第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION1

矢量算法与场论初步·张量算法与黎曼几何初步本章包括两个部分.第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n维空间中去.第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.§1矢量算法矢量代数［矢量概念］只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小，用端点的顺序AB表示方向.A称为始点，B称为终点，这个矢量记作，或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号或|a|表示.矢量按其效能可分成三种基本类型：具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶.沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力.作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量.模等于1的矢量称为单位矢量.模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量.模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量，记作-a.始点与原点O重合而终点位于一点M的矢量(图8.1)称为点M的矢径(或向径)，记作r，原点称为极点.如果M的直角坐标为x，y，z,则有r＝＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk式中i，j，k分别为x轴，y轴，z轴的正向单位矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量).［矢量的基本公式］名称公式图形矢量a的坐标表示坐标单位矢量i，j，k的坐标表示零矢量的坐标表示a的长度(或模)a的方向余弦(,,为a的方向角)矢量(两端点A，Ｂ的坐标分别为(ax,ay,az),(bx,by,bz)a＝axi＋ayj＋azk＝(ax,ay,az)i＝(１，０，０)j＝(０，１，０)k＝(０，０，１)0＝(０，０，０)(0无方向)=a＝＝(bx－ax)i＋(by－ay)j＋(bz－az)k［加法］若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，则a＋b=(ax＋bx,ay＋by,az＋bz)把矢量的始点移到原点O，以a，b为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a＋b(称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a+b(称为三角形法则，见图８.3).加法运算适合如下规律：(交换律)(结合律)a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０［减法］若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，则a－b＝(ax－bx，ay－by，az－bz)把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b(图8.4).对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：|a＋b||a|＋|b|［数乘］以实数乘矢量a称为数乘，记作a.当>０时，a的模伸缩倍，方向保持不变；当<０时，a的模伸缩||倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(ax,ay,az)则a＝(ax,ay,az)设，为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合下列规律：(a)＝()a(结合律)(＋)a＝a＋a(分配律)(a＋b)＝a＋b(分配律)［矢量的分解］1设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的直线，各交a，b(或延长线)于Ｍ，Ｎ(图８.6)，则c＝+=a＋b这称为矢量c对a，b的分解.2设a，b，c为非共面矢量，而d为任一矢量，把它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且与a，b，c(或延长线)分别交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(图8.7)，则d＝++＝a＋b＋称为矢量d对a，b，c的分解.3如果两个非零矢量a与b有线性关系a＋b＝０式中,不全为0，则称这两个矢量共线(即a//b)；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.4设a,b为两个非零矢量，若a＋b＝０，则有＝０，＝０，这时称a，b为线性无关.5若三个非零矢量a，b，c有线性关系a＋b＋＝０，式中，，不全为零，则这三个矢量共面，反之也真.这时，称a，b，c为线性相关.如果a，b，c为三个非零矢量，而a＋b＋＝０，则有＝＝＝０，这时,称a，b，c为线性无关.6四个(或四个以上)矢量a，b，c，d必有线性关系；就是说它们一定线性相关.这时，必有不全为０的四个数，，，，成立a＋b＋＋d＝０.［标量积(数量积、点积、内积)］设a＝(ax,ay,az)，b＝(ｂx,ｂy,ｂz)，|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为，则称数值abcos为矢量a，b的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作a·b＝ab＝abcos(０)可以看作矢量a的长度乘以矢量b在a上的投影的长度(图8.8).