2025年高考数学模拟卷（新高考八省专用）（解析版）

备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知集合/Txlf-x-ZVOkBNylynA+l},则NU8=（）

A.[1,2]B.[-1,+®）C.[-1,1]D.[l,+℃）

【答案】B

【分析】解一元二次不等式得集合A,根据集合的描述法转化得集合3,根据集合的并集的概念求解即可

得结论.

【详解】不等式x2-x-2V0解得一1VXV2,贝！]4={尤一1VXW2},

函数了=4+1中xWO,所以故8={川）21},

所以/U8=[-l,+s）.

故选：B.

2.若i.z=l+i,则口=（）

A.-V5B.-V2C.VsD.V2

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简可得出复数z,利用共期复数的定义以及复数的模长公式可求得结果.

【详解】因为i-z=l+i,贝!iz=Hi=匕匚=1一i,所以，z=l+i，

ii

所以，|Z|=#7F=V2.

故选：D.

3.已知命题P：DX£R,ln（2"+l）＞0,命题q:王〉l,sin（2x+3）=3,贝|（）

A.2和0都是真命题B.「0和0都是真命题

C.。和「夕都是真命题D.都是真命题

【答案】C

1

【分析】解不等式ln（2'+l）＞0,结合了=sin（。尤+夕）的值域为卜1川，及命题的真假判断即可.

【详解】ln（2，+l）＞0,即ln（2，+l）＞lnl,

因为函数了=lnx在（0,+s）上单调递增，

所以2*+1＞1，即炉＞0,解得xeR,所以命题0是真命题；

y=sin（ox+e）的值域为［-1,1］,所以命题4是假命题，则F是真命题.

故选：C.

4.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似

看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约为（）

10------►

A.100cm3B.205cm3C.300cm3D.400cm3

【答案】B

【分析】法一：利用圆台体积公式进行求解，再结合选项得到答案；法二：补全图像利用三角形相似可求

出小圆锥体的高，大圆锥体积减小圆锥体积即可求解.

【详解】解法一：根据题意可知力=4“=3,7?=5,根据圆台体积公式可得

K=17r/z（r2+A2+r7?）=17tx4x（32+52+3x5）=^^®205（cm3）.

解法二：如图，设小圆锥的高为xcm,根据三角形相识可得亮=：,解得x=6,

x+45

匚匚［、I、+—A^1--ct-t、r7TX5x10x3x61967r_„_/3\

所以该壶的1容积为------------------=----X205cm3.

333v7

故选:B.

2

*，则1-tana

5.若cos()

sin。

A.上5

BD.——

5-I12

【答案】C

1-tana

【分析】由题给条件求得COSa-sina,cosczsince的值，进而求得的值.

sina

【详解】由cos"3=*可得Jcos**ma=『

贝（Jeosa—sina=—，贝！J（cosa-sina『二一，贝!）cososina=—,

3171^3）18

2

1-tanacoser-sinaa12

故———=--------=告=不

sinasmacosa之5

后

故选：C

6.已知尤>0,z>0,_S.y>z-x,则上+—的最小值为（）

Xz

A.3B.5C.7D.8

【答案】B

【分析】结合已知条件y»z-x对上+巨进行变形，得到上+岂学三+公-1,再利用基本不等式求最小值.

XZXZXZ

E、r、cV9xz-x9xZ9xY

【详解】因为.vNz-x,x>0,所以-+—>---+—=-+----1,

XZXZXZ

因为x>0,z>0,所以三+.-1。21「.0-1=5,所以？+史上5,

XZVxZxZ

[y=2x

当且仅当,时取等号.

所以上+目的最小值为5.

XZ

故选：B.

7.若函数/（》）=一在x=2时取得极小值，则“X）的极大值为（）

X+Zzx+1

1e3

A.-B.1C.—D.e

e8

【答案】D

【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表,

3

可得答案.

叫/+e-2"+1-可

【详解】由函数上）="不，求导可得/'（无）=

由题意可得/'(2)=0,贝!)4+29-2)+1-6=0,解得6=一1,

贝！I-—x+l=[x-；]+\>0,

所以/（力=

—X+1

x2X

、e(x-3x+2)Q(X-1)(X-2)/、

令八)皿解得I或2,

可得下表:

X(-双1)1（L2）2（2,+8）

f'(x)+0-0+

/(x)/极大值/极小值/

i

则函数的极大值为/（1）=比e工=e.

