2024春新教材高中数学 4.5.2 用二分法求方程的近似解说课稿 新人教A版必修第一册

2024春新教材高中数学4.5.2用二分法求方程的近似解说课稿新人教A版必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024春新教材高中数学4.5.2用二分法求方程的近似解说课稿新人教A版必修第一册设计思路本节课以“2024春新教材高中数学4.5.2用二分法求方程的近似解”为主题，紧密结合新人教A版必修第一册教材，通过实际问题引入二分法求解方程的近似解，引导学生理解二分法的原理和步骤。设计思路包括：引导学生回顾一元二次方程的解法，引出二分法的概念；通过实例演示二分法的求解过程，让学生掌握二分法的步骤；设计课堂练习，巩固所学知识；最后进行拓展延伸，提高学生的数学思维能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过引入实际问题，引导学生理解二分法的数学抽象和直观想象；通过二分法的步骤推导，培养学生严密的逻辑推理能力；通过实际操作和练习，提高学生运用数学模型解决实际问题的能力；同时，通过计算和估算，培养学生的数学运算素养。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生在进入本节课之前，已经学习了函数、极限和导数等基本概念，掌握了方程求解的基本方法，如代入法、因式分解等。此外，学生对数列和不等式的性质也有一定的了解，这些知识为本节课的二分法求解方程近似解奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

高中学生对数学有较高的兴趣，尤其是对解决实际问题感兴趣。他们在学习过程中表现出较强的逻辑思维能力，能够通过分析问题找到解决问题的方法。部分学生可能偏重直观学习，喜欢通过图形或实例来理解抽象概念；而另一些学生则更倾向于逻辑推理，喜欢通过公式和推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在学习二分法时可能会遇到以下困难和挑战：一是理解二分法的原理，如何根据函数的性质确定根的存在性；二是掌握二分法的步骤，包括如何选取初始区间、如何进行迭代计算等；三是将二分法应用于实际问题，如何根据实际问题选择合适的函数和计算方法。此外，部分学生在进行迭代计算时可能会出现精度问题，需要引导学生理解和掌握精度控制的方法。教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有新人教A版必修第一册数学教材，以便随时查阅相关知识点。

2.辅助材料：准备与二分法相关的函数图像、迭代过程图表以及求解方程近似解的动画视频，帮助学生直观理解二分法的应用。

3.教学工具：使用计算器或编程软件进行二分法迭代计算演示，以便学生掌握计算方法和步骤。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生在小组内交流讨论；在讲台上放置黑板或白板，用于展示解题过程和关键步骤。教学过程一、导入新课

（老师）同学们，今天我们来学习新的一课——《用二分法求方程的近似解》。在上一节课中，我们学习了函数的单调性和极值，今天我们将利用这些知识来解决一个实际问题，那就是如何求方程的近似解。

（学生）好的，老师。

二、新课讲授

1.理解二分法的原理

（老师）首先，我们要明确二分法的原理。二分法是一种在实数域上求解方程近似解的方法。它基于这样一个事实：如果一个连续函数在某个区间上存在两个不同的函数值，且这两个函数值异号，那么在这个区间内一定存在至少一个根。

（学生）老师，那什么是连续函数呢？

（老师）连续函数就是指在定义域内，任意两点之间的函数值都是连续的，不会出现跳跃。比如，我们常见的多项式函数、指数函数等都是连续函数。

2.二分法的步骤

（老师）接下来，我们来具体了解一下二分法的步骤。首先，我们需要选择一个合适的初始区间，使得函数在该区间内存在根。然后，我们通过迭代计算，逐步缩小根所在的区间，直到满足精度要求。

（学生）老师，那如何选择初始区间呢？

（老师）选择初始区间时，我们需要根据函数的性质来确定。一般来说，我们可以通过观察函数图像或者函数值的变化来确定一个包含根的区间。

3.二分法的计算过程

（老师）现在，我们以一个具体的例子来演示二分法的计算过程。假设我们要求解方程f(x)=0，其中f(x)=x^2-2x-3。

（学生）好的，老师。

（老师）首先，我们需要确定一个包含根的区间。观察函数图像或者计算f(0)和f(3)的值，我们发现f(0)=-3，f(3)=0，因此根在区间[0,3]内。

（老师）接下来，我们进行迭代计算。首先，我们计算区间的中点m=(0+3)/2=1.5，然后计算f(m)=1.5^2-2*1.5-3=-2.25。由于f(1.5)<0，根在区间[1.5,3]内。

