2025年高考数学一轮复习：拓展之分离变量法解决导数问题（解析版）

第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题

目录

类型一：恒成立（存在问题）求解参数。范围..................1

角度1：完全分离参数法................................1

角度2：部分分离参数法................................7

类型二：已知零点个数求解参数。范围.......................11

角度1：完全分离参数法...............................11

角度2：部分分离参数法...............................16

高频考点

类型一：恒成立（存在问题）求解参数。范围

角度1：完全分离参数法

典型例题

例题1.（23-24高二下・四川广元•阶段练习）已知函数/（x）=lnx—依，其中xe[l,+s）,若

不等式/（“〈。恒成立，则实数。的取值范围为.

【答案】[（+8）

【分析】

恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数的最值问题求解即可.

【详解】函数〃x）=lnx-«x,因为在xe[l,+8）恒成立，

所以Inx-orWO,在xw[,+<»）恒成立，

a>在xe[1,+°0）恒成立，

令〃（无）=皿，所以〃（x）=上及，

XX

//(力=0,得'=e,

所以当X£(l,e)时，/zr(x)>0,当%£(e,+oo)时，

所以可力在(1,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

所以//(冗\©=%(&)=:,所以"Ng,

所以实数。的取值范围为[，+8).

故答案为：1+°°)

例题2.(23-24高二下•河北张家口•阶段练习)已知函数/(x)=xe*,g(尤)=x+lnx+〃7.

⑴求函数〃x)的极值；

⑵若g(x)V〃x)恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】⑴函数的极小值为-L无极大值；

e

(2)m£l

【分析】(1)利用导数，先判断函数的单调区间，再求函数的极值；

(2)首先不等式化简为x+lnx+m4x1恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可

求解.

【详解】(1)r(x)=(x+l)e=令洋(x)=0,得x=-l,

x,广⑺和〃x)的关系，如下表所示，

X-1(-l,+oo)

((X)—0+

/W单调递减极小值」单调递增

e

所以函数的极小值为-工，无极大值；

e

(2)不等式g恒成立,即％+lnx+机W恒成立，

即小％炉―%—In%,%>0,恒成立，所以根4(屁"一九—Inx%，%>。，

设/z(x)=xe，-x-]nx,x>0,

=(x+l)e"—1=(x+l)[e*),其中x+]>0,

设加(％)=e"-L,mr(x)=ex+-^->0,所以机(x)在(0,+。)单调递增，

因为“；［<0，加⑴>0,所以存在尤…U，使=即〃(％)=0,即eW=J,

当xe(0,飞)时,〃⑺<0,Zz(x)单调递减,

当时,%'(X)>O,/?(元)单调递增，

所以当x=x0时，函数/z(x)取得最小值/1(%)=书&-%-In5,

由e*°=,,可得Xo=-lnxo，所以-=1-%+%=1,

xo

所以相£1.

例题3.(23-24高二下•重庆•阶段练习)已知函数〃力=依-1-Inx(aeR).

⑴若a=l,求/(x)在(e,〃e))处的切线方程;

⑵讨论函数〃尤)的单调性；

⑶若函数〃尤)在x=l处取得极值，且对Vx40,y),恒成立，求实数b的取

值范围.

【答案】⑴(e-l)x-ey-e=O

(2)答案见解析

【分析】

(1)先求出函数〃x)的导函数(⑺，进而得出〃e),/'(e)；再根据点斜式方程即可求

解.

(2)先求出函数/'(尤)的导函数十(力；再分aWO和。>0两种情况，在每一种情况中借助

导数即可解答.

(3)先根据函数""在x=1处取得极值得出a=1；再将问题"对Vxe(0,田)，/(x"-2

恒成立"转化为"对),人恒成立，，；最后构造函数g(x)=TU,并利

用导数求出且⑴血即可解答.

【详解】(1)当“=1时，/(x)=x-l-lnx,/,(x)=l-1,

1p_1

贝！J/(e)=e-l-lne=e-2,/'(e)=l——=---.

所以“X)在(e，〃e))处的切线方程为y_(e-2)=?(x-e),即(e—l)x—ey-e=O.

