2025年湘教新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高一数学上册月考试卷72考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、【题文】已知数列{an}的通项为我们把使乘积为整数的n叫做“优数”，则在内最大的“优数”为（）．A.510B.512C.1022D.10242、【题文】已知集合

则为（）A.B.C.D.3、【题文】直线l:ax+by=0和圆C:x2+y2+ax+by=0在同一坐标系的图形只能是。

4、设a＞b＞c＞0，则3a2++﹣6ac+9c2的最小值为（）A.2B.4C.2D.45、圆(x+2)2+y2=5

关于y

轴对称的圆的方程为(

)

A.x2+(y+2)2=5

B.x2+(y鈭�2)2=5

C.(x鈭�2)2+y2=5

D.(x鈭�2)2+(y鈭�2)2=5

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、函数f（x）=2x-5的零点所在区间为[m，m+1]（m∈N），则m=____．7、已知函数y=f（x）有9个零点x1，x2，，x9，且函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），则x1+x2++x9=____．8、已知点P在圆x2+y2=25上移动，A（0，1）则AP的中点M的轨迹方程是____．9、已知等差数列的前n项和为则数列的前100项和为________.10、【题文】若直线平分圆则的最小值是____11、若关于x

的不等式鈭�12x2+2x>鈭�mx

的解集为{x|0<x<2}

则m=

______．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)12、（1）已知一个圆经过点P（5；1），且圆心在点C（6，-2），求圆的方程．

（2）已知圆C：x2+y2-8y+12=0；直线l：ax+y+2a=0．求当a为何值时，直线l与圆C相切．

13、如图，有两条相交直线l1，l2成60°角，交于点O，甲乙两人分别在l1，l2上．起初甲离O点3千米；乙离O点1千米；后来甲乙两人分别沿着箭头所示方向前进，同时用4千米/时的速度步行．

（1）经过多少小时；两人的距离最短？

（2）若两人为了保持通讯，两人之间的距离不能超过千米；那么他们两人在行进中能保持通讯的时间为多少小时？

14、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况；随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．根据频率分布直方图；

求：（1）重量超过500克的产品的频率；

（2）重量超过500克的产品的数量．

15、已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=4an+1-4an（n∈N*）．

（1）求证：数列{an+1-2an}成等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

16、解不等式组17、已知tan（3π+α）=3，试求的值．18、已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=-1，不等式组的解集是{x|1＜x＜3}．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）作出f（x）的图象并根据图象讨论关于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的个数．19、（1）证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3．求a，c（a＞c）20、已知a鈫�=(1,3)b鈫�=(3,鈭�4)

当k

为何值时。

(1)ka鈫�鈭�b鈫�

与a鈫�+b鈫�

共线．

(2)ka鈫�鈭�b鈫�

与a鈫�+b鈫�

垂直．评卷人得分四、作图题(共4题，共16分)21、作出下列函数图象：y=22、作出函数y=的图象．23、画出计算1++++的程序框图．24、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、证明题(共2题，共20分)25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．26、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分六、综合题(共2题，共16分)27、已知直线l1：x-y+2=0；l2：x+y-4=0，两条直线的交点为A，点B在l1上，点C在l2上，且，当B，C变化时，求过A，B，C三点的动圆形成的区域的面积大小为____．28、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【解析】

试题分析：因为数列{an}的通项为所以又因为所以在内最大的“优数”为即．

考点：对数的运算．【解析】【答案】Ｃ2、A【分析】【解析】集合M={y|y>1}，集合N=所以【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D4、D【分析】【解答】解：由a＞b＞c＞0，可得a﹣b＞0；

则3a2++﹣6ac+9c2

=2a2++（a﹣3c）2

=2a2++（a﹣3c）2=2[b+（a﹣b）]2++（a﹣3c）2

≥2（2）2+=8b（a﹣b）+

≥2=4．

当且仅当a=2b=3c=时取等号．

因此3a2++﹣6ac+9c2的最小值为4．

故选：D．

【分析】运用配方和通分等变形可得原式=2a2++（a﹣3c）2=2[b+（a﹣b）]2++（a﹣3c）2，两次运用基本不等式，可得最小值，注意等号成立的条件．5、C【分析】解：已知圆关于y

轴对称的圆的圆心坐标为(2,0)

半径不变，还是2

故对称圆的方程为(x鈭�2)2+y2=5

故选：C

．

求出关于y

轴对称的圆的圆心坐标为(2,0)

半径还是2

从而求得所求的圆的方程．

本题主要考查求圆的标准方程，求出关于y

轴对称的圆的圆心坐标为(2,0)

