2025年高考数学模拟卷（新高考地区专用）【解析版】

备战2025年高考数学模拟卷（新高考地区专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

一、单选题

1.已知复数z满足（2+i）z=2—4i,则彳=（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轨复数的概念即可解答.

2-4i（2-4i）（2-i）

【详解】因为z==-2i,所以2=2i,

2+i一（2+i）（2-i）

故选B.

2.已知。力均为实数，则下列命题是真命题的是（）

A.若lga=lg6,贝1］。=6B.若/=巴贝ija=6

C.若贝！）右=4bD.若a=b,则一

ab

【答案】A

【分析】根据题意，依次分析各选项即可得答案.

【详解】对于A,由lga=lg6,得。=力，知A正确；

对于B,由得a=±b,知B错误；

对于C,当a=6<0时，则&与场均无意义，知C错误；

对于D,当“=》=（）时，则工与:均无意义，知D错误.

ab

故选：A.

3.已知〃，b,。是VABC的三边，且。=2*=3,。=4,点。是VABC外接圆的圆心，则A0C5=（）

557

A.—B.—C.—D.—6

222

【答案】C

【分析】取BC的中点M,然后将AO用表示，进一步用ABA。表示，CB用ABAC表示，然后计

算即可.

【详解】取3c的中点然后连接。

如图

所以AO=AM+MO，由。是VABC外接圆的圆心，所以OML3C

所以AO-C2=(AM+MO).C3=AATCB

又AM.CB=g(AB+AC).(AB—AC)C?—AC)=g

故选：C

4.随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显

示，近十年我国国内游客人数（单位：百万）折线图如图所示，则下列结论不正确的是（）

700011111

6000

5000

4000--------^\\2879__2

29246

3000

42

2000------------------

2410761128118812^01324_[420___1535

1000->

0

2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年

•------•国内游客（百万人次）

•--------城镇居民国内游客（百万人次）

•------•农村居民国内游客（百万人次）

A.近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数

B.近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差

C.近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240

D.2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加

【答案】C

【分析】根据每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，即可判断选项A；根据近十年，

城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，即可判断选项B；由中位数的计算方法，可

得近十年农村居民国内游客人数的中位数，即可判断选项C；根据2012年到2019年，国内游客中城镇居民

国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断选项D.

【详解】由图可知，每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，

所以近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故选项A正确；

由图可知，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，

所以由方差的意义可知，近十年城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，故选项B

正确；

将近十年农村居民国内游客人数从小到大进行排列，

可得近十年农村居民国内游客人数的中位数为1128；1188=]]58,故选项c错误；

由图可知，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，

所以2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故选项D正确.

故选：C.

22

5.已知函数y=/(x)的图象恰为椭圆C：=+2=l(a>6>0)x轴上方的部分，若f(sT),f(s),f(s+t)成

ab

等比数列，则平面上点(S,力的轨迹是()

A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分

C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质，结合椭圆方程进行求解判断即可.

22

【详解】因为函数y=/(x)的图象恰为椭圆C：・+2=l(a>b>0)x轴上方的部分，

ab

所以丁=/(x)=/?•A/l—^T-(—(2<x<d)

Va

因为/(s—%),/(s+r)成等比数列，

所以有+,且有一〃<5<。,_〃<5_/<。,_〃<5+/<”成立，

即一〃<5V",一成立，

由/⑸=于(sT)•f(S+。n(6•Jl^y)2=b-,

化简得：六=242»+252t2n产02-202-2$2)=0=产=0,-2a2-2s2=0,

当产=0时，即r=O,因为-a<s<。，所以平面上点(s,力的轨迹是线段(不包含端点);

当产-2a2_2s'=0时,即f=2a2+2s2，

因为—所以而2/+2S2>/,所以产=24+2$2不成立,

故选：A

【分析】由奇偶函数的定义可排除A,当0<x<l时函数值为负数排除选项CD,再利用导数法验证函数的

单调性即可得出答案.

