2025高考数学二轮复习：集合与常用逻辑用语、复数（专项训练）解析版

2025二轮复习专项精练1

集合与常用逻辑用语、复数

【真题精练】

一、单选题

1.(2024•全国•高考真题)设向量2=(x+l,x),5=(x,2),则()

A."%=-3"是的必要条件B."x=-3"是"3/区”的必要条件

C."x=O"是"打夕的充分条件D."工=-1+6"是"日/而"的充分条件

2.(2024•全国•高考真题)己知集合4={1,2,3,4,5,9},8=同«€4},则务(Ac3)=

()

A.{1,4,9)B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

3.(2024,全国•高考真题)已知命题p：VxGR»\x+l\>l；命题q：3x>0>x3=xf贝I

()

A.〃和4都是真命题B.r7和9都是真命题

C.p和都是真命题D.都是真命题

4.(2024•全国•高考真题)若z=5+i,贝1ji(z+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

5.(2024•全国,高考真题)已知z=—1—i,则忖=()

A.0B.1C.aD.2

6.(2023•全国•高考真题)设甲：sin2a+sin2/3=1,乙：sino+cos/=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条

件

7.(2023•全国•高考真题)设全集U=Z，集合

M={x\x=3k+l,kZ},N={x\x=3k+2,k^Z},加(MuN)=()

A.{x|x=3A:,Z:eZ}B.{x\x=3k-l,keZ}

C.{x\x=3k-2,k^Z}D.0

8.（2023•全国•高考真题）已知等差数列{q}的公差为与，集合S=kos4j”eN*},若

S={〃,》},则次?=（）

11

A.-1B.-C.0D.一

22

9.（2023•全国•高考真题）设集合U=H,集合M={x|x<l},N={x[-l<x<2},贝|

{x|x>2}=（）

A.6（MUN）B.NU①M

C.6（“nN）D.

10.（2023・全国・高考真题）记S"为数列{凡}的前〃项和，设甲：{凡}为等差数列；乙:

{1}为等差数列，则（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

11.（2023•全国•高考真题）设集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2},若贝=

（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3

12.（2023・全国•IWJ考真题）设a£万）=2,,贝！］。=（）

A.-1B.0C.1D.2

13.（2。23.全国.高考真题）设z:，则:=（）

A.l-2iB.l+2ic.2-iD.2+i

14.（2023•全国,高考真题）在复平面内，（1+30（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1-i

15.（2023•全国•高考真题）已知z=——；-9贝!I2-Z=（）

A.-iB.iC.0D.1

参考答案:

题号12345678910

答案CDBACBABAC

题号1112131415

答案BCBAA

1.C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当时，则£0=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得X=O或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(1,0),^=(0,2),故£.「=(),

所以即充分性成立，故c正确；

对B,当Z/4时，则2(x+l)=Y,解得X=1土石，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+6时，不满足2(x+l)=Y,所以Z/4不成立，即充分性不立，故D错

误.

故选：C.

2.D

【分析】由集合B的定义求出B,结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为A={1,2,3,4,5,9},B=NJ7CA},所以8={1,4,9,16,25,81},

则an8={L4,9},。(AC3)={2,3,5}

故选：D

3.B

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=T、x=l,再结合命题及其否定的真假性相反

即可得解.

【详解】对于P而言，取x=-L则有|x+[=0<l,故P是假命题，M是真命题，

对于4而言，取X=l,则有％3=]3=I=X,故4是真命题，r是假命题，

综上，M和q都是真命题.

故选：B.

4.A

【分析】结合共辗复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z=5+i=N=5-i,z+N=l。，则i(N+z)=10i.

故选：A

5.C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若Z=T-i,则忖=J(一以+(一吁=垃.

故选：C.

