2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2排列学案含解析北师大版选修2-3

PAGE§2排列学问点一排列的定义[填一填]一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，依据肯定的依次排成一列，叫作从n个不同的元素中随意取出m个元素的一个排列．有关求排列个数的问题叫作排列问题．[答一答]1．如何推断一个问题是排列问题？提示：推断一个问题是否为排列问题的依据是，是否与依次有关，与依次有关且是从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同元素的问题就是排列问题，而推断它是否有依次的依据是变换元素的位置，看其结果是否有改变，有改变就是有依次，无改变则无依次．学问点二排列数公式[填一填]把从n个不同的元素中随意取出m(m≤n)个元素的排列，看成从n个不同的球中选出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，分n步计数，依据乘法原理，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]种放法．即从n个不同的元素中随意取出m(m≤n)个元素的排列共有n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．由此，可得排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．规定Aeq\o\al(0,n)＝1.当m＝n时，Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)·…·2·1.说明：n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列，记作Aeq\o\al(n,n).我们把n(n－1)(n－2)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘，即Aeq\o\al(n,n)＝n！，规定0！＝1.于是排列数公式写成阶乘的形式为Aeq\o\al(m,n)＝n！,(n－m)！.[答一答]2．如何理解和记忆排列数公式？提示：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列，一共有Aeq\o\al(m,n)＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种，排列数公式中的第一个数是n，依次递减1，最终一个数为(n－m＋1)，共有m个连续自然数相乘．1．正确理解排列的定义排列的定义包含两个方面的含义：一是“取出元素”，二是“依据肯定的依次排列”．因此，当两个排列的元素完全相同，并且元素的排列依次也完全相同时，它们才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而依次不同的排列，都不是同一个排列．定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只探讨被取出的元素也各不相同的状况，也就是说，假如某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了，否则就变成了取出两个相同元素．定义中的“肯定依次”是与位置有关的问题，对有些详细状况，如取出数字1,2,3组成三位数，就与位置有关，因123和132是不同的三位数；但如取出数字1,2,3，考虑它们的和，则与位置无关．2．“排列”与“排列数”的区分“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m个元素，依据肯定的依次排成一列”，它不是一个数，而是详细的一个排列(也就是详细的一件事)；排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的全部不同排列的个数”，它是一个数．比如从a、b、c3个元素中每次取出2个元素，依据肯定的依次排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，在这里Aeq\o\al(2,3)＝6.3．排列数公式的两种不同形式的选择排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)和Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)在应用时，要依据状况选择．除依据详细的已知条件进行选择外，还有当m和n都是较小的整数时，常选择前者；m和n是较大整数时，常选择后者用计算机计算．对含有字母的排列数式子进行变形时，也常用后者．4．解答排列问题的应用题时应留意的问题(1)留意排列的有序性．(2)对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用干脆法或解除法(间接法)．(3)从位置动身的“填空法”和不相邻问题的“插空法”是解答排列应用题中常用的有效方法．某些元素的相邻问题，常用“捆绑”法，将其看成一个元素．(4)要留意通过排列应用题，深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解，培育“全局分类”和“局部分类”意识．题型一排列数公式的计算[例1]计算下列各题．(1)Aeq\o\al(3,12)；(2)Aeq\o\al(8,8)－9Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(7,7)；(3)eq\f(m－1！,A\o\al(n－1,m－1)m－n！).[思路探究]公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)常用来求值，特殊是m，n均已知的状况；公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)常用来证明或化简．[解](1)原式＝12×11×10＝1320.(2)原式＝Aeq\o\al(8,8)－8Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(7,7)＝Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(8,8)＋Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(7,7)＝0.(3)原式＝eq\f(m－1！,\f(m－1！,m－n！)·m－n！)＝1.规律方法运用排列数公式时应留意以下几点：(1)排列数公式的连乘形式常用于计算详细的排列数；(2)排列数公式的阶乘形式主要用于含有排列数的分式形式的计算，或对含有字母的排列数的式子进行化简、证明．