2025高考数学冲刺模拟卷（解析版）

备战2025年高考数学模拟卷（新题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.设全集U=R,集合4={小2-彳-2>0},3={巾21},贝1］匾4）门3=（）

A.{x|lVxV2}B.{x|l<xV2}C.{x|x>2}D.{x|lVx<2}

【答案】A

［解析］4={目/_尤_2>0}={无%>2或％<-1},

^A={x|-l<x<2）,故应4）门8=何_1。《2}门{也21}={曲。<2}.故选：A

2.抛物线=/过点（2,1）,则「的准线方程为（）

A.x=lB.y=—lC.x=—2D.y=-2

【答案】B

【解析】把点（2,1）代入抛物线方程、="2,得1=4°,解得。=；,

所以抛物线方程为d=4y,准线方程为y=T.故选：B.

3.已知一组数据：12,16,22,24,25,31,33,35,45,若去掉12和45,将剩下的数据与原数据相比，

则（）

A.极差不变B.平均数不变C.方差不变D.上四分位数不变

【答案】D

【解析】在这组数据：12,16,22,24,25,31,33,35,45中去掉12和45后，

得到16,22,24,25,31,33,35,

显然极差由45-12=33变成了35-16=19,故A项错误；

-1243

原平均数为x=-（12+16+22+24+25+31+33+35+45）=—=27,

现平均数为^=^（16+22+24+25+31+33+35）=皿*27,故B项错误；

原方差为$2=g[12?+162+222+242+252+312+332+352+452-9x272]=,

现方差为s'?=-[162+222+242+252+312+332+352-7x(-)2]=,

7749

显然方差不同，故C项错误；

对于D项，由94=2.25,知原数据的上四分位数是第三个数据22,

又由7十1.75,知现数据的上四分位数是第二个数据22,即D项正确.故迄D.

4.已知向量〃=(1,一1),6=(0/),若Q_L(〃一2B),则cos〈a,B〉=()

A.—B.--C.—D.--

5522

【答案】C

【解析】因为2，（£-2坂），所以那（汗一2后）=同2-2万-5=2+2/=。，得t=-1,所以B=（O,-1）,

a-b1V2....

所以cos〈a,B〉=面面=兀1=方.故选C.

5.已知等差数列｛4｝的首项为1,公差不为0,若在，〃3，〃6成等比数列，则｛为｝的第5项为（）

A.-9B.-7C.-7或1D.一9或1

【答案】B

【解析】设等差数列｛%｝的公差为“dwO）,

因为。2，。3，。6成等比数列，所以

又。1=1,所以（l+2d）2=（l+d）（l+5d）,解得d=—2或d=。（舍），

所以％=1+4x（—2）=—7.故选：B

6.杭州亚运会的成功举行，让世界进一步了解中国，志愿者们的微笑，也温暖了全世界.运动会期间，需

从4位志愿者中选3位安排到AB,C三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中甲不能安排在A岗位，则

不同的安排方法共有（）

A.9种B.12种C.15种D.18种

【答案】D

【解析】方法一：运用分步乘法计数原理，先安排A岗位，再安排B,C岗位，则不同的安排方法共有C；A；=18

（种）.

方法二：运用分类加法计数原理，若甲不入选，有A；=6（种）安排方法；

若甲入选，则有C；A；=12（种）安排方法，所以共有6+12=18（种）不同的安排方法.故选：D.

7.已知在等腰直角三角形ABC中，C4=CB=4,点〃在以C为圆心、2为半径的圆上，贝“加同+；|肱4|的

最小值为()

A.3b2也B.历C.1+2#D.275-1

【答案】B

【解析】如图：建立平面直角坐标系.则4(4,0),3(0,4),取设”(x,y)

又|八叫+|〃£>区忸£>|=jF+不=后.故选:B

8.在边长为4的正三角形A3C中，E,F分别是AB,AC的中点，将△AEF沿着EF翻折至,使

得A3J_尸C,则四棱锥A-3CFE的外接球的表面积是()