6.B

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

TT

【详解】当sin?c+sin?/?=1时，例如a=$,夕=0但sina+cos£N。，

即sin2a+sin2P=\推不出sin<z+cos/=0；

当sina+cos/=0时，sin2a+sin2=(-cos>0)2+sin2£=1,

即5由(/+8$〃=0能推出$1112£+5也2刀=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

7.A

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集Z={x|x=3匕左eZ}U{x|x=3左+l,A;eZ}U{x|x=3左+2,左eZ},

U=Z,所以，6(〃UN)={X|X=3左次eZ}.

故选：A.

8.B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个

元素分析、推理作答.

【详解】依题意，等差数列{%}中，胃2冗=?271+(%_?2冗),

显然函数y=COS[}~〃+(Q11)]的周期为3,而几eN*,即COS4〃最多3个不同取值，又

{cosa〃I几£N*}={。,。},

贝!J在cosa】,cosa2,cosa3中,cosa{=cosa2wcosa3或cosaxwcosa2=cosa3或

cos%=cosa3wcosa2

27r4TE

于是有cos0-cos(6+—)或cos0=cos(6+—)

27r7T

即有。+(。+彳)=2E,左eZ,解得(9=E-§,%eZ：

4.ir2冗

或者6+(6+-^-)=2^71,kGz,解得e=E—一—Gz；

LLt、J1/1兀、r/1兀、4jr7TJ217T1__P，

所以正Z,ab=COS(ATI--)cos[(A7i一])+-J=一cos(7E--)cosATI=-COSKJICOS-=--

而=cos（E一年）cos左兀=一；

故选：B

9.A

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x|x22}即可.

【详解】由题意可得MUN={x|x<2},则e（MUN）={x|x»2},选项A正确;

^M={x\x>\\,则NUe/={x|x>T}，选项B错误；

”nN={x~l<x<l},则e（McN）={x|xW—l或1},选项C错误；

4N={x|xV-l或xN2},则MUeN={x|x<l或xN2},选项D错误;

故选：A.

10.C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前"项和与第”

项的关系推理判断作答.，

【详解】方法1,甲：{5}为等差数列，设其首项为q,公差为d,

则Sn=nai+^^d,^=的+^d=47i+ai显一包=色,

7112n12212n+ln2

q

因此｛基｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：｛&｝为等差数列，即鹫一曰=%滞户=嘿膏为常数，设为/，

〃TITX7TTl\Tti_LJ7T(7T十Xj

l,na

即"黑：1；"=则％=n+!-t-n(n+1),有SnT=(n-l)an-t-n(n-l),n>2,

两式相减得：an=nan+1—(n—l)an—2tn,即%i+i—an=23对〃=1也成立，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛%｝为等差数列，设数列｛%｝的首项％,公差为d,即s“=叫+若3d,

则包=ai+?d=gn+ai—g,因此｛&｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛&｝为等差数列，即空—包=。,包=S1+5—1)0,

"n+1nnK'

即Sn=ns1+n(n-I)D,=(〃-1)$+(〃一1)(〃-2)0,

当〃22时，上两式相减得：Sn-Sn_r=S1+2(n-l)D,当〃=1时，上式成立，

于是%+2(”1)，又%-为=4+2应)-[%+2(〃-1)D]=2D为常数，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

11.B

【分析】根据包含关系分。-2=。和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为A=3,则有：

若4-2=0,解得。=2,止匕时4=｛0,—2｝,B=｛l,0,2｝,不符合题意；

若2a-2=0,解得a=l,此时A=｛0,-1｝,B=｛l,-l,0｝,符合题意；

综上所述：a=l.

故选：B.

12.C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详角星】因为(a+i/l—ai)=a_Q2i+i+〃=2a+0_〃2)i=2,

2Q=2

所以-2=0,解得：a=1-

故选：c.

13.B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共辗复数的定义确定其共轨复数即可.

2+i2+ii(2+i)2i-l

【详解】由题意可得z==1—2i,

l+i2+i51-1+i-1

则5=1+2i.

故选：B.

14.A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3—i）=3+8i—土2=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

15.A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共轨复数的概念得到一从而解出.

