第一节 多元函数的基本概念

第9章

多元函数微分学9.1

多元函数的基本概念9.1.1平面点集

如，在平面直角坐标系下，第一象限内部的所具有性质

坐标平面上具有某种性质平面点集，的点的集合，称为记作有点的集合为2.邻域9.1.1平面点集

一正数，设是平面上的一个点，是某δ的全体，记作在几何上，就是平面上的全体。为中心、为半径的圆内部的点以点称为即距离小于δ的点与点9.1.1平面点集

在几何上，就是平面上以点为中心、为半径的圆内部除点外的的全体。邻域，记作的去心点定义为9.1.1平面点集

若不需要强调邻域的半径则用表示点的某个邻域，.是平面P是平面上的一个点集，设E上的一个点,下三种关系中的一种:3.点与点集的关系的去心邻域，记作点P与点集之间必有以则点9.1.1平面点集

E的内点.若存在点P的某一邻域使得则称P为注：E的内点属于E.P为E的外点.使得则称若存在点P的某一邻域注：外点一定不属于E.

内点：

外点：9.1.1平面点集

E

，则称P为E的边界点．也可以不属于E),（点P本身可以属于也有不属于E的点E的点，于的任一个邻域内既有属如果点P记为。边界点:E的边界点的全体称为E的边界，9.1.1平面点集

若点的任何去心邻域内总有中的点，则称是的聚点。聚点也可定义为：若点的任何邻域内都含有点集的无穷多个点，的聚点。●聚点：为则称也可以不属于E.聚点可以属于E,9.1.1平面点集

如：设平面点集满足的一切点都是的它们不属于；满足内点；满足的一切点都是

的的一切点也都是点集的内点以及它的于；的边界点，边界点，它们都属聚点.上的一切点都是的边界9.1.1平面点集

若点集的所有点都是的内点，称为开集。若点集的余集为开集，若点集E

的每个聚点都属于E,如：集合是开集；4.平面区域开集：闭集：则称为闭集。则则称E

闭集。闭集也可定义为：9.1.1平面点集

既非开集，也非闭集。的两个注：和空集是平面上唯一闭集；集合是而集合既是开集又是闭集的点集.9.1.1平面点集

若点集E

内任何两点，线连结起来，则称E为连通集。开集称为区域或开区域。开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。连通集：连通的区域（或开区域）：闭区域：都可以用折且该折线上的所有点都属于E

，9.1.1平面点集

如：集合是集合集合不是区域。开区域；闭区域；是9.1.1平面点集

对于平面点集E

，使得，称E为有界集。若一个集合不是有界集，集合为无界集。是有界区域；有界集：则无界集：如：集合若存在某正数r，其中O

是坐标原点，则称这个9.1.1平面点集

无界开区域；无界闭区域.集合是集合是9.1.2二元函数的概念

9.1.2二元函数的概念

9.1.2二元函数的概念

长方体的体积和它的长、宽、高之间具有关系当在集合内取定一组值时，有唯一确定值与之对应.例如9.1.2二元函数的概念

例9.1解所求定义域为的定义域．求9.1.2二元函数的概念

设函数),(yxfz=的定义域为D，时，这个点集称为二元函数的图形。（如下页图）这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标当x取遍D上一切点●二元函数的图形对于任意得一个空间点集

取定的，对应的函数值为在空间就确定一点9.1.2二元函数的概念

二元函数的图形通常是一张曲面.9.1.3

二元函数的极限与连续9.1.3

二元函数的极限与连续（1）定义中的方式是任意的.（2）二元函数的极限也叫二重极限.（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．(4)二元函数极限的概念可相应的推广到n

元函数上去.●说明9.1.3

二元函数的极限与连续例9.2求极限解其中9.1.3

二元函数的极限与连续例9.3证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．9.1.3

二元函数的极限与连续9.1.3

二元函数的极限与连续9.1.3

二元函数的极限与连续9.1.3

二元函数的极限与连续例9.4讨论函数在(0,0)处的连续性．解故函数在(0,0)处连续.9.1.3

二元函数的极限与连续例9.5

讨论函数在(0,0)的连续性．解故函数在(0,0)处连续.9.1.3

二元函数的极限与连续●一元函数中关于连续函数的运算法则，对于多元函数仍适用，（分母不为零）仍连续，也连续。●与一