(2)由〃力=依-1-111尤(4€1<)可得：函数定义域为(0,+e),尸(x)=”1.

当aWO时，/'(力<0,此时函数/(x)在定义域(O,+“)上单调递减；

当a>0时，令/(“<0,解得0<x<：；令用x)>0,解得x>:，

此时函数〃尤)在区间上单调递减，在区间，,上单调递增.

综上可得：当时，函数/(尤)在定义域(0,+8)上单调递减；

当a>0时，函数/(X)在区间上单调递减，在区间+8)上单调递增.

(3)因为函数/(x)在x=l处取得极值，

所以/'(1)=0，即。一1=0,解得a=L

1X—1

此时/'("=1一一=——，

X尤

令制勾>0,解得X>1；令尸(x)<0,解得0<x<l,

所以函数"可在x=l处取得极值，

故。=1.

所以/(x)=x—l-In尤.

因为对Vxw(0,+oo),/(x)26x-2恒成立，

所以对Vrc(O,y),6_心上詈恒成立.

令g(x)=T，

则g〈x)=R」.

令g，(x)>0,解得x>/；令g'(x)<0,解得0<x<e\

所以函数g(x)=T"在区间(od)上单调递减，在区间©,+动上单调递增，

所以g(x)mm=g(e2)=-

则6-14y,解得：b<1-4；-.

ee

所以实数b的取值范围为，应1-5

练透核心考点

1.(23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)若不等式a+2元+|ln尤1-12。恒成立，则。的取值范

围是.

【答案】［-In2,+oo)

【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的

最大值，从而即可得解.

【详解】若不等式。+2x+|ln尤|-120恒成立，也就是2x-|ln4恒成立，

函数〃x)=l-2x-|lnx|,定义域为(0,+8),

当时，f(x)—1—2x—lux,广(x)=-2—<0,

\在［1,+8)为减函数，此时/(X)1Mx=〃1)=—1；

当0<%<1时，/(x)=l-2x+lnx,r(x)=_2+.=2.+1,

二当xe(。，［时，f^)>0,当xe(；,“时，r(x)<0,

\/(x)在/J上单调递增，在上单调递减，

Itk0t/Wraax=f［^=ln1=-In2,

综上可知，则。的取值范围是［-In2,+8).

故答案为：［-In2,+oo).

2.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/(尤)=ov+xln尤(aeR),当a=l且上eZ时，不

等式后(x-l)</(x)在无€(1,+8)上恒成立，求上的最大值.

【答案】3

【分析】

Yyip»y/x~\~xInxi

依题意参变分离可得左<，在xe(l,+8)上恒成立,则左<———，令

V—1\X—1/.

g(x)=x+xl：x,无e(l,+8),利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而

x-1

求出参数％的取值范围，即可得解.

【详解】

当a=l时，，(无)=尤+尤In尤，又不等式左(x-l)</(x)在xe(l,+oo)上恒成立，

则k<x+xXax在xe(1,+s)上恒成立，

x-1

〜，7(x+xlnx^l

所以左<——「，

I1Jmin

.,、x+.rlnx八、.,/\x-ln%-2

令g(无)=.1-，xe(l,+oo),则ng")=dp，

令用⑺=%-lnx-2,xe(l,+oo),

ir_i

则勿⑺=1>0,Mx)在(1,+8)上单调递增,

/?(3)=1-ln3(0,/?(4)=2-21n2)0,存在唯一不«3,4),使力(5)=0,

所以，当l<x<尤0时人(“<0即g[x)<0,当X〉毛时从x)>0即5(无)>0,

所以g(元)在(1，X。)上单调递减，在(玄+力)上单调递增，

又%)=M_lnXo—2=0,即111%=毛_2,

所以g(尤需=g5)「。0+1：。)「。0十%一可=X"(3,4),

尤xo

所以左<g(x)1nm=玉)e(3,4),又keZ,

•,"max=3.

3.(2024高三・全国•专题练习)已知函数"X)=lnx+1,V(x)>在(l,+oo)上恒成

立，求整数上的最大值.