1-i-2i1,-1_

［详解］因为z=-------=­：-----7；-----\-二—i，所以z=_i,即z—z=T.

2+2i2（l+i）（l-i）422

故选：A.

【模拟精练】

一、单选题

1.（2024•河南新乡•三模）下列集合中有无数个元素的是（）

A.卜eN^eN,B.|X€Z||SN|C.|xeN||ezjD.|xeQ||eNj

2.（2024•河南•二模）已知集合用={xeZ|aWxW2a-l},若集合M有15个真子集，则实

数”的取值范围为（）

9n11

A.[4,6)B.C.5

2'TrrrT2

11

D.u{4}

2

3.（2024•广东广州•一模）设集合A={1,3,/},3={l,a+2},若BgA,则0=()

A.2B.1C.-2D.-1

4.（2024•云南昆明•三模）如图，已知集合人={1,2,3,4},8={3,4,5,6},则图中阴影部分

所表示的集合为（）

{3，叫C.{596}D.{345,6}

5.（2024•江苏南京•三模）集合A={X£N|-1<%<4}的子集个数为（)

A.2B.4C.8D.16

6.（2024•重庆•三模）已知集合4={%|工2_1=0},集合5={。+1,夕-1,3},若AqB,则

4=()

A.-1B.0C.1D.2

x|x=m+1,mezl,

7.（24-25高一上•上海•随堂练习）已知集合加=

N={x|x='!一；,〃ez},P=x\x=^-+-,peZ,则/、N、尸的关系满足（）.

26

A.M=NuPB.MuN=P

C.MuNuPD.NuPuM

8.（2024・广东•一模）已知集合4={无}=坨（3-尤）},B=,则=

(

A.(—8,3]B.(—8,3)C.[0,3]D.[0,3)

9.（2023・广东深圳•一模）满足等式{（M}uX={xeR-=无}的集合x共有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.(2024•天津北辰•三模)已知集合。={-2,-1,0,1,2},"={-2,2},

A^=(x|-l<x<l,xeN),贝i](dM)cN=()

A.{-1,0,1}B.[-1,1]C.{0,1}D.[0,1]

11.(2024•辽宁沈阳一模)己知集合"={1,2,4,6,8},集合

M=^x\x2-3x+2=oj,//=|x|x=4a,a&M^j,则e(MuN)=()

A.{6}B.{4,6,8}C.{1,2,4,8}D.{1,2,4,6,8}

12.（2024•江苏•一模）已知全集U与集合A,8的关系如图，则图中阴影部分所表示的集

C.8c即AD.BU乐A

13.（23-24高三上•北京丰台•期末）已知海是两个不共线的单位向量，向量建龙+

（4〃eR）.”2>0,且〃>0"是*（£+5）>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.（2022•山东淄博•一模）若向量£=（〃53）石=（3,1）,贝广相<1"是"向量二,♦的夹角为钝

角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2024•浙江宁波•二模）已知平面a,/?,7,ac£=/,则"/_Ly"是"a"Ly且二工y”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

16.（24-25高一上,江苏南京•阶段练习）已知命题p：上飞[0,3],“=-/+2》：命题

4：心€[-1,2],£+依一8工0.若「为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（）

A.[-3,1]B.(-oo,2]

C.[-7,-3)U(1,2]D.(a,—3)|J(l,2]

17.(2024•湖北武汉•模拟预测)若命题Woe[l,3],加+(a-2)x-2>0”是假命题，则x不

能等于()

c2

A.-1B.0C.1D.-

3

18.(2024•广东中山•模拟预测)命题"*>0,/>丁”的否定是()

A.\/x>0,x2>x3B.X/x>0,x2<x3

C.Vx<0,x2<x3D.Bx>0,x2<x3

19.(2023・湖北武汉•二模)若复数总是纯虚数，则实数()

2+1

3322

A.——B.-C.——D.-

2233

20.(2024•湖北•二模)已知复平面内坐标原点为。，复数z对应点Z,z满足

z(4-3i)=3+4i,则"=()