是解题的关键，属于基础题．【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

∵函数f（x）=2x-5；f（x）是单调函数；

∴f（2）=22-5=4-5=-1＜0；

f（3）=23-5=3＞0；

∴f（x）在区间[2；3]上有零点；

∴m=2；

故答案为2；

【解析】【答案】已知函数f（x）=2x-5；根据零点定理判断零点所在的范围；

7、略

【分析】

∵函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x）；

即函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称。

即函数y=f（x）的零点关于直线x=3对称。

不妨令x1＜x2＜＜x9；则。

即（x1+x9）=3，（x2+x8）=3，（x3+x7）=3，（x4+x6）=3，（x5+x5）=3；

∴x1+x2++x9=3×9=27

故答案为：27

【解析】【答案】由已知中函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），根据函数的对称性，可得函数y=f（x）的零点关于直线x=3对称，当令x1＜x2＜＜x9时，可得（x1+x9）=3，（x2+x8）=3，（x3+x7）=3，（x4+x6）=3，（x5+x5）=3；进而得到答案．

8、略

【分析】

设AP的中点M（x，y），点P（m，n），则m2+n2=25①．

由中点公式得x=y=

∴m=2x；且n=2y-1②；

把②代入①得x2+y2-y-6=0；

故答案为x2+y2-y-6=0．

【解析】【答案】设AP的中点M（x，y），点P（m，n），则m2+n2=25①；把点M和点P坐标间的关系代入①式建立关于x，y的方程．

9、略

【分析】试题分析：设等差数列的首项为公差为则解得则所以数列的前100项和考点：等差数列的通项公式及求和公式、裂项抵消法.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】由题意知

【解析】【答案】11、略

【分析】解：原不等式化为12x2鈭�(m+2)x<0

该不等式对应的方程为12x2鈭�(m+2)x=0

该一元二次方程的两个实数根为0

和2

由根与系数的关系；得。

鈭�鈭�(m+2)12=0+2

解得m=鈭�1

．

故答案为：鈭�1

．

把不等式化为一般形式；写出该不等式对应的方程，由根与系数的关系，求出m

的值．

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题．【解析】鈭�1

三、解答题(共9题，共18分)12、略

【分析】

（1）∵圆经过点P（5；1），且圆心在点C（6，-2）；

∴圆的半径r==

因此，所求圆的标准方程为（x-5）2+（y-1）2=10；

（2）圆C：x2+y2-8y+12=0的圆心为C（0，4），半径r=2

当直线l：ax+y+2a=0与圆C相切时；C到直线的距离为。

d==r，即=2，解之得a=-

∴当a值为-时；直线l与圆C相切．

【解析】【答案】（1）由两点的距离公式算出PC的长，即得圆的半径r=再根据圆的标准方程列式，即可求出所求圆的方程．

（2）求出圆的圆心为C（0，4），半径r=2．圆的切线到圆心的距离等于半径；因此由点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到满足条件的a值．

13、略

【分析】

由题意；（1）当0≤t＜0.25时，A在O的右边，则t小时走的路为4t，OA=3-4t，OB=1-4t；

根据余弦定理得：AB=且0≤t≤0.25，则t=0.25时，AB最小为

0.25≤t＜0.75时；A在O的右边，则t小时走的路为4t，OA=3-4t，OB=1+4t；

根据余弦定理得：0.25≤t＜0.75，则t=0.25时，AB最小为．

0.75≤t时；OA=3+4t，OB=1+4t；

根据余弦定理得：AB=且0.75≤t，则t=0.75时，AB最小为

∴当t=小时，两人的距离最短，最短距离为．

（2）开始OA=3km；OB=1km，∠AOB=60°；

根据余弦定理得：AB2=OA2+OB2-2OA•OB•cos∠AOB=9+1-3=7；

解得：AB=（km）；

又时，t=小时。

故可知他们两人在行进中能保持通讯的时间为小时。

【解析】【答案】（1）设运动的时间是t小时；两点运动的路程为4tkm，表示出此时的OA和OB，再由cos∠AOB的值，利用余弦定理表示出AB的长，根据t的范围，利用二次函数的性质即可求出两人距离最短时的时间t的值．

