2025版高考数学一轮总复习综合测试卷二

综合测试卷(二)

时间：120分钟分值：150分

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.(2024湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满意/+4i=0,贝Hz|=()

A.4B.2C.A/2D.1

222222

答案B设z=a+bi(a,beR),贝Ijz+4i=(a+bi)+4i=a-b+(2ab+4)i=0,所以a-b=0且

2ab+4=0,解得a=V2,b=-直或a=-点,b=V2,贝U|z|一屋2.故选B.

2.(2024海淀一模,1)已知集合人={1},即{x|x》a}.若AUB=B,则实数a的取值范围是()

A.(-°°,1)B.(-°O,1]

C.(1,+8)D.[1,+8)

答案B由AUB=B，得ACB,从而有aWl,所以实数a的取值范围是(-8,1],故选B.

3.(2024湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学探讨成果，《周髀算经》《九章算术》《海

岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部

专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课

外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为()

A.-B.-C.-D.-

9999

答案A设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事务A,所以P(-)=字^

C109

因此P(A)=1-P(―)=1彳=：.故选A.

22

4.(2024届广州10月调研,5)双曲线C:——工=1的一条渐近线方程为x+2y=0,则C的离心率

为()

A.yB.V3C.2D.V5

答案A由题意得，=—,即a=2b,Xb2=c2-a2,/.5a2=4c2,.*.e=—=y,故选A.

5.(2024广州模拟,5)某学校组织学生参与数学测试,某班成果的频率分布直方图如图,数据

的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人数是35,则该班的学

生人数是()

频率

WE

0.02--------——

0.015-----------------

0.01-----I——

0.005——

020406080100成绩/分

A.45B.50C.55D.60

答案B由频率分布直方图得不低于60分的频率为（0.02+0.015）X20=0.70,二,不低于60

分的人数是35,.♦.该班的学生人数是舒50.故选B.

6.（2024百校大联考（六），9）已知向量a=（3,100）,若入a=（3入，2口）（A,PdR）,则

-=()

A.50B.3C.lD.1

答案C依据题意得"=（3入，10。入）=（3入，2口），所以2『100入，所以一念故选0

7.（2024届江苏省天一中学月考,6）若函数f（x）=sin（4x-#（0W3或在区间",上单

调递增，则实数6的取值范围是（）

A七/B.["]

C-[TJT]D-[i'T]

答案D当xe[o昌时,-<t）W4x-@wqL@.

因为函数丫=$加在昌，5]上单调递增，且函数f（x）=sin（4x-<H（0W在区间[0,9]

上单调递增，

->,

所以得注一；解得看w。吗,所以实数小的取值范围是[看，y].

8.（2024届重庆巴蜀中学11月月考,8）在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E,F,G,H分

别为棱AB,BC,CD,AD的中点，若平面a〃平面EFGH,且平面a与棱AB,BC,B】B分别交于

点P,Q,S,其中点Q是棱BC的中点，则三棱锥B「PQS的体积为（）

答案D

如图所示,取AAi,CQ的中点N,M,连接NH,NE,MG,MF,

由正方体的性质可知,NE〃GM,HG〃EF,HN〃MF,

所以H,G,M,F,E,N六点共面,又因为平面a〃平面EFGH,所以平面PQS//平面HGMFEN,又平面

BBCCA平面PQS=QS,平面BBCCn平面HGMFEN=MF,所以QS〃MF,由M,F,Q为所在棱中点可知

S为BBi的中点，同理可知,P为AB的中点,所以BF=BiQ=BiS=l,且BiP,BQBiS两两垂直,所以

三棱锥B-PQS的体积为v4xix|xixi=1,故选D.

9.(2024八省联考,8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be=4eb,c<3且ce=3ec,贝!J()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

答案D因为aeJ5e&,a<5,所以a>0,同理b〉0,c>0,

令f(x)=J,x〉0,则f'

当0<x〈l时,f'(x)<0,当x>l时,f5(x)>0,

故f(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

因为ae=5ea,故，J即f(5)=f(a),X0<a<5,

故同理可得f(4)=f(b),f(3)=f(c),则0<b<l,0<c<l,

因为f(5)>f⑷>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),

所以0<a<b<c<l,故选D.

10.(2024届宁夏期末,7)“a24”是“二次函数f(x)=x?-ax+a有零点”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A若a\4,则A=a2-4a=a(a-4)20,故方程x^-ax+aR有解，即二次函数f(x)=x?-ax+a

有零点.若二次函数f(xhY-ax+a有零点，则方程x-ax+a=0有解,则A=a2-4a^0,解得a24

或aWO.故“a,4”是“二次函数f(x)=/-ax+a有零点”的充分不必要条件，故选A.