故选：D.

8.设椭圆立《+，=19＞。＞0）的左右焦点为月，月，右顶点为人，己知点?在椭圆£上，若/片尸尸:i=90。,

/尸/乙=45°,则椭圆的离心率为（）

A.73-1B.如C.V2-1D.1

37

【答案】A

【分析】利用已知条件求出P点坐标，代入|尸胤•|叫|=2/-2°2中形成齐次方程，解出离心率即可.

【详解】

4

如图：由题意不妨设P（xi，yj在第一象限，知|尸国+|尸阊=2。①,

因为/片尸乙=90。，所以|尸邪R尸£『=4廿②，

所以（|%+|尸闾）y附「+K|2）=2阀H尸闾=4.2一4c2,

则附H*=2/_2C2,S.\OP\=C,即x；+y；=c2,

又由NP4月=45。，所以|也|=|尸〃|=必，又|。叫=可，即玉+%=°,

结合S码%=〃解得再=竺二左，%=匕,

CC

代入］+\=1（"6>0）中，整理得一2ac+2/-c2=0,

即,+26-2=0,解得e=6+l（舍）或6=百-1.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、科技创新类、体艺特长类三种类型的校本课程，

每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1,并用分层随机抽样

的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（）

图1图2

A.满意度调查中抽取的样本容量为5000

B.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250

C.该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875

D.若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30,贝g=70

【答案】BC

5

【分析】根据满意率调查图表即可判断A选项，根据扇形统计图计算即可判断B选项，根据题意计算即可

判断C选项，列出方程即可判断D选项.

【详解】满意率调查中抽取的样本容量为5000x2%=100,A错误；

由扇形统计图知1-35%-40%=25%,

则5000x25%=1250人，B正确；

该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为5000x35%x50%=875人，C正确；

抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30,

贝！|100x40%xa%=30,贝!)0=75,D错误.

故选：BC.

10.定义在R上的偶函数/(x),满足/(x+2)-〃x)=/(l),则()

A./(1)=0B./(l-x)+/(l+x)=0

20

c./(l+2x)=/(l-2x)D.口⑶=10

i=l

【答案】AC

[分析]利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得f{x+2)-/(-x)=0、"x+1)-/(I-x)=0判断B、

C；根据函数的性质，举反例/'(x)=0判断D.

【详解】由/(x+2)-/(x)=/(l),令x=-l,贝!⑴=

又/(x)为偶函数，贝！⑴=/■(-1)=0,A对；

由上，得了(x+2)-/(x)=0n/(x+2)-/(T)=0①，

在①式，将x-1代换X,得/(x+l)-/(l-x)=0②，B错；

在②式,将②代换工,得/(2x+l)-/(l-2x)=0n/(2x+l)=/(l-2x),C对；

由/(x+2)=/(x)且/(x+l)=/(l-x),即〃x)周期为2且关于x=l对称，

20

显然〃x)=0是满足题设的一个函数，此时0,D错.

Z=1

故选：AC

11.已知函数/(x)=sin④x+VJcosGx(@>0),xe[0,7i],对Vxe[0,可都有加且〃x)的零点

有且只有3个.下列选项中正确的有()

A.M+m=0

B.0的取值范围为何,1]

6

C.使/(x0)=M的％有且只有2个

D.方程/(%)=百的所有根之和为64

【答案】AC

【分析】/(x)=sinox+VJcosox=2sinOx+：),始终把。工+?看做一个整体，借助正弦函数的图象、最

值、方程的根来对选项逐一分析即可.

【详解】/(x)=sin<yx+V3COS6>X=2sin(6?x+y),令t=3x+%,贝!|y=2sin，，

令f(x)=0,即sin1=。,

兀7171

•/xe[0,7i],:.t=cox+—e—,0)71+—

333

则/(x)在［0,兀］上有3个零点,

JT

贝(|3兀<%max<4兀,即3兀(①兀+]<4兀,

O11

解得故B错误；

33

「八]兀兀兀

,/xG0,71,a)x+—e—，。兀+一,

L」3[33」

贝!]M=2,m=-2,所以/+加=0,故A正确;

若/(%)=/=2,即sin(0x()+$=1，

或0Xo+g=芳，故C正确；

/(O)=V3,且/(x)的零点有且只有3个,

所以方程〃x)=百有四个根，从小到大分别为0,西,9,马.