A.8兀B.12KC.16KD.32兀

【答案】C

【解析】依题意取BC,E尸的中点为G,H,且G"交班"于点0,

注意到尸是AC的中点，三角形ABC是等边三角形，从而。是三角形A3C的中心，

同时有A'B_LFC,FB1FC,NBcFB=B,A3u面ABb,EBu面ABF,

所以面43尸，而FCu面BCFE,所以平面尸，面3CEE,

故而点H在平面BCFE的投影在BF上面，

注意到三角形AEF与三角形G砂都是边长为2的等边三角形，即三角形AEF与三角形GE5全等,

从而A，H_LEF,GH_LEF,NHcGH=H,A'〃u面AO",G/H面AOH,

所以EF立面A'O",因为AO'u面AOH,所以EFLAO',

因为PC上面43尸，AO'u面AOH,所以CFLAO',

又因为石尸口€：尸=尸，EFu面BCFE,CFu面BCFE,故有A。，面BCFE,

所以AO=yjA'H2-HO2=^（2sin60°）2-^1x|x4sin600

注意到点G是直角三角形BCF斜边上的中点，

所以G是四边形3CFE（或三角形8"）外接圆的圆心

（这是因为义8£尸+/。=120。+60。=180。，从而民CRG四点共圆），

所以四棱锥A-BCFE的外接球的球心O'在与平面BCFE垂直的O'G上，

且底面四边形BCFE外接圆的半径为BG=；BC=2,

设O'到平面BCFE的距离为O'G=/?,过O'作OD，AO于点D,

h

所以O'G?+GC2=0752+402=R2,即/+22=R2=]；x4xsin6oj+^~~

解得h=0,R2=4,这意味着此时点。与点G重合，

四棱锥A-BCFE的外接球的表面积是S=4欣2=16兀.故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z，z?是复数，则下列说法正确的是（）

A.若z：=0,则4=0B.若z：+z；=O,则z=Z2=0

C.忖44|=2]+「4|D.若z；=z；,则团=%|

【答案】ACD

【解析】对于A,z；=0,则|z；|=|z/2=0,解得|z/=0,即4=。，故A正确；

对于B,4=i,Z2=1,满足z；+z；=O,但Z]WZ2，故B错误；

对于C,|Zj-izj|=|z^l-i）|=|l-i||Z[|=A/2|Zj|,

|zj+i-Zj1=1zjl+i）|=|||l+i|=\/2|Zj|,故C正确；

对于D,z；=z；,贝力z：|=|z；|,即即IzHz/,故D正确.故选：ACD.

10.已知函数/（尤）=2cos（0x+o）[o>O,闸的部分图象如图所示，贝！]（）

A.0=2

B./(x)的单调递减区间为［左兀+丘>析+石~｝左£Z

JT

C./(X)的图象可由函数y=2cos2x的图象向右平移g个单位得到

6

D.满足条件《-力［⑴-/图］>0的最小正整数x为2

【答案】ABD

【解析】设函数"X)的周期为T,

313兀713兀2兀

观察函数图象可得，-T=-,所以言=兀，又Q>0,所以。=2,A正确,

41234网

因为工二一兀时，函数/(%)=2cos(3+0)取最大值，(o=2,

所以2xLS+夕=2rmI,机£Z,|^|<—所以展《，故/(X)=2COS12X-£

122

jrjrjr/jr

由2kli<2x——<2fal+兀,左£Z,可得E+—<2x——<kn-\---,kqZ,

612612

所以函数〃X)的单调递减区间为+B正确，

函数y=2cos2x的图象向右平移,个单位得到函数y=2cos12xf的图象，C错误,

因为/(%)=2cosl2x--I,所以/[---I=2cos[-----I=2cosl—+—I=I,

所以U(x)-/[-彳可化为(/(x)-l)/(x)>0,

所以〃x)>l或/(x)<0,

由可得，cos(2_r-£j>g,所以2〃无-1<2x-《<2〃兀+4,77eZ,

EPmt-----<x<〃兀+一,〃£Z,

124

7T7T11715兀

取〃=0可得<x<—,取几=1可得----<%V—,

124124

由〃x)<0可得，cos(2尤一力717T3冗

<0,所以2加+—<2%----<2t7i+——GZ,

262

口n兀5兀~

即抗+―<x<机+——eZ,

36

取f=0可得/<x<V，所以满足条件|y（x）-/[-的最小正整数X为2,D

正确，

故选：ABD.