11.(2024届黑龙江模拟，11)关于函数f(x)=cos2x-2%sinxcosx,有下列命题:①对随意

Xi,X2GR,当X1-X2=Jt时,f(Xi)=f(X2)成立;②f(x)在区间卜，引上单调递增;③函数f(x)的

y=2sin2x的图象重合.其中正确的命题是()

A.①②③B.②

C.①③D.①②④

答案Cf(x)=cos2x-2V3sinxcosx=cos2x-V3sin2x=2cos^2+孑).因为x「xz="，所以

f(xi)=2cos(21+y^=2cos[2(2+11)+引=2COS(22+g)=f⑸)，故①正确；当

XG[-1,9时,2x+彳60,n],所以函数f(x)在区间卜看，9上单调递减,故②错

误;f偿)=2cos(2x5+v)=2cos^=0,故③正确;将函数f(x)的图象向左平移等个单位长度

后得到y=2cos[2(+?+力=-2cos(2+：)的图象，易知该图象与函数y=2sin2x的图

象不重合,故④错误.故选C.

12.(2024届北京四中10月月考,10)对于函数y=f(x),若存在x。,使得f(x0)=-f(-x0),则称点

(如£&。))与点(』,£(』))是函数£々)的一对“隐对称点”.若函数

f(x)=[之+:;建:匕的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是()

I十乙,三u

A.[2-2V2,0)B.(-°o,2-2V2]

C.(-8,2+2V2]D.(0,2+2V2]

答案B由“隐对称点”的定义可知,f(x)=[的图象上存在关于原点对称

I十乙，U

的点，设函数g(x)的图象与函数y=x2+2x,x<0的图象关于原点对称.

令x>0,贝卜x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=X2-2X,

所以g(x)=-X2+2X(X>0),

故原问题等价于关于x的方程mx+2=-x2+2x有正根，

故m=-x—+2,

而-x-二+2=-(+二)+2W-2J•—+2=2—2V2,

当且仅当x=方时,取得等号,所以mW2-20,

故实数m的取值范围是(-8,2-2遮]，故选B.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(2024海淀一模,11)已知函数海x)=x'+ax.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率

为2,则实数a的值是.

答案T

解析由题意得(x)=3x2+a,所以f(l)=3+a=2,从而得a=-l.

14.(2024届广西北海模拟，15)函数f(x)=(1+V3tanx)cosx的最小值为.

答案-2

解析f(x)=(1+V3tanx)cosx=cosx+V3sinx=2sin^+看)(#=—+

kJI,Vsin^[-1,1],(x)=2sin(+/)e[-2,2],.,.函数

f(x)=(1+V3tanx)cosx的最小值为-2.

15.(2024北京文，14,5分)若4ABC的面积为手(a,cZ-b?),且/C为钝角，则/B=

的取值范围是.

答案g；(2,+8)

解析依题意有gacsinBuRd+c2-b?)=曰X2accosB,贝!JtanB=a,ZB=y.

sinsin缺-A)」+禽cos1+禽.1

sinsin22sin22tan'

,•*NC为钝角，，彳一NA),

又NA>0,・・・0<NA<3则0<tanA<-,

63

-—故—>；+*><V5=2.

tan22

故一的取值范围为⑵+°°）.

16.（2024四川南充二模,16）设函数f的最大值为M,最小值为N,下述四个结

论:①M+N=4;②M-N±③MN=1C；④一」.其中全部正确结论的序号是.

ee"e+1-----------

答案②③

解析f(x)=l+—设g(x)=—可知g(x)为奇函数,其最大值和最小值互为相反数,

当x>0时，g(x)=—,g(x)

ee

当0<x<l时,g(x)单调递增，当x>l时,g(x)单调递减,

可知x=l时,g(x)取得极大值士也为最大值，由g(x)为奇函数可知，当x〈0时,g(x)的最小值

e

为」,则M=1AN=l-i则M-N=-,M+N=2,.故答案为②③.

eeeeeze-1

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(一)必做题

17.(2024湘豫名校联盟4月联考,17)在4ABC中，已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

bsinA=acos

⑴求B;

⑵若c=5,b=7,求AABC的周长.

解析⑴由bsinA=acos(一高及正弦定理,得sinBsinA=sinAcos(一孑)，

因为sinAWO,所以sinB=cos(-

BPsinB=-ycosB+|sinB,即sin(-y^=0,

由于0<B<兀，所以-犷-9津,所以B-2所以B4.

(2)在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及已知,得a2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍),

故4ABC的周长为a+b+c=8+7+5=20.

18.(2014北京文,17,14分)如图,在三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱垂直于底

面,AB±BC,AAi=AC=2,BC=1,E,F分别是AC,BC的中点.

(1)求证:平面ABE_L平面BiBCCi;

⑵求证:CF〃平面ABE;

⑶求三棱锥E-ABC的体积.

R

解析⑴证明：在三棱柱ABC-AiBiCi中，BB」底面ABC.所以BBi±AB.

又因为AB_LBC,BBmBC=B,

所以AB_L平面BiBCCi.又因为ABc平面ABE,

所以平面ABE_L平面BBC。.

⑵证明:取AB的中点G,连接EG,FG.

因为G,F分别是AB,BC的中点，

所以FG〃AC,且FG=|AC.

因为AC/7A1C1,AC=AiCi,且E为AC的中点，

所以FG〃E3,且FG=EG.

所以四边形FGE3为平行四边形.

所以CF〃EG.

又因为EGu平面ABE,平面ABE,

所以CF〃平面ABE.