/(x)=百，即sin/=-^-,

兀2兀兀7兀718兀

则t[=CDX+—=+=

X—^2=叽~不/3=%+—=T

14兀

贝!］69(0+演+々+/)=一~一,

故0+不+乙+退=娱，即方程/(力=后的所有根之和为曹，故D错误.

故选：AC.

7

【点睛】方法点睛：解决。的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住。的大致范围，如本题B选项，

具体方法为：

(1)根据x的范围，求出。x+夕的范围；

(2)把妙+0看成一个整体，即利用换元法，把尸"sin(ox+夕)变成y=Zsinf来降低解决问题的难度，再

借助正弦函数的图象，要使，(x)有3个零点，则+9的最大值就必须在［3兀,4%)之间，列出不等式即可求

出。的取值范围.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知平面向量5满足“=忖=［一4=2,则£.彼=.

【答案】2

【分析】根据向量的模长结合数量积的运算即可得数量积.

【详解】因为忖=忖=『词=2,

所以，一回匕4,则不一2晨5+庐=4-2落8+4=4，解得ZZ=2.

故答案为：2.

13.已知直线＞=依与曲线〃x)=J相切，则实数。的值为.

2

【答案】-e

4

【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出。的值.

e"°

o—，

8.%

由=£得，/，(无)=史?2,故切线斜率a=e"?_l)

由直线歹="可知切线过(0,0),故〃=

8

,••与=e'"（x；T）,解得々=2,

%0XQ

e2

故答案为：

4

14.已知抛物线j?=2px（p>0）上的点以2,%,）到焦点F的距离为4,过点/作直线/交抛物线于48两点，

延长网交准线于点C,48两点在准线上的射影分别为WN,若忸C|=2怛N|,则的面积

为.

【答案】1673

【分析】借助焦半径公式可得0，借助抛物线定义与相似三角形的性质计算可得|“河|=|/刊=8,结合三角

形面积公式即可得解.

【详解】由抛物线J=2px（p>0）过点P（2,%）,且|尸尸|=4,

得2+5=4,;.p=4,尸（2,0）,准线方程为尤=-2,

如图.因为忸C|=2怛N|,所以4CN=30。,所以NCW=60°,

连接尸又|/闾=|/刊，所以△/尸N为等边三角形，

因为忸N卜忸尸I，所以忸C|=2忸尸I，得一=制=1，

4CrJ

o

得即=|5F|=|,所以C|+忸典=3忸尸|=8,

由=8=l_~।=—r~r,解得函=|/尸|=8,

\AM\CA|CF|+|^F|8+|/叫'1111

所以&.=:/刊加作出60。=1*82X。=1/.

故答案为：16行.

9

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助相似三角形的性质，得到系列等式，以解出|/M|、\AF\.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）设数列｛4,｝是首项为1的等比数列，已知％,g+g，4%成等差数列，数列｛"｝满足”=学.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

（2）记S,和7；分别为数列｛4｝和也｝的前〃项和，证明：Tn<Sn.

【答案】⑴。广（；产,b,=3

（2）证明见解析

【分析】（D设｛6｝的公比为q（q/O）,利用等比数列的基本量运算代入计算求出4即得；

（2）利用等比数列求和公式计算S”，利用错位相减法计算运用作差法比较两者即得证.

【详解】（1）因为｛%｝是首项为1的等比数列且％,«2+1,4%成等差数列，设｛%｝的公比为q（q/O）,

由2（%+；）=%+4%，可得2（q+g）=l+4/，解得：夕=；或g=°（舍去）.

(2)由(1)可得S“=

2

数列侬｝的前〃项和小，j堂2+…+n会—1=+n已①

ri1.12n-\n

贝！=瓦+声+…++声•②

由①-②得H+J+J+T：n

~TX

10

（2"）2"+12向，

即（=2一号•

由=2一-2"-一2（1-吩）=初一-7=一^"<0，

可得看<、，得证.