【详解】因为y=(|x|+l)ln|x|的定义域为｛x|xw。｝，且(n+l)lnf=(N+l)lnW,

所以函数旷=(国+1)M国是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A,

当0<x<l时，y=(x+l)lnx<0,排除选项CD,

1111r_1

又y'=lnx+l+—,i己/(x)=lnx+l+—，贝|—=-----=---,

XXXXX

令((%)>0得x>l,令/(%)<0得0<%<1,

所以/(无)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/(尤)*/(1)=2>0,即y=lnx+l+4>0,

X

所以当兀>0时，y=(x+l)lnx在(0,+8)上单调递增.

故选：B

7.如图，正方体AB。。-AgG2棱长为2,点尸是面4片。12内一点，M,N分别是棱。CAD上的点则

三棱锥5-肱VP的体积最大值为()

8+26

cD.叵

--9-3

【答案】A

【分析】设OV=X,DM=y,由表示出SNMB，再求出S^B的最大值，由等体积法即可求出三棱锥

3-M部的体积最大值.

【详解】因为平面ABCD〃平面AAGA，又由正方体的性质知：8与，平面ABCD,

所以点P到平面ABCD的距离为BBI=2,

设DN=x,DM=y,贝l|A7V=2_x,CM=2-y,0<x<2,0<y<2,

所以SNBM=SABCD_SNDM_SCMB_SNAB

=2x2-1-x-y-1-（2-j）-2-1-（2-x）-2

=4-^xy-（2-y）-（2-x）=--xy+.x+y,

因为0Vx<2,0Vy42,所以l-gyz。，

令f=（l-;yjx+y,可看作是关于x的一元一次方程，

所以11一3d苫+/42（1-；力+、=2,当且仅当x=2时取等，

124

所以三棱锥区—MNP的体积为：VB.MNP=VP_MNB=TMNBBBX=-SMNB<-F

4

故三棱锥5-肱VP的体积最大值为w.

故选：A.

8.已知关于X的不等式（尤2+依+）”!1尤2。在（0,+8）上恒成立（其中。、Z?eR）,则（）

A.当。=-2时，存在6满足题意B.当。=0时，不存在6满足题意

C.当》=1时，存在。满足题意D.当6=2时，不存在。满足题意

【答案】D

【分析】本题首先可根据题意得出函数y=f+办+6满足有一零点为》=1、当0<x<l时yWO、当尤>1时

y>o,然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.

【详解】因为关于X的不等式（尤2+6+冲出60在（0,+8）上恒成立，

所以必需要满足！[x>+l…纳卜fO<+x…<l”

即对于函数>=/+依+匕，必有一零点为X=1且零点左右函数值符号不同，

即当0<x<l时，yw。；当尤>1时，y»。，

A项：a--2,y=x2-2x+b,令x=l,0=l2-2+b,b=l,

此时y=£-2x+l,不满足零点左右函数值符号不同，A错误；

B项：<2=0,y=x2+b,令尤=1,。=0+匕，b=-l,

此时y=/-1,存在6满足题意，B错误；

C项：6=1,_y=x2+ax+l,令x=l,0=l2+a+l，a--2,

此时y=f-2x+l,不满足零点左右函数值符号不同，C错误；

D项：b-2,y=x2+ax+2,令x=l,0=12+a+2>a=-3,

止匕时y=f—3x+2,不满足当0<x<l时>40且当尤>1时，y>0,

即不存在。满足题意，D正确，

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.函数〃尤）=占+11贝U（

|sinx||cosx|

A.的最小正周期为2兀B./（彳-兀）为偶函数

C.的最小值为2夜D.在区间单调递增

【答案】BC

【分析】直接利用函数的周期性，奇偶性，单调性及最值的相关性质对各选项进行判定.

1111

+1=〃x)

【详解】对选项A,由|cosx||sinx|

sin(x+'cos(x+—)

可知m为了（%）的一个周期，故选项A错误;

x^kn

sinw0

eZ,y

对选项B,由得7兀其中左定义域为｛琲航且尤keZ,关于原点对称,

cosw0XWK71+—

2

1111

小_兀）=-----------1-----------=------+------x

|sin(x-7i)||cos(x-7i)||siiix||cosx|=f(),

1111

又〃f)=__________|__________^3______|______

|sin(-A：)||cos(-x)|__|sinx||cosx|J

所以/（-尤）=〃司，所以为偶函数，从而/（X-兀）为偶函数，故选项B正确;

对选项C,令，=kinx],则|cosx|=J1-sin?%=J1一产,且zw(0,l)

\1111

贝|]/(”=丽+即=7+声，年(0,1),

令g⑺[+R,01),

令g'（/）＞0,可得此（4,1）,则g⑺在（乎,1）单调递增,

令g"）＜0,可得fe（0,乎），则g⑺在（0,1）单调递减,

故g⑺=；+7m的最小值为g［孝］=2V2,故选项c正确；

对选项D,由于=故/（X）在区间内不单调，故选项D错误,

故选：BC.