11.定义在R上的函数〃尤）满足〃2+X）-"2-x）=2x,且函数〃2x+l）关于点（0,3）对称，则下列说法

正确的是（）

A.函数人”的图象关于点（1,3）对称B.4是函数〃尤）的一个周期

99

C./（2023）=2025D.⑺=5150

z=0

【答案】ACD

【解析】••・函数/（2x+l）关于点（0,3）对称,

f（2.x+1）+/（-2x+l）=6,即/（l+x）+/（l-x）=6,

••・函数的图象关于点（1,3）对称，A正确：

•."（2+x）—"2—x）=2x,令x=2,则”4）—〃0）=4工0,.•.〃4）H/（O）,故TH4,B错误：

设g（x）=/（x）-x，

则g（l+x）+g（l-x）=[/（l+x）-（l+x）]+[/（l-x）-（l-x）]=/（l+x）+/（l-x）-2=4,

・•.g（x）的图象关于点（1,2）对称，.•.g（x）=_g（2—x）+4①,

•.■[/（2+x）-（2+x）]-[/（2-x）-（2-x）]=/（2+x）-/（2-x）-2x=0,

・•.g（x）的图象关于直线x=2对称，，ga）=g（4-x）②，

由①②可得：g（4-x）=-g（2-x）+4,则g（2—x）=-g（-x）+4,/.g（4-x）=g（-x）,

，g（x）的一个周期为4,

又可得g（3）=g（l）=2,g（4）=—g（2）+4,即g（4）+g（2）=4,

.-./（2023）=g（2023）+2023=g⑶+2023=g（l）+2023=2025,C正确；

3

・・・-g（i）=g（o）+g⑴+g⑵+g（3）=g（4）+g⑴+g（2）+g（3）=2+2+4=8,

z=0

999999QiOO

••・»（»（』•）+》=25x8+^—xl00=5150,则D正确.故选：ACD.

i=0i=0i=02

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在卜-的展开式中，/的系数为.

【答案】224

7

【解析】因为通项公式为心=厂户=(-V2)rC^24-r,

633

当24—;厂=3即厂=6时，TM=(-V2)C®x=8x28x=224./,

所以/的系数为224,

13.已知直线y-2尤=0与曲线/(x)=x+lnx的某条切线平行，则该切线方程为

【答案］—

【解析】f'(x)=l+~,设切点为(毛,%),则1+工=2,解得％=1,所以切点为(1,1),

xX0

故切线方程为y-l=2(x-l),即y=2x-l.

AD

14.在AABC中，AB=2AC,AD是—A的角平分线，且“IBC的面积为1,当BC最短时，—

【答案T

【解析】记AC=a,ZJBAD=ACAD=0,则e=从而tane>0.

2

因为1=SAABC=g•2〃•a•sin26=asin20,

113

且1=SZA_A4/1DRC<r=SA4Rn+SA4rn=一•2〃•AD•sin。d—a-AD•sin。=一•Q•AD•sin。，

所以品皿2。=1,且4)=一^

3“sm，

22〃2sin284d;2sin^cos^4。八

从而AZ)=---------------------=-----------------=——cose.

34sin63〃sin63asin6-----3

在AABC中，由余弦定理可得：BC2=a2+(2a)1-2-a-2a-cos2^=a2(5—4cos2^)=a_4cos26)

a2sm20

222222

_5-4cos265(cos^+sin^-4(cos^-sin6^^_cos^+9sin^_9tan^+1〉，9tang.~~__3

sin28sin292sin^cos022tan6\tan。

911

当且仅当［tan夕=-―-即tan。=-时取等号.

