．13．（2分）（2022春•驻马店期末）如图，在△ABC中，D是边BC上任意一点，连接AD并取AD的中点E，连接BE并取BE的中点F，连接CF并取CF的中点G，连接EG，若S△EFG＝2，则S△ABC的值为16．解：∵G为CF的中点，∴CG＝FG，∴S△CEG＝S△EFG＝2，即S△CEF＝2+2＝4，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∴S△CBF＝S△CEF＝4，即S△BDE+S△CDE＝S△CBF+S△CEF＝4+4＝8，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴S△ABE＝S△BDE，S△CAE＝S△CDE，∴S△ABE+S△CAE＝S△BDE+S△CDE＝8，∴S△ABC＝S△ABE+S△CAE+S△BDE+S△CDE＝8+8＝16，故答案为：16．14．（2分）（2022春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于28cm2，则阴影部分图形面积等于7cm2．解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，而高相等，∴S△BEF＝S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝28cm2，∴S△BEF＝7cm2，即阴影部分的面积为7cm2．故答案为：7．15．（2分）（2022春•新都区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，点E在BC上，点D在AC上，AE⊥BD，若AE＝BD，CE：BE＝4：5，S△AEB＝65，则S△DCE＝20．解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：则∠BMD＝∠CMD＝∠ANE＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CDM、△CAN是等腰直角三角形，∴CM＝DM，CN＝AN，∵AE⊥BD，∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DBM＝90°，∴∠EAN＝∠DBM，∴△AEN≌△BDM（AAS），∴AN＝BM，EN＝DM，∴CN＝BM，∴CM＝BN，∴CM＝DM＝BN＝EN，设BE＝5a，则CE＝4a，BC＝BE+CE＝9a，CM＝DM＝BN＝EN＝BE＝a，AN＝BM＝BC﹣CM＝a，∴S△AEB＝BE×AN＝•5a•a＝65，∴a2＝4，∴S△DCE＝CE×DM＝•4a•a＝5a2＝20；故答案为：20．16．（2分）（2022春•祁东县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝，△APE的面积等于8．解：如图1，当点P在AC上，∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，∴CE＝4，AP＝2t．∵△APE的面积等于8，∴S△APE＝AP•CE＝AP×4＝8，∵AP＝4，∴t＝2．如图2，当点P在BC上，∵E是DC的中点，∴BE＝CE＝4．∵BP＝2t﹣8，PC＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t．∴S＝EP•AC＝•EP×6＝8，∴EP＝，∴t＝3+4﹣＝或t＝3+4+＝．总上所述，当t＝2或或时△APE的面积会等于8，故答案为2或或．17．（2分）（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，CD是△ABC的中线，延长CD至点E，使CE＝CD．连接AE并延长，交CB的延长线于点F，已知四边形BDEF的面积为2，则△AFC的面积是．解：连接DF，设△DBF的面积为x，则△DEF的面积为2﹣x，∵点D是AB的中点，∴△ADF的面积＝△BDF的面积＝x，△ADC的面积＝△BDC的面积，∴△ADE的面积＝△ADF的面积﹣△DEF的面积＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，∵CE＝CD，∴DE＝CD，∴△ADC的面积＝4△ADE的面积＝4（2x﹣2）＝8x﹣8，△CDF的面积＝4△DEF的面积＝4（2﹣x）＝8﹣4x，∴△BDC的面积＝△ADC的面积＝8x﹣8，∵△CDF的面积＝△CDB的面积+△DBF的面积＝8x﹣8+x＝9x﹣8，∴9x﹣8＝8﹣4x，解得：x＝，∴△AFC的面积＝△ADE的面积+△ACD的面积+△BCD的面积+四边形BDEF的面积＝2x﹣2+8x﹣8+8x﹣8+2＝18x﹣16＝18×﹣16＝，故答案为：．18．（2分）（2022秋•巴彦县校级期末）如图，在△ABC中，BF＝2FD，EF＝FC，若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为14．解：如图，连接AF，∵EF＝FC，△BEF的面积为4，∴△BFC的面积为4，∵BF＝2FD，∴△DFC的面积为2，∵EF＝FC，∴△AEF的面积＝△AFC的面积＝△ADF的面积+2，∵BF＝2FD，∴△ABF的面积＝△ADF的面积×2，∴△AEF的面积+4＝△ADF的面积×2，∴△ADF的面积+2+4＝△ADF的面积×2，∴△ADF的面积＝6，∴△AEF的面积＝8，则四边形AEFD的面积＝△AEF的面积+△ADF的面积＝14．故答案为：14．19．（2分）（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，D、E分别为边BC，AC的中点，若S△ABC＝48，则图中阴影部分的面积是12．解：∵点D为BC中点，∴DC＝BC，∵△ADC与△ABC的DC，BC边上的高相同，∴S△ADC＝S△ABC＝24，∵点E为AC中点，∴AE＝AC，∵△ADC与△ADE的AC，AE边上的高相同，∴S△ADE＝S△ADC＝12，故答案为：12．20．