【答案】3

【分析】

分离参数，问题转化为1〈,In*+。(%>1).设g(x)「(lnx+l)(%>1)；利用导数求出

x-1x-1

g(x)的最小值,得解.

【详解】由题意，x(lnx+l)>Mx-1)在(1,+8)上恒成立，

rrX(lnX+l)

BPZ:<--------(x>l).

x-1

(、x(lnx+l)

设g(x)=—-------(元>1),

x—1

./、x_Inx_2

则g(*)=方一行，

(1)

令力(x)=x-lnx-2(x>l),贝!J/z'(x)=l—工>0,

所以，力(%)在(l,+8)上为增函数.

ep2

因为/z⑵=-ln2vO,/i(3)=l-ln3=ln-<0,//(4)=2-ln4=ln—>0,

所以Mx)在(1,+8)上有唯一实数根rn«3,4),

使得帆—In帆―2=0.

当无时,/z(x)<0,即g'(%)<0；

当了£(m,+oo)时，/z(x)>0,即g'(x)>0.

即g(%)在(1,㈤上单调递减，在(加,+oo)上单调递增,

所以g(力在尤=相处取得最小值，

m(lnm+l)

n.g[m\=--------------=m,

m—1

所以左〈必由〃?«3,4),得整数人的最大值为3.

角度2：部分分离参数法

典型例题

例题1.(23-24高二上•福建福州•期末)已知关于》的不等式2x--x+l)e，>0解集中恰有3

个不同的正整数解，则实数上的取值范围为()

3

A.B.C.‘商

【答案】D

【分析】由题意可得上(x+l)<2xe-，的解集中恰有3个不同的正整数解，设/(x)=-x+l),

g(x)=2xeT,作出两函数的图象，结合图象分上V0,左>0分别求解即可.

【详解】因为2x-A:(x+l)e*>0,所以％(x+l)<2xe-*.

设/(x)=L(元+1),g(x)=2xe-*,则8'0)=2b-2屁「*=2(1-彳)小，

所以当时，g'(x)>0,g(无)单调递增；

当xe(l,+8)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

又因为Ax)是过点(-1,0)的直线，如图所示：

由此可得当％W0时，左5+1)<2疣-，的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意;

当上>0时，要使不等式2x-左(x+l)e*>。的解集中恰有3个不同的正整数解，

当y=/(x)过点(4,g(4))时，％取最小值,

Qp-4_nQ

因为g⑷―此时人E=下,

当y=/(x)过点(3,g(3))时，上取最大值,

因为g(3)=6e-,此时左=|13=*,

3-(-1)2e

83)

所以的取值范围为

故选：D.

例题2.(22-23高二下•浙江杭州•阶段练习)若关于左的不等式左(/+2x)<lnx+l的解集中

恰有2个整数，则上的取值范围是()

ln2+l71

A.-<^<1B.----<k<-

38--------3

In3+1.In2+1ln4+l/7/n3+l

C.--------<k<----D.----<k<----

1582415

【答案】C

V史上，构建八工)=电土乂，利用导数判断其单调性和

【分析】将不等式转化为左(％+2)

XX

最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.

【详解】因为x>0,且左(炉+2%)=区(％+2)«1111+1,可得+

构建/(力=电子，贝I」/'(1)=—Inx

令/<勾>0,解得0<x<l；令r(x)<0,解得尤>1;

则f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，可得/•(x)W/(l)=l,

且〃2)=匕相,〃3)=匕?

4,7k<-l+--ln-2

2In3+17/n2+1

由题意可得1，解得----<k<----

-1+In3

5k>----158

3

所以上的取值范围是丝口<左4空把.

158

1.(23-24高二上•湖南长沙•阶段练习)已知函数/(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0),若有

且只有两个整数为,三使得/&)>。，且/(々)>0,则。的取值范围是

【答案】0<a<2-ln3

【分析】

将不等式/(x)>。等价变形，构造函数，借助导数探讨函数性质，作出函数图象，结合已知

列出不等式组，求解即得.