(1)若Aeq\o\al(m,n)＝17×16×15×…×5×4，则n＝17，m＝14.(2)若n∈N，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为Aeq\o\al(15,69－n).解析：(1)由Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝17，,n－m＋1＝4，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝17，,m＝14.))(2)若n∈N，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).题型二排列数公式的应用[例2](1)解方程：3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)；(2)解不等式：Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).[思路探究](1)(2)中排列数的上标不明确，因此，干脆利用公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)求解会比较麻烦，而利用公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)求解则比较便利，然后转化为有关的方程或不等式即可．[解](1)由题意可得，原方程可化为3×eq\f(8！,8－x！)＝4×eq\f(9！,10－x！)，化简得3＝eq\f(4×9,10－x9－x)，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，,0≤x－1≤9，))解得1≤x≤8.故原方程的解是x＝6.(2)由题意可得，原不等式可化为eq\f(8！,8－x！)<6×eq\f(8！,10－x！)，化简得1<eq\f(6,10－x9－x)，即x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，,0≤x－2≤8，))解得7<x≤8.又x∈N＋，所以x＝8.规律方法运用排列数公式时的留意点运用排列数公式时应留意以下两点：(1)排列数公式的连乘形式常用于计算详细的排列数；(2)排列数公式的阶乘形式常用于含有排列数的分式形式的计算或对含有字母的排列数的式子进行化简．(1)解方程：Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)；(2)解不等式：Aeq\o\al(x,6)<6Aeq\o\al(x－2,6).解：(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，))∴x≥3，x∈N＋，由Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，化简得，4x2－35x＋69＝0，解得，x1＝3或x2＝eq\f(23,4)(舍)，∴方程的解为x＝3.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤6，,1≤x－2≤6，))得3≤x≤6，且x∈N＋.又Aeq\o\al(x,6)<6Aeq\o\al(x－2,6)⇒eq\f(6！,6－x！)<6·eq\f(6！,6－x＋2！)⇒(8－x)(7－x)<6⇒x2－15x＋50<0⇒(x－10)(x－5)<0⇒5<x<10.综上可知x＝6，不等式解集为{6}．题型三无限制条件的排列问题[例3]将4位司机、4位售票员安排到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别配有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的安排方案？[思路探究]解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机安排到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有Aeq\o\al(4,4)种方法；其次步：把4位售票员安排到4辆不同班次的公共汽车上，也有Aeq\o\al(4,4)种方法．利用分步乘法计数原理即得安排方案的种数．[解]依据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576种．规律方法无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特殊限制的问题，这种类型的题目相对简洁，分清元素和位置即可．一般状况下涉及的“大数”是元素数，“小数”是位置数．同时，要明确完成一件事是分类还是分步．3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到多少个不同的三位数？解：“组成三位数”这件事，分两步完成：第一步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列Aeq\o\al(3,3).其次步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种状况．依据乘法原理，可以得到Aeq\o\al(3,3)×2×2×2＝48个不同的三位数．题型四有限制条件的排列问题[例4]7名同学站成一排．(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？[思路探究]这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先支配的原则．[解](1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6名同学，共有Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720种排法．(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有Aeq\o\al(2,2)种，再在余下的5个位置排另外5名同学的排法有Aeq\o\al(5,5)种，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝2×1×5×4×3×2×1＝240种排法．