（老师）然后，我们再次计算新的中点m=(1.5+3)/2=2.25，计算f(m)=2.25^2-2*2.25-3=0.5625。由于f(2.25)>0，根在区间[1.5,2.25]内。

（老师）以此类推，我们可以继续进行迭代计算，直到满足精度要求。假设我们要求解的精度为0.01，那么我们可以得到方程的近似解为x≈1.8。

4.二分法的应用

（老师）现在，我们已经了解了二分法的原理和计算过程，那么在实际应用中，我们应该注意哪些问题呢？

（学生）老师，我觉得在实际应用中，我们需要注意初始区间的选择，以及迭代过程中精度控制的设置。

（老师）没错，选择合适的初始区间和设置合适的精度是保证二分法求解成功的关键。

三、课堂练习

1.完成教材上的例题

（老师）现在，请大家打开教材，完成课本上的例题。通过练习，巩固我们今天所学的知识。

2.小组讨论

（老师）接下来，我们将进行小组讨论。请同学们分组，讨论以下问题：

（1）二分法适用于哪些类型的方程？

（2）如何选择初始区间？

（3）如何设置精度控制？

四、课堂总结

（老师）同学们，今天我们学习了二分法求方程的近似解。通过本节课的学习，希望大家能够掌握二分法的原理、步骤和应用。在今后的学习中，请同学们多加练习，不断提高自己的数学能力。

（学生）谢谢老师，我们一定努力学习。知识点梳理1.二分法的基本概念

二分法是一种在实数域上求解方程近似解的方法，它通过不断缩小包含根的区间，来逼近方程的根。

2.二分法的适用条件

（1）函数在区间[a,b]上连续。

（2）函数在区间[a,b]上存在两个不同的函数值，且这两个函数值异号，即f(a)*f(b)<0。

3.二分法的步骤

（1）确定包含根的初始区间[a,b]。

（2）计算中点m=(a+b)/2。

（3）判断f(m)的符号：

a.如果f(m)=0，则m即为方程的根。

b.如果f(m)*f(a)<0，则根在区间[a,m]内，更新区间为[a,m]。

c.如果f(m)*f(b)<0，则根在区间[m,b]内，更新区间为[m,b]。

（4）重复步骤（2）和（3），直到满足精度要求。

4.二分法的精度控制

在迭代过程中，为了控制计算精度，我们可以设定一个阈值ε（0<ε<1），当区间长度小于ε时，停止迭代。

5.二分法的局限性

（1）二分法适用于连续函数，对于不连续的函数，二分法可能不适用。

（2）二分法的收敛速度较慢，对于某些函数，可能需要大量的迭代才能达到所需的精度。

6.二分法与其他求根方法比较

与牛顿法、割线法等求根方法相比，二分法具有以下特点：

（1）二分法不需要求导，适用于无法求导的函数。

（2）二分法的收敛速度较慢，但对于某些函数，可能比牛顿法更稳定。

（3）二分法适用于初始区间容易确定的函数。

7.二分法的应用

二分法在工程、物理、经济等领域有着广泛的应用，如求解方程、优化问题、数值积分等。

8.二分法的编程实现

二分法可以通过编程实现，例如使用循环结构来迭代计算，并根据精度要求进行终止条件判断。

9.二分法的数学证明

二分法基于中值定理，可以通过数学证明来证明其收敛性和收敛速度。

10.二分法的拓展

二分法可以与其他数值方法相结合，如加速二分法、分段二分法等，以提高求解效率。板书设计①二分法求方程近似解的基本原理

-连续函数

-异号零点存在性定理

-区间缩小

②二分法步骤

-确定初始区间[a,b]

-计算中点m

-判断f(m)的符号

-更新区间

-迭代计算

③精度控制

-设定阈值ε

-区间长度小于ε时停止迭代

④二分法计算示例

-函数f(x)=x^2-2x-3

-初始区间[a,b]=[0,3]