16.（15分）已知V/5C为等边三角形，△48。为等腰直角三角形，ABLBD,平面NBC_L平面48。，平

面四边形C3DB中，CE=-BD,CE//平面，点尸为ND中点，连接E7L

2

（1）求证：平面/££>_1平面48。；

⑵求二面角C-/E-D的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）巫

4

【分析】（1）取NB的中点O,连接OR。。，可证CO,平面进而证明四边形。也C是平行四边形,

从而可证结论成立.

（2）以O为坐标原点，分别以。4。。,。尸所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.不妨设正V/5C的边长

为2,求出相关点的的坐标，求出平面ZEC的法向量，平面NED的法向量，取法向量的方向一进一出，利

用空间向量的公式求解即可.

【详解】（D取的中点。，连接0KoC,

11

又因V/BC为等边三角形，所以CO「3,

又因为面48C_L平面48。，ABCAABD=AB,

COu面4BC,所以CO_L平面48。，

又因为CE//平面N8D,CEu平面CBDE,平面Pl平面=8。，

所以CE//BD,

又点尸为4D中点，所以OF//BD且OF=!BD,又CE=”D,

所以。F//EC,OF=EC,所以四边形OFEC是平行四边形，

所以CO//EF,所以所_L平面跖＜=平面/£。，

所以平面AED1平面ABD；

(2)由(1)可知CO_L平面480,OFu平面4RD,所以COJ_。尸，

又因为/8_L2。，OF//BD,所以。尸_L5D,

以。为坐标原点，分别以。4OC,OF所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则0(0,0,0),A(l,0,0),C(0,G,0),E(0,V3,l),D(-l,0,2),

AC=(-1,V3,0),AE(-1,V3,l),AD(-2,0,2),

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),

ri'AC=—x+V3y=0,A「

贝!I—L,不妨令y=G，贝！JX=3,2=0,

nAE=-x+N3y+z=0

所以平面AEC的法向量为3=(3,6,0),

设平面AED的法向量£=(a,6,c),

12

mAD=—2a+2c=0

则初次=p+A+c=O不妨令c=L则a=l/=O,

所以平面AEC的法向量为m=(1,0,1),

mn3V6

所以COS“丽=运石天

所求二面角C-AE-D的正弦值为J_(一生=乎.

17.(15分)重庆市高考数学自2024年起第9至11题为多选题，每道题共4个选项，正确选项为两个或三个,

其评分标准是:每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个

正确选项得3分;若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分)，错选或

不选得0分.现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试.

(1)假设第9题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求

甲同学第9题得0分的概率；

(2)已知第10题乙同学能正确的判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选

了两个选项;第11题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项.若第10题和11题正确选项是

两个和三个的概率都为:.求乙同学第10题和11题得分总和X的分布列及数学期望.

2

【答案】(1《3

(2)分布列见解析，期望为；9

【分析】(1)设四个选项分别为4瓦。,。，其中错误选项为D,列举法进行求解；

(2)设出事件，得到第10题乙同学得0,4,6分的概率，第11题乙同学得0,2,3分的概率，第10,11题得分总

和X的可能取值为0,2,3,4,6,7,8,9,用独立事件概率乘法公式得到相应的概率，从而求出分布列和数学期

望.

【详解】(D假设四个选项分别为4伉C,。，其中错误选项为。，

总的选法共有10种，分别为4B,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,

其中得。分的选法为工。，8。，C。,4324CD,，共6种，

故甲同学得0分的概率为《=|;

(2)第10题乙同学三个选项中随机猜选两项，用4,4,4分别表示第1。题乙同学得。，4,6分，

13

第11题乙同学四个选项中随机猜选一项，用为，鸟,鸟分别表示第11题乙同学得0,2,3分,

贝11尸（4）=：1普。代+京101=9尸（4）=1；x0+；1xi=；1，m）=17C>2y1xo=1^

2C3252222C32o

1r1J_C]__3_m）=|xo4-|=|ir1iL

/（力差+产㈤=5百+”

2'c[-84

从而第10,11题得分总和X的可能取值为0,2,3,4,6,7,8,9,

131131

P^X=0）=P（AQB（））=-X-=-9P（X=2）=P（AQB2）=-X-=-9

iii133

（）（）

P（X=3）=P（A0Bi）=-x-=—,PX=4=PAAB0=-X-=—,

13131

P^X=6]=P（A4B2+A6B0）=-X-+-X-=-）

P（X=7）=P（483）=gx；=：,P（X=8）=P（452）=1X|=^,

尸（X=9）=P（483）=：X；=[,

18.（17分）已知函数/（x）=ax2-l+21nx.