PA1

10.已知4（一2,0）,3（6,0）,。（2,2）,点尸满足方=g,设点尸的轨迹为曲线C,则（）

rDJ

A.过点8作曲线C的切线，切线长为6加

B.当A,B,P三点不共线时，则NAPO=N3PO

C.在C上存在点使得|加0|=2］他4|

D.|即+3］叨的最小值为6不

【答案】ABD

PA1

【分析】设动点坐标，根据再■=§可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B

选项可知尸。是ZVIPB内角NAP3的角平分线，即可得出结论；C选项，可以求得动点M的轨迹，判断两

曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解.

【详解】设P点坐标为1,y）,由,=闩，则黑,=1，化简得

PB3J（x-6Y+y23

22

X+y+6x=0,所以动点轨迹是以C（-3,0）为圆心，r=3为半径的圆.

A选项，过点8作曲线C的切线，切线长为闻二？=6后，A选项正确.

B选项，当4,8,尸三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，尸。是“PB内角的角平分线，所

以NATO=NBPO.故B选项正确.

I~2+2-

C选项，因为=设M（x,y）,则'?=2,化简得轨迹为（苫+当?+产=£,所以动点初

4（尤+2）39

84

的轨迹为圆心G（-10），半径为弓=］的圆，圆心距

|CC2|=|<|r-^|,所以两圆位置关系为内含，所以在C上不存在点V，使得眼。|=2"例，故C错误.

D选项,因为再■=§,所以附+3|尸。=3|斜+3|叫=3（照+|叫"3|明=3卜2-2）2+（0-2）2=65

故D正确.

故选：ABD

b

11.函数〃x）=订7（a>0,6>0）的图象类似于汉字，，冏，，字，被称为“冏函数，，，并把其与y轴的交点关于原

点的对称点称为“冏点”，以“冏点”为圆心，凡是与“冏函数”有公共点的圆，皆称之为“冏圆”，则当。=1,6=1

时，下列结论正确的是（）

A.函数“X）的图象关于直线x=l对称

B.当1,1）时,/（无）的最大值为一1

C.函数的“冏点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离为夜

D.函数“X）的所有“冏圆”中，面积的最小值为3万

【答案】BCD

【分析】A.根据函数是偶函数，进行判断即可.

B.判断当OWx<l时，函数的单调性即可.

C.求函数y=lnx的导数，利用导数的几何意义进行求解.

D.利用两点间的距离公式进行判断求解.

【详解】当。=1,6=1时，函数

\x\-l

A.加0的定义域为｛X|XN±1,xeR],且为偶函数，则函数关于x=0对称，故A错误；

B.其图象如图所示，当O,,x<l,/（x）=工为减函数，则当尤=0时，/（彳）最大为=故B正确;

C.当%=0时，y=-l,即函数图象与y轴的交点为8（0,-1）,其关于原点的对称点为C（（M）,

171

所以“冏点”为C（O,1）,设y=inx,则y=一,设切点为（％,1叫），.•.切线的斜率%=一,

xxo

当“冏点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，，"?二1•J=T,解得毛=1,

•・・切点坐标为（1,0）,

故函数于（玲的“冏点”与函数y=In无图象上的点的最短距离是7（1-0）2+（0-1）2=72,故C正确，

D.“冏圆”的圆心为C（O,1）.要求“冏圆”的面积最小，则只需考虑V轴及V轴右侧的函数图象.当圆c过点B

时，其半径为2,这是和无轴下方的函数图象有公共点的所有“冏圆”中半径的最小值；

当圆C和X轴上方且y轴右侧的函数图象有公共点A时，设A（八」7）（其中机>1）,

m-1

则点A到圆心C的距离的平方为/=凉+（-L--1）2,

m-1

令一!一=g（f>0）,贝1|『=（1+，）2+«_1）2=/+二+2_2，+2=（，_52_2（"1）+4,

m-1ttttt

再令/—：=（其中//wH）,贝I[42=〃2_2〃+4=（〃_I）2+3.3,

所以当圆c和x轴上方且y轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为6.又2>道，

综上可知，在所有的“冏圆”中，半径的最小值为

故所有的“冏圆”中，圆的面积的最小值为3万，故D正确，

故选：BCD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设等差数列｛«„｝的前n项和为，若%=3,邑=T，则与=.