（2）由（1）值，再开始到0.25小时内两人之间的距离不能超过千米；之后则不满足题意，故得解．

14、略

【分析】

（I）如图；重量超过500克的产品频率是0.07×5+0.05×5+0.01×5=0.65

（I）由于样本的容量是40；故重量超过500克的产品数量是40×0.65=26件；

【解析】【答案】（1）由图可以得出重量超过500克的产品的频率为右边三个小矩形面积的和；求出每个小矩形的面积再相加即可；

（2）重量超过500克的产品的数量可由频率乘以样本容量计算出．

15、略

【分析】

（1）∵an+2=4an+1-4an

∴an+2-2an+1=2an+1-4an=2（an+1-an）

又a2-2a1=1

即

∴数列{an+1-2an}是以1为首项；2为公比的等比数列。

（2）由（1）知an+1-2an=2n-1

∴

又

∴

∴an=（n+1）2n-2

【解析】【答案】（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{an+1-2an}成等比数列．

（2）利用等比数列的通项公式求出an+1-2an=2n-1，两边同时除以2n+1，利用等差数列的定义得到为等差数列，利用等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式．

16、略

【分析】试题分析：本题是一到解不等式组的基础题，先求一元二次不等式的解再求绝对值不等式的解再求它们的交集.试题解析：解不等式得4分解不等式得7分所以不等式的解为8分.考点：不等式得解法.【解析】【答案】17、解：由tan（3π+α）=3，可得tanα=3，故

====【分析】【分析】先把利用诱导公式把tan（3π+α）=3化简，得tanα=3，再利用诱导公式化简得到令分式的分子分母同除cosα，得到只含有tanα的式子，把tanα=3代入即可．18、略

【分析】

（1）由题意得当x＞0时；设f（x）=a（x-1）（x-3），由f（2）=-1，求得a的值，即得f（x）的解析式．x＜0时，则有-x＞0，利用奇函数的性质求出f（x）的解析式，再由f（0）=0，即可得到f（x）在R上的解析式．

（2）作出f（x）的图象；方程f（x）-c=0得根的个数即直线y=c和y=f（x）的图象交点个数，数形结合得出结论．

本题主要考查方程的根的个数判断方法、函数的奇偶性的应用以及二次函数的性质，体现了数形结合的数学思想，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．【解析】解：（1）由题意得当x＞0时，设f（x）=a（x-1）（x-3），∵f（2）=-1，∴a=1，∴f（x）=x2-4x+3．

当x＜0时；则有-x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）；

∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-4（-x）+3]=-x2-4x-3，即：f（x）=-x2-4x-3．

当x=0时；由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0．

所以，．（5分）

（2）作图（如图所示）：

（8分）

由f（x）-c=0得：c=f（x）；在上图中作y=c，根据直线y=c和y=f（x）的图象交点个数讨论方程的根：

当c≥3或c≤-3；方程有1个根．

当1＜c＜3或-3＜c＜-1；方程有2个根．

当c=-1或c=1；方程有3个根．

当0＜c＜1或-1＜c＜0；方程有4个根．

当c=0，方程有5个根．（10分）19、略

【分析】

（1）建立单位圆；在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由向量的数量积公式化简整理既得；

（2）与条件利用两个向量的数量积的定义求得ac=35，再利用余弦定理求得a2+c2=74；再根据a＞c可得a和c的值．

本题考查平面向量的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，利用三角函数的性质合理地进行等价转化．【解析】解：（1）证明：如图；在平面直角坐标系中，以原点为圆心；

作一单位圆；再以原点为顶点；

x轴非负半轴为始边分别作角α；β．

设它们的终边分别交单位圆于点A（cosα；sinα）；

B（cos（-β）；sin（-β））

即有两单位向量=（cosα，sinα），=（cosβ；-sinβ）；

∴=cosαcosβ-sinαsinβ；

∵=||•||•cos（α+β），且||=||=1；

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

（2）∵b=3．

∴•=

∴accosB=

又cosβ=

∴ac=35

由余弦定理：cosB==

∴a2+c2=74；由ac=35，a＞c；

解得a=7，c=5．20、略

【分析】

(1)

利用向量共线定理即可得出．

(2)

利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：(1)ka鈫�鈭�b鈫�=(k鈭�3,3k+4)a鈫�+b鈫�=(4,鈭�1)

．

隆脽ka鈫�鈭�b鈫�

与a鈫�+b鈫�

共线；隆脿鈭�(k鈭�3)鈭�4(3k+4)=0

解得k=鈭�1

．

(2)隆脽ka鈫�鈭�b鈫�

与a鈫�+b鈫�

垂直，隆脿4(k鈭�3)鈭�(3k+4)=0

解得k=16

．四、作图题(共4题，共16分)21、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．22、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．24、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。五、证明题(共2题，共20分)25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．26、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；F