(3)因为AAi=AC=2,BC=1,AB±BC,

所以AB=V2-B2=V3.

所以三棱锥E-ABC的体积

V=^SAABC,AAi=§XgXV5X1义2=苧.

19.(2024届山东济宁一中开学考,18)为提高教化教学质量，越来越多的中学学校采纳寄宿

制的封闭管理模式.某校对高一新生是否适应寄宿生活非常关注,从高一新生中随机抽取了

100人,其中男生占总人数的40%,且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活,女生中不适应

寄宿生活的人数占高一新生抽取总人数的32%,学校为了调查学生对寄宿生活适应与否是否

与性别有关,构建了如下2X2列联表：

不适应寄宿生活适应寄宿生活合计

男生

女生

合计

(1)请将2X2列联表补充完整,并推断能否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别

有关；

(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采纳分层随机抽样的方法随机抽取10人，再从

这10人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”的人数为X,求随机变量X

的分布列及数学期望.

(-)2

附：七+)(

+)(+)(+)'

PkPk。)0.150.100.050.0250.010.001

k02.0722.7063.8415.0246.63510.828

解析(1)依据题意填写列联表如下:

不适应寄宿生活适应寄宿生活合计

男生83240

女生322860

合计4060100

0

2100X(8X28-32X32)「「

KTZ=-------------^11.11,

40x60x40x60

因为11.11>6.635,

所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关.

(2)用分层随机抽样的方法随机抽取10人，有2人不适应寄宿生活,8人适应寄宿生活,

所以随机变量X的可能取值是0,1,2,

p(X=o)=全竺p(x=l)/卜以p(x=2)3」

3"C?o45'I"Ddo45'1久"C?o45'

所以随机变量X的分布列为

X012

28161

P

454545

数学期望E(X)=。送+1X自

20.(2024河南尖子生诊断性考试,21)已知函数f(x)=e*-ax2(其中e为自然对数的底数,a为

常数).

(1)若f(x)在(0,+8)上有微小值0,求实数a的值;

(2)若f(x)在(0,+co)上有极大值M,求证:M<a.

解析⑴f'(x)=e*-2ax.设f(xo)=O(x()e(0,+8)),则f，(xo)=O.

由『：尸解得x0=2,a=9

le0-2ao=O,4

22

经检验,满意f(x)在(0,+8)上有微小值,且微小值为0.故a之

⑵证明：设f(x)在(0,+8)上的极大值点为xi,则f'(xi)=0,即ei-2axi=0,则有a=^.

此时M=f(xi)=ei-af.

故M-a=e—af-a=e-a(：+l)=e」(加),，=e1-[1-^(1++)卜0(当且仅当

Xi=l时取等号).

而当xi=l时，a=]f'(x)=e'-ex,f"(x)=e*-e,xG(0,1)时，f"(x)〈0,XG(1,+8)

时,f"(x)〉0.

则f'(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,且f'(1)=0.

则f*(x)*⑴=0,故f(x)在(0,+8)上单调递增,此时f(x)在(0,+8)上无极值.

与已知条件冲突，故XiWl,则M-a<0,即M<a.

22一

21.(2024湖南六校4月联考,21)已知A,B分别为椭圆E:—+—=1(a>V3)的左，右顶点，Q为椭

43

圆E的上顶点,**-1.

⑴求椭圆E的方程；

⑵己知动点P在椭圆E上,定点M(-l,1),N(l,-J.

①求△PMN的面积的最大值；

②若直线MP与NP分别与直线x=3交于C,D两点，问：是否存在点P,使得△PMN与4PCD的面

积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

解析(1)由题意得A(-a,0),B(a,0),Q(0,V3),则-(a,V3),>=(a,"\/3),由

22

―,•一=1,得a-3=l,解得a=2,所以椭圆E的方程为丁+三=1.

⑵①设P（2cos0,V3sin0）,易知直线MN:y=[x,即3x+2y=0,点P到直线MN的距离

16cos誉sin1=4阀si3+到避|MN|=VT3,

V13V1313*11）

则SAPMN--|MNI,dW2V即（SAPMN）max_2A/3«

②设P（x„,y„）,由①知IMN1=g,点P到直线MN的距离dj需”则

V13

3

SAPMN=|IMN|•13xo+2yo|.直线MP:y=f（x+1）+：,令x=3,可得C（3,f+|）;直线

ZJQ+1乙\o+l2/

3

PN:y=-^（x-l）-1,令x=3,可得D（3,y-J）,贝/CD|=。卡，。）（。-3）,又到直线的距

2\O-12/O-1PCD

离dz=|3-xo|,贝uSAPCD=||CD|-d=13。:2。.（3-xo）2,VAPMN^APCD的面积相

22幺O-1

2

等，13xo+2yo41TH,（3F）；故3x（＞+2yo=O（舍）或I2仁（3-x„）,解得代入椭

圆方程得丫。=±粤,故存在点P满意题意，点P的坐标为6，等）或（，一等）

（-）选做题（从下面两道题中选一题做答）

22.（2024郑州一中周练（二），22）已知平面直角坐标系xOy,以0为极点,x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,P点的极坐标为（3,2）,曲线C