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)当a=l时，若存不、%在，满足/(占)=一/(%),证明：X1+X2>2;

7

(3)对任意的x>0,/'卜)4犹2，+成-1恒成立，其中/'(尤)是函数“X)的导数，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)(3]

【分析】(D求导[(x)=2ax+2=2("2+l),分。20,。<0讨论求解；

XX

14

（2）由（1）知〃x）在（0,+e）上单调递增，转化为证明网+%>2,然后利用极值点偏移证明;

（3）将问题转化为aW-2'-（欣+1）求解;

2%

【详解】（D解：〃尤）的定义域为（0,+e）,/（x）=2ax+2=2（O

当〃20时，r（x）>0,/（X）在（0,+功上单调递增;

当4<0时,令/''(x)=0,

当xe时，/,（x）>0；当xer(x)<o,

所以/（x）在上单调递减.

综上,当时,〃上在（0,+e）上单调递增;

当q〈0时,/（X）在上单调递减.

(2)当°=1时，/(X)=X2-1+21IU,/(1)=0,

由（1）知”1时,"X）在（0,+司上单调递增,

当再。入2时，可证再+工2>2.

不妨设要证%+%2>2,即证即证/（%2）>〃2-再），

因为/（5）=一/（%），所以即证/■（占）+/（2-玉）<0.

令g（x）=/（尤）+/（2-尤），其中0<x<l,

224(1)3

g'(x)=/'(x)+/'(2_x)=2x+——2(2-%)---

x2—xx(x-2)

因为0<x<l,所以。⑺>0,所以g（x）在（0J）上单调递增，

所以g（x）wg⑴=0,所以〃再）+/（2—再）<。,所以西+%>2.

当王=/时，因为/（%）=一/（%2）,所以/（%）=/（马）=0,

所以%=%=1,所以占+%=2.

15

综上，x,+x2>2.

2?

(3)/'(x)=2〃xd—,由/'(x)Wxe2'd---Inx—1,得2axKxe?"-Inx-1,

即心泥八一(山+1),所以对任意的x>0,/'(》)4疣2工+2_11«-1恒成立,

2xx

xe2x-(inx+1)

等价于

2x

人/、xe2x-(lnx+1)

令g(x)=——[_!(x>0),

令/7(%)=2//+向，则〃(x)=4xe2x(l+x)+』>0,所以,(x)在(0,+e)上单调递增,

又〃(j=£_21n2<0,A(l)=2e2>0,所以“(£|"1)<0,

所以存在％eg,1],使得"％)=0,

2xo

所以2春2”。+lnx0=0,即-lnx0=2xle,所以In(-lnx0)=ln2+21nx0+2x0,

所以In(-皿)+(-liu0)=ln2x0+2x0,

令/(x)=lnx+x(x>0),Zr(x)=—+l>0,所以/(x)在(0,+动上单调递增,

因为/(—lm：o)=/(2xo),所以—In%。=2%

又xw(O,Xo)时，g'(x)<°；工£(%0，+°°)时，g'(x)>0,

所以g（%）在（0,/）上单调递减，g（x）在（％,+8）上单调递增,

所以gG）.=g伉）=娟；皿-1=x°e：+2%-1=],

2x02x0

所以aVI,所以。的取值范围是（，》川.

19.（17分）在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离之和相等，则

22

称/为多边形的一条“等线”.双曲线E:会-==1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为片、F2,其离心率为2,

且点尸为双曲线E右支上一动点，直线加与曲线E相切于点尸，且与E的渐近线交于A、3两点，且点A在

16

f2

点3上方.当轴时，直线＞=1为△尸片片的等线.已知双曲线£:V会=1(。＞0力＞0)在其上一点

P(%,%)处的切线方程为平-罟=1.

ab

(1)求双曲线E的方程；

⑵若y=缶是四边形AFXBF2的等线，求四边形AFXBF2的面积；

―.1—.

(3)已知。为坐标原点