22tan。3

13

所以当BC取到最小值g时，tan^=-,止匕时cos(9=-^,

所以四=巫

ACa35

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知AABC三个内角AB,C所对的边分别为a,〃,c,且率=笆±

c3b-a

(1)求sin。的值；

(2)若AABC的面积S=50，且c=#(a—与，求AABC的周长.

【答案】（1）sinC=迪；（2）8+276.

3

【解析】（1）由正弦定理可得，cos'=--cosA---,得：3sinBcosC-sinAcosC=cosAsinC.

sinC3sinB-sinA

所以3sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）.

又sin（A+C）=sin（兀一B）=sinB,且sinBwO,所以cosC=；.

由sinC>0,故sinC=Jl-cos2c=.

3

（2）S=-absmC=5y[2,所以a6=15.

2

由余弦定理，0?=/+/一2abcosC=/+廿_1o.

又c?=6（a—b）2=6）—180.联立得：a1+b~=34,c=25/6.

所以。+—=耳+^+2"=8.

故AABC的周长为a+b+c=8+2^.

16.（15分）已知四棱锥P—ABCD中，底面A3CD是矩形，AB=AP=2,BC=PC=应,cosZPCB=1.

（1）求证:平面R4CJ_平面ABCD；

（2）求二面角3-P4-。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）-也.

35

【解析】（1）因为AB=AP=2,BC=PC=&,cosZPCB=1,

PB=VPC2+BC2-2PC-BCcosZPCB=、（2+2-2x72x72x-=友,

V33

作PH_LAC于H,连接

由已知PA=AB,CP-CB,AC=AC得△尸AC也^BAC,

因此△PAC绕AC旋转后点P可与点B重合，因此由尸"_LAC得8"_LAC,PH=BH,

由已知AC=《AB?+BC?=屈，所以Ap2+cp2=Ac2,从而AP_LCP,

所以BH=PH=吆£=空,从而有3"2+尸"2=尸伊，所以PHLBH,

屈3

又BHCAC=H,BH,ACu平面A3CD,所以尸”_L平面ABQ),

又因为P”u平面PAC,所以平面R4C，平面ABCD；

(2)过8作于M,作HNLBC于N,

由⑴得CHNPC-PH。T2T=勺,

由HN_L3C,ABLBC^HNUAB,所以ACHNsACAB,

所以黑=署，所以HNABCH2义当2,同理碗=2徨，

ABCA2一^=二^二③

因此我到边CD的距离为正，H到边AD的距离为:，

33

以ZM为x轴，OC为》轴，过。与直线平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系,

如图，

nA=(V2,0,0),AB=(0,2,0),而=(一述,±

设平面上4。的一个法向量是肩虫小舟4)，

二—_272,4「君厂

则313-131,取4=1得碗=(0，一与,1)

m-DA==0一

设平面A4B的一个法向量是日=(%,%,Z2)，

\-n52724273「

则"7=一亍%+炉+工4=。，取"=五得n=e,0,空),

m-AB=2y2=0

__m-n2>/70

cosm,n=-n-r=

网同35

由图知二面角3-R4-D是钝二面角，所以其余弦值为一出.

17.（15分）已知函数/（x）=ln（l+dx）-2x（〃wO）.

（1）讨论"%）的单调性；

（2）当xe（0,£|时，〃x）＞ln（l-办）恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）[1,+8）

【解析】(1)由/(x)=ln(l+W-2x,得广⑺=七一2,

因为1+依＞0,所以若a＜0,贝心＜」，且/'（x）＜0,所以/（x）在（-巴-口上单调递减.

aycij

若。>0,贝l|x>—,

a

由/耳光）＞°得l+由r（%）＜o得工〉

a2a2a

所以y（x）在上单调递增，在仪,收]上单调递减.

\a2a）V2a）

综上：当a＜0时，在-上单调递减;

当a>0时，/⑺在上单调递增，在上二收]上单调递减.

