第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2

§2场论初步场论的基本概念及梯度、散度与旋度[标量场]空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z)，它在此空间区域D上就构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则标量可以看作变矢r的函数＝(r).例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场.[矢量场]空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值r(x，y，z)，它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M(x，y，z)的矢量函数r(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则矢量r可以看作变矢r的矢函数r(r)：r(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k例如流速场(x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场.与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.[梯度]grad＝(，，)==i＋j＋k式中=i＋j＋k称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中记作del.grad的方向与过点(x，y，z)的等量面＝C的法线方向N重合，并指向增加的一方，是函数变化率最大的方向，它的长度等于.梯度具有性质：grad(＋)＝grad＋grad(、为常数)grad()＝grad＋gradgradF()＝[方向导数]＝l·grad＝cos＋cos＋cos式中l＝(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角.方向导数为在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影.[散度]divr＝＋＋=·r=div(X,Y,Z)式中为哈密顿算子.散度具有性质：div(a＋b)＝diva＋divb(、为常数)div(a)＝diva＋agraddiv(a×b)＝b·rota－a·rotb[旋度]rotr＝()i＋()j＋()k=×r=式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rotr有的书刊中记作curlr.旋度具有性质：rot(a＋b)＝rota＋rotb(、为常数)rot(a)＝rota＋a×gradrot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(divb)a－(diva)b[梯度、散度、旋度混合运算]运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算div作用到一个矢量场r产生标量场divr，运算rot作用到一个矢量场r产生新的矢量场rotr.这三种运算的混合运算公式如下：divrotr＝０rotgrad＝０divgrad＝＋＋=graddivr＝(r)rotrotr＝×(×r)divgrad(+)=divgrad+divgrad(、为常数)divgrad()=divgrad＋divgrad＋２grad·gradgraddivr－rotrotr＝r式中为哈密顿算子，＝·＝２为拉普拉斯算子.[势量场(守恒场)]若矢量场r(x，y，z)是某一标函数(x，y，z)的梯度，即r＝grad或X＝，Y＝，Z＝则r称为势量场，标函数称为r的势函数.矢量场r为势量场的充分必要条件是：rotr＝０，或=,=,=势函数计算公式(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋＋＋[无散场(管形场)]若矢量场r的散度为零，即divr＝0，则r称为无散场.这时必存在一个无散场T，使r＝rotT，对任意点M有T＝式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.[无旋场]若矢量场r的旋度为零，即rotr＝0，则r称为无旋场.势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数，使r＝grad，而对任意点M有＝－式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式1．单位矢量的变换[一般公式]假定x=f(),y=g(),z=h()把()空间的一个区域一对一地连续映射为(x，y，z)空间的一个区域D，并假定f，g，h都有连续偏导数，因为对应是一对一的，所以有＝(x，y，z)，再假定也有连续偏导数，则有或逆变换沿dx，dy，dz方向的单位矢量记作i，j，k，沿方向的单位矢量记作，则有[圆柱面坐标系的单位矢量]对于圆柱面坐标系(图8.11)单位矢量为它们的偏导数为[球面坐标系的单位矢量]对于球面坐标系(图8.12)单位矢量为它们的偏导数为2．矢量的坐标变换[一般公式]一个由(x，y，z)坐标系所表达的矢量可以用()坐标系来表达:＝(，y，z)＝i＋yj＋zk＝式中[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换]由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式[球面坐标系与直角坐标系的互换]由球面坐标系到直角坐标系的变换公式由直角坐标系到球面坐标系的变换公式3．各种算子在不同坐标系中的表达式设U＝U(x，y，z)是一个标函数，V＝V(x，y，z)是一个矢函数.[在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]哈密顿算子＝++梯度gradU＝U＝++散度divV＝·V＝旋度rotV＝×V＝＋＋拉普拉斯算子U＝divgradU＝[在球面坐标系中各种算子的表达式]哈密顿算子＝++梯度gradＵ＝Ｕ＝++散度divV=·V=旋度rotV＝×V＝+＋拉普拉斯算子U＝divgradU＝曲线积分、曲面积分与体积导数[矢量的曲线积分及其计算公式]矢量场r(r)沿曲线的曲线积分定义为r(r)·dr＝r()·ri-1式中ri-1=ri－ri-1，右边极限与的选择无关，曲线由A到B(图8.13)若矢函数Ｒ(r)是连续的(就是它的三个分量是连续函数),曲线也是连续的,且有连续转动的切线,则曲线积分存在.若Ｒ(r)为一力场，则Ｐ＝就等于把一质点沿着移动时力Ｒ所作的功.矢量曲线积分的计算公式如下：＝=＋(图8.14)=－=＋=k(k为常数)[矢量的环流]如果为一闭曲线，则沿曲线的曲线积分＝称为矢量场Ｒ(r)沿闭曲线的环流.势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(r)为一势量场，且它的势函数为时，则曲线积分=＝(B)－(A)与连接A，B两点的路径无关，只依赖于A，B两点的位置(图8.15).[矢量的曲面积分]设S为一曲面，令N＝表示在曲面S上一点的法线单位矢量,这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧.而dS＝NdS表示面积矢量元素.又设(r)=(x,y,z)是定义在曲面S上的连续标函数，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))是定义在曲面S这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧.1标量场的通量(或流量)dS=dydzi＋dzdxj＋dxdyk式中Syz，Szx，Sxy分别表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，Oxy平面上的投影.Sxy的正负号规定如下：当从ｚ轴正方向看去时，看到的是曲面S的正面，认为Sxy为正，如果看到的是曲面的反面，则认为Sxy为负(图8.16).2矢量场的标通量R·dS=Xdydz＋Ydzdx＋Zdxdy式中Syz等的意义同1.3矢量场的矢通量R×dS＝(Zj－Yk)dydz＋(Xk－Zi)dzdx＋(Yi－Xj)dxdy式中Syz等的意义同1.[矢量的体积导数]如果S是包围体积V的闭曲面，并包含点r，则沿闭曲面S的曲面积分(dS,R·dS,R×dS)与体积V之比，当V趋于零时(即它的直径０)的极限称为标量场(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).1标量场的体积导数就是它的梯度：grad＝2矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度：divR＝3矢量场Ｒ的另一个体积导数是它的旋度：rotR＝－矢量的积分定理[高斯公式]RdV=R·dS=R·NdS即式中Ｓ为空间区域Ｖ的边界曲面，N＝为在S上一点的法线单位矢量，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))在V＋S上有连续偏导数.[斯托克斯公式]rotＲ·dS＝rotR·NdS＝R·dr即==式中S为一定曲面的一侧，L为曲面S的闭边界曲线(L的正向与N构成右手系).S的每点有切面，其