【答案】10

【分析】将与和凡用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解

%+4d=3=1

【详解】设该数列的公差为“，由题可知：3（q+d）/解得‘1,故—=5%+10d=10.

d=—

2

故答案为：10.

（兀34\

13.已知tana,tan〃是方程/+3立工+4=0的两根，且。，/［于号），则a+#的值为.

47r

【答案】y

【分析】根据韦达定理求出tana+tan"tanatan分的值，进而结合两角和的正切公式求出tan（a+0的值,

缩小角的范围即可求出结果.

【详解】*.*tan%tan/?是方程/+36^+4=0的两根，tana+tanJ3=-3A/3,tanatanp=4,

・•.tan"）=4±^£=2=3

1-tancrtanf31-4

又tan+tan<0,tancrtan>0,/.tancr<0,tan<0,

713»/|汽

a,0c,a.pGl,ja+,£（»,2万）,：.a+/3=—.

万H

故答案为：

14.我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子

中卡片的数字之和相等，则不同的放法有种.

【答案】204

【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.

【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为x.

当X=H时，共有1种情况，即{(1,3,7),(2,4,5)}；

当x=12时,共有3种情况，即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7)}；

当％=13时，共有5种情况，即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9)32,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},{(1,5,7),(2,3,8)},

{(1,5,7),(3,4,6)}；

当x=14时,共有7种情况，即{(1,4,9),(2,5,7)},{(1,4,9),(3,5,6)},{(1,5,8),(2,3,9)},{(1,5,8),(3,4,7)},

{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6)}；

当x=15时，共有2种情况，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}；

当x=16时，共有7种情况，即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9)64,5,7)},{(1,7,8),(2,5,9)},{(1,7,8)63,4,9)},

{(2,5,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)},{(2,6,8),(4,5,7)}；

当x=17时,共有5种情况,即{(1,7,9),(4,5,8)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9)74,6,7)},{(3,6,7),(4,5,8)},

{(1,7,9),(3,6,8))；

当x=18时，共有3种情况，即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)},{(1,8,9),(5,6,7)}；

当x=19时，共有1种情况，即{(3,7,9),(5,6,8)}；

综上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+3+1=34(种)］青况，

不同的放法共有：34M=204种.

故答案为：204.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A,B,C,D,E5组.下表为

该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：

ABCDE

甲车间100120150180200

乙车间50120200150180

(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？

(2)设甲车间合格率为0.54,乙车间合格率为0.57,求甲、乙2个车间都不合格的概率；

(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析.

【答案】(1)甲车间的平均数150,乙车间的平均数140,甲车间的方差1360,乙车间的方差2760,甲车间

工作效率比较稳定(2)0.1978(3)答案见解析

【分析】(1)计算甲车间该日生产订单的平均数，乙车间该日生产订单的平均数，甲车间该日生产订单的

方差，乙车间该日生产订单的方差；

(2)计算甲、乙2个车间都不合格的概率;

(3)比较2个车间的平均数、方差和合格率.

100+120+150+180+200―

【详解】(1)甲车间该日生产订单的平均数为----------------------=150,

5

50+120+200+150+180

乙车间该日生产订单的平均数为=140,

5

甲车间该日生产订单的方差为(100-150)2+(120-150)2+(150-150)2+(180-150)2+(200-150)2=1360,

乙车间该日生产订单的方差为(50-140)2+(120-140)2+(200-140)2+(150-140)2+(180-140)2=2760,

因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差，所以甲车间工作效率比较稳定；

(2)甲、乙2个车间都不合格的概率为0.54x0.57=0.1978；

(3)平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车间

工作效率更高.

16.已知函数“无)=J?si/x+sinxcosA：.