（2分）（2021春•光明区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC的面积是30．解：∵BC＝3DC，∴BD＝2CD，∴S△GDC＝S△GBD＝4，∴S△EBC＝S△GBD+S△GCD+S△GEC＝15，∵E是AC的中点，∴S△EBA＝S△EBC＝15，∴△ABC的面积是30，故答案为：30．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）（2021春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．（1）求∠ACB的度数；（2）说明：∠CEF＝∠CFE．（3）若AC＝3CE、AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝36，则S△CEF﹣S△BDF＝3（仅填结果）．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°；（2）由（1）可知∠ACB＝90°，∴∠CEF＝90°﹣∠CBE，∵CD⊥AB，∴∠BFD＝90°﹣∠DBF，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠CBE＝∠DBF，∴∠CEB＝∠BFD，∵∠CFE＝∠BFD，∴∠CEF＝∠CFE；（3）∵AC＝3CE、AB＝4BD，∴CE＝AC，BD＝AB，∵S△ABC＝36，△ABC是直角三角形，∴，得：CD＝，AC•BC＝36，得：BC＝，∵由（1）可得△BCE，△BDF是直角三角形，∴S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCF﹣（S△BCD﹣S△BCF），整理得：S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCD＝﹣＝＝12﹣9＝3．故答案为：3．22．（6分）（2021秋•金安区校级期中）如图，△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，CE⊥AB，AD⊥BC，AD和CE交于点F，∠B＝50°．（1）求∠AFC的度数；（2）若AD＝4cm，求CE的长．解：（1）∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠CBE＝40°，∵AD⊥BC，∴∠FDC＝90°，∴∠AFC＝∠FDC+∠FCD＝90°+40°＝130°．（2）∵CE⊥AB，AD⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AD＝•AB•CE，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AD＝4cm，∴CE＝＝＝（cm）．23．（6分）（2021春•汝阳县期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15﹣6﹣4＝5．24．（8分）（2022春•绿园区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→B→C运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒2cm的速度在B、C间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动．设点P运动的时间是x（秒），△APC的面积是S（cm2）（S＞0）．（1）点Q共运动16秒．（2）当点P沿折线A→B→C运动时，用含x的代数式表示线段BP（BP＞0）的长．（3）用含x的代数式表示S．（4）当P、Q两点相遇时，直接写出x的值．解：（1）点Q运动时间为（10+6）÷1＝16（秒），故答案为：16．（2）解：当0＜x＜10时，点P在AB上运动．BP＝AB﹣AP＝10﹣x；当10≤x≤16时，点P在BC上运动，BP＝x﹣AB＝x﹣10；综上，当0＜x＜10时，BP＝10﹣x；当10≤≤16时，BP＝x﹣10．（3）解：当0＜x≤10时，点P在AB上运动＝3x；当10≤x＜16时，点P在BC上运动，＝80﹣5x，综上，S＝3x（0＜x＜10）或（80﹣5x（10≤x≤16）．（4）解：当P与Q第一次相遇时，根据题意，得：x﹣10+2x﹣3×6＝6，解得：x＝；当p与Q第二次相遇时，根据题意，得：x﹣10＝2x﹣24，解得：x＝14；当P与Q第三次相遇时，根据题意，得：x﹣10+2x﹣5×6＝6，解得：x＝；综上，当x＝或14或时，P、Q两点相遇．25．（6分）（2022春•肥城市期中）如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，∵FA＝FE，∴∠CAD＝∠AEF，∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，∴BG＝BE＝AC，∵AE＝DC＝BD，∴AE+ED＝DH+ED，∴AD＝EH，在△DAC和△HEB中，，∴△DAC≌△HEB（SAS），∴CD＝BH，∴BD＝BH＝DH，∴△BDH为等边三角形，∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．故答案为：60°．26．（8分）（2022秋•南康区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝15°．（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠CAD＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°﹣（∠B+∠C）]＝（∠C﹣∠B），∵∠C﹣∠B＝30°，∴∠DAE＝×30°＝15°，故答案为：15°；（3）∵∠C﹣∠B＝α，∴∠DAE＝×α＝．27．（9分）（2020春•汝阳县期末）如图，长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当