43

A.-B.-C.1D.2

54

17

21.(2024•辽宁沈阳一模)设复数z满足]二=」，则|z|=()

1-z

A.iB.—C.1D.J2

2

22.(23-24高三上•湖南•阶段练习)设复数z满足|z-2i|=VLz在复平面内对应的点为

(%,y),则()

A.(x-2)2+y2=V3B.x2+(y-2)2=^/3

C.x2+(y-2)2=3D.x2+(y+2)2=3

23.(2024・广东深圳•一模)己知i为虚数单位，若z=3,则zS=()

1+1

A.72B.2C.-2iD.2i

24.(23-24高三上•湖北黄冈•期中)复数j的共轨复数是()

1-2

A.2+iB.-2+i

C.-2-iD.2-i

25.(2023•河南•模拟预测)已知加，〃为实数，1-i(i为虚数单位)是关于1的方程

/—如+〃=0的一个根，贝1］利+〃=()

A.0B.1C.2D.4

参考答案:

题号12345678910

答案DDAADBBDDc

题号11121314151617181920

答案AAABCCCBAC

题号2122232425

答案CCBBD

1.D

【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.

4xeN||Nl={l,2,4},故A错误;

【详解】对于A,因为一EN,XGN,则X=1,2,4,e

%

4

对于B,因为一cN,xeZ,则x=l,2,4,

x

所以卜eZ《eN}={l,2,4},故B错误；

4xeN||zU{l,2,4},故C错误;

对于C,xeN,—eZ,所以e

x

对于D,XEQ|-GN有无数个元素.故D正确.

故选：D.

2.D

【分析】根据真子集的定义，推断出集合M含有4个元素，即不等式的解集

中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数。的取值范围.

【详解】若集合M有15个真子集，则M中含有4个元素，

结合M={xeZ|aWxW2a-l},可知a<2a-l,即a>l,且区间［a,2a-l］中含有4个整

数，

①当l<a<4时，的区间长度2a-l-a=a-1<3,此时［a,2a-l］中不可能含有4

个整数；

②当a=4时，⑸2a-1］=［4,7］,其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；

③当°>4时，的区间长度大于3,

⑴若国,2"1］的区间长度a-le(3,4),即4<a<5.

若2〃-1是整数,则区间中含有4个整数，根据2a—147⑼,可知2〃-1=8,

9

〃=—,

2

此时其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意.

若2a-l不是整数，则区间中含有5、6、7、8这4个整数，则必须4<"5且

9

8<2。一1<9,解得一<。<5；

2

(ii)若。=5时，口,20-1]=[5,9],其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；

(选)当a>5时，⑸2。-1]的区间长度。一1>4,此时⑸2"-1]中只能含有6、7、8、9这4

个整数，

故2a—1<10,即—,结合。>5可得5<。<—,

22

Q11Q1|

综上所述，。=4或或5<”;，即实数0的取值范围是亨5)55,£)口{4}.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得。>1,且区间国,2。-1]中含有4个整数，结合

区间长度即可对。讨论求解.

3.A

【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.

【详解】由4={1,3,/},得/wi，即4工±1,此时a+2wl,a+2w3,

由3=得q2=a+2,而aw—1,所以a=2.

故选：A

4.A

【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.

【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：卜«€4且了比耳，即{1,2}.

故选：A.

5.D

【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.

【详解】由题意，得4={0,123},故集合A子集个数为24=16个.

故选：D.

6.B

【分析】利用子集的概念求解.

【详解】集合A={集炉一1=0}={-1,1},集合B={a+l,a—1,3},

(a+1=1

若又a+l>a-l,所以〈..,解得〃=0.

[〃-1=一1

故选：B

7.B

【分析】先将集合〃,N,P化简变形成统一形式，然后分析判断即可.

【详解】因为“={x卜=机+',机wz16m+1J[3x2m+l7

x=-----,meZy=<xx=--------,meZ

6JI6.

nez|=\xx=^^,keZ

fI6.