【详解】当〃>0时，由/(%)>。，^#lnx+((2-2)x-2(2+4>0<^ax-2a>2x-lnx-4,

设7i(x)=ax—2a,g(x)=2x-lnx-4,求导得g'(%)=2二在一由g'(%)=0,得％=—，

xx2

当xe(0,〈)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，当xe(；,+8)上，g'(x)>0,g(x)为增函数，

/7(x)=ax-2a(a>0)的图象恒过点(2,0),在同一坐标系中作出函数y=g(尤)，y=〃(x)的图

象,

显然/?(2)>g⑵，即/(2)>0,由于有且只有两个整数%%,使得/'a)>0J(w)>0,

则这两个整数要么是2,3,不是1,要么是1,2,不能是3,

当/(1)<0时,即2-aVO,解得aN2,此时,/(3)=ln3+a-2>0,/(4)=ln4+2a-4>0,

显然至少有3个整数使得对应的函数值大于0,不符合题意，因此这两个整数是1,2,不能

是3,

a>0

于是"⑴=2-a>0,解得0<aW2-ln3,

/(3)=ln3+a-2<0

所以。的取值范围是0<aW2—ln3.

故答案为：0<a<2-ln3

2.(22-23高二下•辽宁沈阳•阶段练习)已知不等式xlnx+G+1欣<2xln2的解集中有且只

有2个整数，则实数k的取值范围是.

【…答案…】上「3,吗4，亍21n2］、

【分析】因为九111%+(%+1)左<2%ln2=(x+l)左v2%ln2—xlnx,设/(x)=2xln2—xlnx,

g(x)=MX+l),本题转化为函数在直线g⑴上方的范围中有且只有2个整数.先利用

导数确定函数“X)的图像，再与直线g(x)的图像结合列出不等式组求解即可.

［详解】xlnx+(x+l)A:<2xln2=>(x+l)A:<2xln2—xlnx,

^/(x)=2xln2-xlnx,

,4

贝ljf(x)=21n2-lnx-l=ln——Inx,

e

当f(x)>Onlna-lnx>OnO<x<±即当时，函数为增函数；

ee、e，

当/3<00111：-111》<0=了>：即当)€［3，+1|时涵数〃句为减函数；

当X.0时0；当久f+8时,Xf-8,

则满足题意的函数“X)的图像与直线g(x)=Mx+l)图像如图：

g⑴<〃1）2/<21n2

所以g⑵</（2）,即<3人<41n2-21n2,

g（3）“（3）4^>61n2-31n3

左力,日314,72In2

解得.

故答案为:匕1”,丁)

类型二：已知零点个数求解参数“范围

角度1:完全分离参数法

典型例题

例题1.(23-24高二下•广东广州•阶段练习)若函数=恰有2个零点，则实数。

的取值范围是()

A.B.(0,1)C.卜°°，jD.(-8,0)

【答案】A

XX

【分析】令〃劝=。，得到。=三，令g(x)=F，利用导数与函数单调性间的关系，求出

ee

xx

ga)=W的单调区间，进而得出冢龙)=5函数值的变化，即可求出结果.

ee

【详解】令〃x)=ae'-尤=0,得到a=3,令g(x)=W，则g'(x)=W，

eee

由g'(%)>。得至!］尤<1,由g'(%)<。，得到Ql,

所以g(x)=F在区间(-*1)上单调递增，在区间(1,+⑹上单调递减，

又g6=!，当x->-8时，g(x)T,-00,当xf+8时，g(x)f0,且x>0时，g(x)>0,

e

所以，当函数/(无)=ae*-尤恰有2个零点时，0<a<-,

e

故选：A.

例题2.(23-24高二下•湖南长沙•开学考试)已知函数/(x)=e=4.

⑴求函数在点(0J(0))处的切线方程；

(2)若。=1,证明：当xNO时，/(x)>l;

⑶若/")在(0,+8)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(l)I=x+l

⑵证明见解析

(3)a>—

4

【分析】(1)根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；

(2)利用导数与函数的单调性间的关系，求出/(x)=e'-x2在区间［0,+到的单调性，再求

出了(x)的最小值，即可证明结果;

(3)通过分离常量，得到斗=°,构造函数g(x)=。通过求导得到g(x)=1的单调性,

XXX

即可求出结果.