(3)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个支配甲、乙有Aeq\o\al(2,5)种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有Aeq\o\al(5,5)种，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(5,5)＝5×4×5×4×3×2×1＝2400种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有Aeq\o\al(2,5)种，中间5个位置有Aeq\o\al(5,5)种，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(5,5)＝2400种排法．规律方法(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．(2)从元素入手时，先给特殊元素支配位置，再把其他元素支配在剩余位置上；从位置入手时，先支配特殊位置，再支配其他位置．留意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻究竟，不能既考虑元素又考虑位置．4名男同学和3名女同学站成一排．(1)3名女同学必需排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)男生与女生相间排列的方法有多少种？解：(1)3名女同学是特殊元素，优先支配，共有Aeq\o\al(3,3)种排法；由于3名女同学必需排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有Aeq\o\al(5,5)种排法．由分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720种不同的排法．(2)先将男生排好，共有Aeq\o\al(4,4)种排法；再在这4名男生的中间及两头的5个空当中插入3名女生，有Aeq\o\al(3,5)种排法．故符合条件的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440种．(3)不妨先排男生，有Aeq\o\al(4,4)种排法，在4名男生形成的3个间隔共有3个位置支配3名女生，有Aeq\o\al(3,3)种，因此共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)种排法，故4名男生3名女生相间的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)＝144种．题型五数字问题[例5](1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有多少个？(2)由0,1,2,3,4,5六个数字组成的六位数中，数字1排在奇数位上的数有多少个？(注：本题中提到的“奇数位”按从最高位起先从左到右依次为奇数位、偶数位来理解)[思路探究](1)奇偶相间有两种状况：①从首位到个位先是奇数后是偶数；②从首位到个位先是偶数后是奇数．在第②种状况中，要考虑数字“0”不能在首位，应优先支配其位置．(2)题目中有0,1两个有限制条件的元素，且数字1的位置选择对0的位置选择有影响，应分类考虑．[解](1)第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．第一步：把1,3,5三个数排列在奇数位上，有Aeq\o\al(3,3)种方法．其次步：把0,2,4三个数排列在偶数位上，有Aeq\o\al(3,3)种方法．依据分步乘法计数原理，可得首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(个)．其次类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．第一步：把1,3,5三个数排列在偶数位上，有Aeq\o\al(3,3)种方法．其次步：把0,2,4三个数排列在奇数位上，有2×Aeq\o\al(2,2)种方法．依据分步乘法计数原理，可得首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有Aeq\o\al(3,3)×2×Aeq\o\al(2,2)＝24(个)．依据分类加法计数原理可得满意条件的六位数共有36＋24＝60(个)．(2)第一类，当数字“1”在首位时，数字“0”有5种选择，其他数字不受限制，其排列方法为Aeq\o\al(4,4)种，所以当数字“1”在首位时，满意条件的六位数共有1×5×Aeq\o\al(4,4)＝120(个)．其次类，当数字“1”不在首位时，依据数字“1”只能在奇数位上，数字“1”只能在千位或十位上，有2种选择，数字“0”不能在首位，有4种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法为Aeq\o\al(4,4)种，所以当数字“1”不在首位时，满意条件的六位数共有2×4×Aeq\o\al(4,4)＝192(个)．依据分类加法计数原理可得，满意条件的六位数共有120＋192＝312(个)．规律方法(1)由第(2)题可知若一个排列中有多个受限制的元素和受限制的位置时，往往会出现一个元素的位置选择对另一个元素的位置选择有影响，此时我们应分类考虑．(2)对较困难的排列问题，一般这样思索：①先看完成所要求的事务的方法可以不重不漏地分成几类，依据加法原理把各类的数目相加，就可得到所要求事务的总数目；②在每一类中，把完成所要求事务的过程分成几步，依据乘法原理把每步的可能数相乘，便得到这一类的数目；③计算每一步的可能数．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的数，则(1)可以组成多少个六位奇数？(2)可以组成多少个不大于4310的四位偶数？解：(1)方法一(从特殊位置入手)：分三步完成：第一步，填末位，有Aeq\o\al(1,3)种填法；其次步，填首位，有Aeq\o\al(1,4)种填法；第三步，填其他位，有Aeq\o\al(4,4)种填法，故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288个无重复数字的六位奇数．方法二(从特殊元素入手)：0不在首位也不在末位，有Aeq\o\al(1,4)种排法；从1,3,5中任选一个排在末位，有Aeq\o\al(1,3)种排法；其他各位上用剩下的数字进行全排列有Aeq\o\al(4,4)种排法，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288个无重复数字的六位奇数．方法三(间接法)：六个数字共有Aeq\o\al(6,6)种排法，数字0,2,4在末位上有3Aeq\o\al(5,5)种排法，数字1,3,5在末位上且0在首位上共有3Aeq\o\al(4,4)种排法，故组成的无重复数字的六位奇数共有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288个．