\a2a)\2aJ

(c,fl+6ZX>0

(2)法t一、由九£0,一,可得〃>0,且1,

Va)[l-av>0

由/⑴>In(1一ax)[0<x<得In(1+一In(1一ax)-2x>0^0<x<—,

设g(x)=ln(l+ax)-ln(l-词-2x[0<x<—|,

aa2/%2+2(7-2

贝l」g'(x)=-------+----------2=7-----77----7

1+ax1—ax+—ax)

当2a—2之0,即〃21时，/（力＞0,

故g(x)在上单调递增，g(x)>lnl-Ini-0=0恒成立，满足题意；

当0<°<1时，由g[x)<0得o<x<迈三，

a

所以当0,又二3时，g(x)单调递减，g(x)<lnl-lnl-0=0,不满足题意，

【a7

综上，实数〃的取值范围是[L+8).

法二、由可得a>0,Q<ax<\,0<l-or<l.

,i-t

设，=1一ax,贝UO</vl,x=——，

a

由/(x)>In(1—ax)[0<x<J得In(1+一In(1一ax)-2x>0^0<x<—,

2-2t

即ln(27)-In%--------->0(0<r<l).

2-2/i(\11222

设g⑺=ln(2_)-In"丁(0<,<1)，则*⑺=口一7+工=77^・

易得0<《27)<1(0</<1),

所以当时，g'(f)<。，g⑺在(。,1)上单调递减，

7-?

所以g⑺>皿2-1)-lnl-~=O恒成立，满足题意.

当0<“<1时，存在使得乂2T0)=a,当fe(分1)时g'⑺>0,g。)单调递增,

2—9

所以当(汨』)时，g⑺<ln(2-1)-Ini--------=0,不满足题意.

综上，实数。的取值范围是

18.(17分)已知T是04：。+1)2+);2=16上的动点(A点是圆心).定点8(1,0),线段的中垂线交直线

TA于点P.

(1)求尸点轨迹:T;

(2)已知直线/的方程尤=4,过点2的直线(不与x轴重合)与曲线「相交于M,N两点，过点M作〃Z)，/,

垂足为D.

①求证：直线ND过定点E,并求出定点E的坐标；

②点。为坐标原点，求△OND面积的最大值.

【答案】⑴《+片=1;⑵①证明见解析，联,。］；②（Svojj?

4312Jmax4

【解析】（1）0A：0+1）2+_/=16的圆心A（-l,0）,半径r=4,

由中垂线的性质得IMHPH,所以|即+|咫=|/科+|尸刀=4>|AB|=2,

所以动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，

22

设该椭圆的方程为=+4=1（。>6>0）,

ab

22

则。=2,c=l,所以6=02=有,所以尸点轨迹「为,+1_=i；

（2）①设直线的方程为％=勿+1,

x=my+1

由</y2，得（3」（m2+4^j；2+6my—9=0（1）

----1-----=1

143

设M（X］，M）,N（%2，%）,O（4J）,显然A=36〉+36（3机2+4）=144（“+1）>0,

.<+%=占'％%=藐匕，且2町%=3（%+%）.

Q=上?，，直线沏的方程为y-%=止?（彳-4）,

x2-4%-4

令y=o,得％=4—"（=4—，（~—-4-—3M

%一,%一乂%一%

将2叫%=3（y+%）代入（2）,

3

贝『42（X+%）F3_5

%一切22

故直线ND过定点［1,oL即定点E

②在（1）中，A=36疗+36（3疗+4）=144（M+1）,

36m23612d府+1

•1%-%|=—I-----=------

222

3m2+4|3m+43m+4

又直线NO过定点E(|,0

__1ickiII_512A/m2+115j〃?2+i

ccOE

•q=S.OED+S"OEN=2'\\"X-%|=4-2

••Q&OND3m+43m2+4

15/15

令2向i，i，贝=口,

又y=3x+上在(1,+动上单调递增，y=上在(。,+⑹上单调递减,

XX

15

所以'二二1在re口，+8)上单调递减，

19.(17分)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直

角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均

为:.例如在1秒末，粒子会等可能地出现在(1,0),(TO),(0,1),(0,T)四点处.

(1)设粒子在第2秒末移动到点(x,y),记x+y的取值