【详解】(1)因为f(x)=e'-混,所以/，(x)=e'_2以，所以尸(O)=e°=l,

又〃O)=e0=l,所以函数在点(0"(0))处的切线方程为y-l=x,即y=x+L

(2)当a=l时，/(x)=eA-x2,则((x)=e*-2x,

令/i(x)=e*-2x,贝lj/f(x)=e*-2,由〃'(无)=0,得到x=ln2,

当xe(y,ln2)时，h'(x)<0,当xe(ln2,+oo),h'(x)>0,

所以h(x)>/z(ln2)=2-21n2>0,即f(x)>0恒成立，

所以/(x)=e-Y在区间［0,+勾上单调递增，故〃方"0)=」=1,命题得证.

(3)因为/(x)=e，-o?,令/(无)=0,得到e，=ox2,又xe(0,+8),所以

尤~

令g(x)==，则g'(x)=e(t~2),当了€(0,2)时，g'(x)<0,当xe(2,”)时，g'(x)>0,

xx

2

所以g(尤)28出=一e，又当X-0时，g(X)f+CO,X-+8时，g(x)f+8,

4

z

又/(x)在(0,+8)有两个零点，所以。>e

4

例题3.(23-24高三上•陕西安康•阶段练习)已知函数/(x)=e-加+X-1.

⑴当。=1时，求曲线y=〃x)在x=l处的切线方程；

(2)若〃力=0有两个不等的实根，求实数。的取值范围.

【答案】⑴(eT)x_y=0

⑵(一8，。)口］—［

【分析】(1)求导，得到〃l)=e-lJ'(l)=eT进而求出切线方程；

(2)"0)=0,故只需当无力0时，〃同=0有且仅有一个实根，参变分离，转化为两函数

只有1个交点，求导，得至18(尤)=至31口片0)的单调性，画出其图象，数形结合得到参

数的取值范围.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=er-x2+x-l,/,(x)=er-2x+l,

/(l)=e-l，r(l)=eT

所以曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y—(e—l)=(e—gp(e-l)x-j=0.

(2)显然”0)=0,要使方程〃x)=0有两个不等的实根,

只需当XH0时，〃x)=0有且仅有一个实根，

当x#0时，由方程〃尤)=0,得。=

X

令g(x)=+：(xw0),则直线y=。与g(x)=+：(xw0)的图象有且仅有一个交点.

XX

,()(e"+l)x2-2x(e-r+x-l)(x-2)(e"-l)

又当x<0时，g'(x)<O,g(x)单调递减,

当0cx<2时，g'(x)<O,g(x)单调递减,

当x>2时,g<x)>O,g(x)单调递增，

所以当x=2时，g(x)取得极小值g(2)=一,

又当x<0时,ex<l,所以e，+x—l<0,即g(x)<0,

当X>0时，ex>l,ex+x-l>0,即g(x)>。，

所以作出g(x)的大致图象如图所示.

由图象，知要使直线丁=。与g(x)=e，：：T(x丰0)的图象有且仅有一个交点,

、e2j-1

只需a<0或〃=----.

4

综上，若/'(x)=0有两个不等的实根，则。的取值范围为(-

练透核心考点

1.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=aex—无，aGR.若兀v)有两个不同的零点，则

实数a的取值范围是.

【答案】[。，£]

【详解】(解法1)因为了(x)=aex—1.

①当如。时，/u)<o,/U)在R上单调递减，不可能有两个零点，舍去；

②当〃>0时，令/(x)=00元=—ln

且当X£(—8,—In〃)时，/(x)V0,此时，函数/(x)单调递减；

当x£(—|n〃，+°°)时，/(力>0,此时，函数/W单调递增.

因为/W有两个不同的零点，所以/Wmin=/(—In〃)=l+ln〃V0,解得。v〃<工.

综上所述，实数。的取值范围是(0,：).

V

(解法2)由/(x)=aex—x=O,贝U

所以g(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(X)max=g(l)=N

当光玲一8时，g(x)<0；

当％f+8时，g(x)>0,

根据函数的图象，若方程有两个不同的解，则aG(0,；).