标量积运算适合以下的规律：a·b＝b·a(交换律)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)(a)·(b)＝a·b(数乘的结合律)a·a＝a２＝|a|２＝a２若a，b为非零矢量，a·b＝０，则ab；反之也真.i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝０a·b＝axbx＋ayby＋azbz(即对应坐标相乘之和)［矢量积(叉积、外积)］设a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为，则定义a×b为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以a，b为边的平行四边形的面积(图8.9阴影部分)|a×b|＝absin(０)它的方向垂直于两矢量a和b,并且a，b，a×b构成右手系(图8.9).矢量积运算适合下列规律：a×b＝－b×a(反交换律)(a+b)×c＝a×c＋b×c(分配律，次序不能交换)(a)×(b)＝(a×b)[(＋)a]×b＝(＋)(a×b)＝(a×b)＋(a×b)a×a＝０若a，b为非零矢量，则a，b共线(即a//b)的充分必要条件是：a×b＝０i×i＝j×j＝k×k＝０，i×j＝k，j×k＝i，k×i＝ja×b＝＝(aybz-azby)i+(azbx－axbz)j+(axby－aybx)k[两矢量的夹角]cos(a，b)＝sin(a，b)＝[拉格朗日恒等式](a×b)·(c×d)＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)特别(a×b)2=a2b2－(ab)2即(aybx-azby)2+(azbx－axbz)2+(axby－aybx)2＝(ax2+ay2+az2)(ｂx2+by2+bz2)－(axbx+ayby+azbz)2[三个矢量的混合积]设a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，c＝(cx,cy,cz)为三个矢量,则它们的混合积定义为(abc)＝a·(b×c)＝＝ax(bycz－bzcy)＋ay(bzcx－bxcz)＋az(bxcy－bycx)混合积具有性质:1a·(b×c)＝(a×b)·c注意,一般情况下等式(a·b)·c=a·(b·c)(a×b)×c=a×(b×c)不成立.2(abc)＝(bca)＝(cab)=－(acb)=－(bac)=－(cba)即有轮换性：a·(b×c)＝b·(c×a)＝c·(a×b)＝－a(c×b)＝－b(a×c)＝－c(b×a)3混合积(abc)是一个数，它的绝对值等于以a，b，c为边的平行六面体的体积.4三个矢量共面的充分必要条件是：(abc)＝0.[三重矢积]a×(b×c)＝(a·c)b－(a·b)c(a×b)×c＝(a·c)b－(b·c)a采用a，b，c轮换法还可推出其余两个同类公式.[多重积的几个公式]a×(b×c)＋b×(c×a)＋c×(a×b)＝０(a×b)·(c×d)＝＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)(a×b)×(c×d)＝(abd)c－(abc)d＝(cda)b－(cdb)aa×[b×(c×d)]＝(b·d)(a×c)－(b·c)(a×d)(a×bb×cc×a)＝(abc)２(a１a２a３)(b１b２b３)＝(a×bc×de×f)＝(abd)(cef)－(abc)(def)矢量分析1．矢量微分[矢函数]对于自变量t(标量)的每一个数值都有变动矢量a的确定量(长度与方向都确定的一个矢量)和它对应，则变(矢)量a称为变量t的矢函数，记作a＝f(t)矢函数也可表为a=axi＋aｙj＋azk式中ax＝fx(t)，ay＝fｙ(t)，az＝fz(t)为三个标函数.若把变动矢量表成点M的矢径形式r＝r(t)则当t变动时，点M在空间中描出一条曲线，称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定：r=xi＋yj＋zkx＝x(t)，y＝y(t)，z＝z(t)[矢函数的极限与连续性]若对任意给定的>0,都存在数>0，使得当t－t０<时r(t)－r０<成立，则称r０为矢函数r(t)当tt０时的极限，记作=r0若存在，则＝i+j+k若=r(t0),则称矢函数r(t)在t＝t０处连续.[矢函数的导数与微分]如果极限存在，就称它为矢函数a＝f(t)的导数，记作.矢函数a＝f(t)的导数仍为矢函数，从而还可求它的导数，即二阶导数，记作，等等.da＝dt称为矢函数a＝f(t)的微分.[矢函数求导公式]＝0(c为常矢量)(ka)＝k(k为常数)(a＋b＋c)＝(a)＝a＋(是t的标函数)(a·b)＝·b＋a·(顺序可以交换)(a×b)＝×b＋a×(顺序不可以交换)(abc)=(bc)+(ac)+(ab)(顺序不可以交换)a[(t)]=(是t的标函数，这是复合函数的求导公式)[矢径形式的矢函数求导公式]设r＝r(t)＝x(t)i＋y(t)j＋z(t)k表示矢函数的矢端曲线，则1＝=i＋j＋k表示矢端曲线的切线矢量(图8.10)，指向t增加的方向，式中＝,=,=2=t式中s为矢端曲线的弧长，t为切线的单位矢量.3＝i＋j＋k式中＝,=,=[矢函数的泰勒公式]r(t＋t)＝r(t)＋(t)t＋(t)(t)２＋···＋r(n)(t)(t)n＋rn(t)n+1式中rn＝x(n+1)(t1)i＋y(n+1)(t2)j＋z(n+1)(t3)k(t<t1,t2,t3<t＋t)r(n)(t)=x(n)(t)i＋y(n)(t)j＋z(n)(t)kx(n)=,y(n)=,z(n)=[矢量函数的几个常用性质]1定长矢量r(t)(t)，反之也真.从而切线的单位矢量ｔ的导数与原矢量垂直.2定向矢量r(t)//(t)，反之也真.3一个变动矢量r(t)平行于一个定平面的