(1)当无e0，§时，求了(无)的值域；

(2)已知AABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,=。=4,b+c=5,求AASC的面积.

【答案】⑴〃x)e[0,6](2)5AABC=¥

jr

【详解】试题分析：(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合xe0,-,即可求得了(元)的值域；(2)

由/=与求得A的值，利用余弦定理求得儿的值，可得AASC的面积.

试题解析：(1)由题意知，i/(x)=V3sin2x+sinxcosx=sin|2x-^71|+

3~2

0,y,2x-?e,/.sin^2x-^e—R，与,：.〃x）e[o，K].

/.sinfA-y=0,•.*AG（0,»），/.A=y

*.*a=4,b+c=5,由余弦定理可得16=〃+c2-Z?c=(Z?+c)2-3bc=25-3bc,:.bc=3,

・0，•一3g

,,SMBC=—bcsinA=—•

17.已知椭圆E：5+%=l(a>6>0)的离心率为巧,4B是它的左、右顶点，过点。(1,。)的动直线/(不

与x轴重合)与E相交于N两点，△M4B的最大面积为20.

⑴求椭圆E的方程；

(2)试探究：原点0是否一定在以线段跖V为直径的圆内？证明你的结论.

22

【答案】⑴工+匕=1

42

(2)原点。一定在以为直径的圆内，证明见解析

【分析】(1)根据最大面积可得劭=20，再结合离心率及片=廿+°2求解作答；

(2)设出直线/的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理结合平面向量数量积推导NMON为钝角作答.

【详解】(1)依题意，e=£=且，设椭圆E上点M的纵坐标为%,0<|%区。，

a2

的面积5,.=；1码1%1=；2。|%区血当且仅当I%1=》时取等号，

因此〃Z?=2\/J，而a2=/?2+c2,且Q=解得〃=2,b=c=^2>

22

所以椭圆E的方程为土+匕=1.

42

(2)原点。一定在以MN为直径的圆内，证明如下：

设直线/的方程为％=。+1,M（%i，yi），N（%2，y2），

联立42"，得（/+2卜2+29—3=。，则%+%=」，%为二开一，

<t+2t+2

x=ty+l

―4/+2

则%无2=+1）（仇+1）=%+*%+%）+1=产+2'

,、/、—4产4-?—3—4产—1

又OM=（石,ON=（JT2，%）,则OM-ON=xrx2+y1y2=------+—-----=--------<0,

tI2tI2tI2

所以NMON为钝角，所以原点。一定在以MN为直径的圆内.

y/

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面A8CQ,底面A8CO是直角梯形，其中A£)〃8C,ABLAD,

AB^D^BC=2,*4,£为棱8C上的点，且『如仁

(1)求证：E>E_L平面B4C；

(2)求点E到平面PCD的距离；

(3)设。为棱CP上的点(不与C,尸重合)，且直线。£与平面融C所成角的正弦值为好，求穿的值.

5c产

CO2

【答案】(1)证明见解析(2)2(3)等=]

【分析】(1)如图建立空间直角坐标系.利用向量法可得小人AC,DEYAP,即可证明结论；

(2)由(1)可得斯=(-2,-1,4)与平面尸8的法向量，即可得答案；

(3)设若=2(0<2<1),后由直线QE与平面B4c所成角的正弦值为书结合空间向量知识可得关于2的

方程，即可得答案.

【详解】(1)因为PAL平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD

所以可_LAB,R4_L4).因为AB_LAD则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.

由已知可得4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),尸(0,0,4),矶2,1,0).

所以DE=(2,-l,0),AC=(2,4,0),AP=(0,0,4).

因为。？4。=2><2-1><4+0=0，所以OE1AC.OE.AP=0，所以r®_LAF.

又APcAC=A,APu平面PAC,ACu平面PAC.所以£>E_L平面PAC；

(2)由(1)可知，EP=(-2,-l,4)

设平面PCD的法向量〃=(x,yz)因为PD=(O,2,T),PC=(2,4,-4).

n-PD=0(2y-4z=0

所以即不妨设z=l,得〃=(-2,2,1)

n-PC=O[2x+4y-4z=0

点E到平面PCD的距离d=变刈=,6=2.

\n\V4+4+1

所以点E到平面PCD的距离为2..

(3