2.(23-24高二下•陕西西安•阶段练习)已知函数〃力=呼+6在x=l处的切线方程为

2x—y—2=0.

⑴求“X)的解析式;

(2)若方程/(%)=根(根为常数)有两个根，求实数根的范围.

【答案】⑴"%)=亚

X

【分析】(1)求得函数的导数((X),根据切线方程为2x-y-2=0,得到切点坐标(1,0),

列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式；

(2)根据题意转化为，=加与吧图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调

X

性和最值，即可求解.

【详解】(1)因为/(%)=但+般所以解(无)=""二+6,

XX

又因为已知函数“力在x=l处的切线为2x-y-2=o,即切点为(1,0),

⑴=〃+匕=2

所以Jn,解之得。=2,b=0,

[f(l)=b=O

所以函数的解析式为”X)=*，In.Y

(2)因为〃龙)=汕，所以尸(力=上*

X%

令/'(司=0,解得x=e,

当xe(O,e),>0,在xe(0,e)为增函数，

且xe(0,l)时，/(x)<0,xe(l,e)时，/(x)>0,

当xe(e,+8),尸(x)<0,在xe(e,+8)为减函数，

且X-y时，/(x)->0,当X=e时，y=/(e)=—=-

maxee

2

若方程/(X)="2(加为常数)有两个根，则。〈根〈一.

e

故实数m的范围为

3.(23-24高三上•重庆南岸•阶段练习)已知函数/(%)=(%+1)炉

(1)求函数〃x)的单调区间；

(2)若方程/⑺=。(。eR)有两个实数解，求实数a的取值范围.

【答案】(1)减区间是(-8,-2),增区间是(—2,+8)

(2)一一7<«<0

e

【分析】(1)求出导函数/(X),由广(无)>0得增区间，由r(x)<o得减区间；

(2)由(1)得出了(X)的极值及变化趋势，利用了(X)的图象与直线X=〃有两个交点可得参

数范围.

【详解】(1)由已知尸(x)=e*+(尤+l)e*=(x+2)e”,

x<-2时，f'(x)<0,尤>-2时，f\x)>0,

所以/(x)的减区间是(---2),增区间是(-2,+⑼；

(2)由(1)知x=-2时，/*)取得极小值也是最小值/(-2)=-晓=一3，

显然x<-l时，〃x)<0,f(-D=O,尤>一1时，/(无)>0,

/(尤)在-2)上递减，在(-2,+oo)上递增，

当x-—8时，/(x)0,

作出>=/(x)的大致图象及直线y=。，如图，

当-3<”0时，函数y=/(x)的图象与直线x=a有两个交点，即方程〃力=。有两个解.

角度2：部分分离参数法

典型例题

Inx

例题1.(2024高三上•河南•专题练习)己知函数/(彳)=-丁.

⑴求曲线>=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)若函数g(x)=/(x)-土上2+2e有且只有一个零点，求。的值.

X

【答案】(i)y=xT

(2)e3+l

InV

【分析】(1)求得/'(x),可得切线的斜率，从而得到切线方程；(2)将问题转为坂》)=出

X

与双阳=/_25+1。只有一个交点，利用导数求出〃(X)的单调区间和最值，利用二次函数

图像性质求出加(x)的最值，从而得到。的值

【详解】(1)由题意得函数/⑴的定义域为(0,+8),

L尤2-2xlnx

l-21n尤.

八1）=半=0,r（1）=lz|l£l=i,

所以曲线>=/(尤)在x=l处的切线方程为y-0=lx(x-l),即y=x-l

(2)由题意得函数g(x)的定义域为(0,+s),令g(x)=0,得坐_¥+厂。

+2e=0,

x

即---=x2-2ex+e~1a,

x

令h(x)=(x>0),m(x)=x2-2ex+e-1tz(x>0),贝|hf(x)=--.

xx

由〃(%)=。,得％=e,

由/(%)>0,得0<x<e,

由成»<0,得元>e,

所以h(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+8)上单调递减.

所以当x=e时，/7(x)取得最大值Mx)=Me)=-.

1mxe

又函数m(x)=x2-2ex+e~la=(x-e)2+e-1«-e2,

所以