P=M—+3peZ1卜T'pez}

所以MuN=P.

故选：B.

8.D

【分析】通过计算函数y=lg(3-X)定义域求出集合A,计算函数y=J-2+6x值域求出

集合3,最后通过交集运算即可求解.

【详解】由4={.3=炮(3-必，有3-x>0,即x<3,所以A=(Y,3)；

由3={丫1=/_f+6彳}令,=_尤2+6元,根据二次函数的性质有三=9,

所以re(e,9],又因为y=J—f+6x，所以”[0,3],B=[O,3]；

所以4口3=[。,3).

故选：D

9.D

【分析】根据方程d=x的实数根可得集合，贝I]{0,1}UX={0,1,-1},由集合的并集与元素

的关系即可得符合条件的所有集合X.

【详解】解：方程》3=天的实数根有x=0,x=l,x=-l,解集构成的集合为{0』,-1},

即{0,1}UX={0,1,—1},则符合该等式的集合乂为乂={-1},X={-1,1},X={O,T},

X={0,1-1},

故这样的集合X共有4个.

故选：D.

10.C

【分析】

由已知求解化简集合N后再由交集运算得答案.

【详解】

回集合U={—2,—1,0,1,2},M={-2,2},

0()cN={0,l}.

故选：C.

11.A

【分析】根据集合的交并补即可求解.

【详解】由题知M={1,2},N={4,8},；4("UN)={6},

故选：A.

12.A

【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.

【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合3中，所以所求集合为人口①2

故选：A

13.A

【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.

【详解】当之＞0,且〃＞。时，

0(〃+石)=(而+〃石)•(〃+石)=4)+(4+4)Q.B+病=%+"+(%+4)COS(I,5)

＞4+〃-(4+")=0,充分性满足；

当c•(〃+B)>0时,

C・(Q+B)=X+〃+(4+〃)COS,5),当4>0,〃=0时，

c.(Q+Z?)=2+4cos(a,Z?)是可以大于零的，

即当".(£+&>()时，可能有4>0,4=0,必要性不满足,

故〃丸＞0,且，＞。〃是"•(£+为＞0〃的充分而不必要条件.

故选：A.

14.B

【分析】根据向量部的夹角为钝角求出机的范围，即可判断〃机＜1〃和〃向量募的夹角为

钝角〃之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】向量£=(和-3)/=(3,1),由向量获的夹角为钝角，

a-b=3m-3<0

即有解得根＜1且?n?9,

mxl^(-3)x3

ii

即"机＜1"不能推出"加＜1且加？9"即"向量a力的夹角为钝角";

11

"向量的夹角为钝角"即"相＜1且〃2?9"能推出

故"加＜1"是"相＜1且"?9”的必要不充分条件，

即"加＜1"是"向量d的夹角为钝角"的必要不充分条件.

故选：B.

15.C

【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线

面垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性.

【详解】由于£口尸=/，所以/ua,/u尸，

若1±7,则,故充分性成立，

若a_17,£_!_/,设。口/=帆，Z?n/=«,

则存在直线au/,使得。j_机，所以。J_a,由于/ua,故。

同理存在直线6u7,使得。_L”，所以6J_4，由于/u尸，故6_L/,

由于a,b不平行，所以是平面7内两条相交直线，所以/，人故必要性成立，

故选：C

16.C

【分析】由命题。与xe[0,3],a=-/+2x为假命题，贝U“=一/+2》在xe[0,3]上无解，即

y=a与>=—£+2%,xe[0,3]函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题

「..9[1—〃—8工0

4：也4-1,2],d+奴一8<0为真命题，则4+2“8<0'求出参数求交集即可.

【详解】命题P：*e[0,3],4=-/+2x为假命题，

a=-无2+2x在xe[0,3]上无解，

即y=4与y=—f+2x,xe[o,3]函数图象没有交点，

由图可知：a>l或。<一3,