(2)①当千位上排1,3时，从0,2,4中任选一个排在个位，有Aeq\o\al(1,3)种排法，其他各位上从剩下的四个数字中选择两个进行排列，有Aeq\o\al(2,4)种排法，故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)种排法；②当千位上排2时，从0,4中任选一个排在个位，然后从剩下的四个数字中选择两个排列，故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)种排法；③当千位上排4时，形如40××，42××的各有Aeq\o\al(1,3)种排法，形如41××的有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)种排法，形如43××的只有4310和4302这两个数．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110个．题型六排列在实际问题中的应用[例6]一条铁路途上原有n个车站，为适应客运须要，新增加了m个车站(m>1)，客运车票增加了62种，则原有多少个车站？现在有多少个车站？[思路探究]本题是一道应用题．正确找出相等关系是解决本题的关键，同时要考虑到来回两种状况，属排列问题．[解]∵原有n个车站，∴原有客运车票Aeq\o\al(2,n)种．又∵现有(n＋m)个车站，∴现有客运车票Aeq\o\al(2,n＋m)种．由题设知：Aeq\o\al(2,n＋m)－Aeq\o\al(2,n)＝62，∴(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，∴2mn＋m2－m＝62，∴n＝eq\f(31,m)－eq\f(1,2)(m－1)>0，∴eq\f(31,m)>eq\f(1,2)(m－1)，∴62>m(m－1)，即m2－m－62<0.又∵m>1，∴1<m<eq\f(1＋\r(249),2)，∴1<m≤8.当m＝2时，n＝15.当m＝3,4,5,6,7,8时，n均不为整数．∴n＝15，m＝2.∴原有车站15个，现有车站17个．规律方法解方程Aeq\o\al(2,n＋m)－Aeq\o\al(2,n)＝62时，留意m、n的限制条件，这样才能将解方程问题转化成解不等式问题，胜利的做到消元．从六名老师中选四名老师去西藏、新疆、青海、甘肃援教，要求每个省份去一名老师，且这六名老师中甲、乙两名老师不去西藏，则有多少种不同的方案？解：先从六名老师中把甲、乙两名老师去掉，然后从余下的四名老师中选一名老师去西藏的方案有Aeq\o\al(1,4)种，然后从包括甲、乙两名老师在内的五名老师中选三名老师去其他三个省份的方案有Aeq\o\al(3,5)种，所以符合要求的方案为Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＝240(种)．——数学思想系列——分类探讨思想在排列中的应用[例7]方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在全部这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条[解析]明显方程ay＝b2x2＋c表示抛物线时，有ab≠0，故该方程等价于y＝eq\f(b2,a)x2＋eq\f(c,a).(1)当c＝0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取2个数作为a，b的值，有Aeq\o\al(2,5)＝20种不同的方法，当a肯定，b的取值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4×3＝12条，所以此时不同的抛物线共有Aeq\o\al(2,5)－6＝14条；(2)当c≠0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取3个数作为a，b，c的值有Aeq\o\al(3,5)＝60种不同的方法，当a，c的值肯定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4Aeq\o\al(2,3)＝24条，所以此时不同的抛物线有Aeq\o\al(3,5)－12＝48条．综上所述，满意题意的不同的抛物线有14＋48＝62条．[答案]B用数字0,1,2,3,4,5能够组成407个没有重复数字且比240135大的数．解析：第一类，首位上的数字分别是3,4,5的符合题意的数有3Aeq\o\al(5,5)个；其次类：首位上的数字是2，其次位上的数字是5的符合题意的数有Aeq\o\al(4,4)个；第三类，首位上的数字是2，其次位上的数字是4，第三位上是1,3,5时，满意题意，共有3Aeq\o\al(3,3)个；第四类，首位上的数字是2，其次位上的数字是4，第三位上的数字是0，第四位上的数字是3,5时，符合题意，共有2Aeq\o\al(2,2)个；第五类，首位上的数字是2，其次位上的数字是4，第三位上的数字是0，第四位上的数字是1，只有1个数符合题意．由分类加法计数原理，符合题意的数的个数为：3Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＋3Aeq\o\al(3,3)＋2Aeq\o\al(2,2)＋1＝407个．1．有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班的3个学习爱好小组进行探讨，每组一个课题，则不同的支配方法数是(B)A．120B．60C．125D．6解析：N＝Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60.2．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的产品广告和2个不同的公益广告，要求首尾必需播放公益广告，则不同的播放方式有(A)A．48种B．24种C．720种D．120种解析：分两步：第一步先排首尾，其次步再排中间4个位置，则N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝2×24＝48.3．Aeq\o\al(3,6)＋Aeq\o\al(3,7)＝330.4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担当语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必需担当语文科代表，则不同的选法共有840种．(用数字作答)解析：从剩余7人中选出4人担当其他4个学科的科代表，共有Aeq\o\al(4,7)＝840(种)．5．五个人排成一排，按下列要求分别有多少种排法？(1)其中甲不站排头；(2)其中甲不站排头，乙不站排尾；(3)其中甲、乙两人必需相邻；(4)其中甲、乙两人必需不相邻．(5)其中甲、乙中间有且只有一人；(6)其中甲必需排在乙的右边．解：(1)方法一：先排甲，有4种排法，然