2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量的加法学案含解析北师大版必修4

PAGE§2从位移的合成到向量的加法2．1向量的加法学问点一三角形法则[填一填]1．如图，已知向量a、b，在平面上任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up6(→))，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫作向量a与b的和．记作a＋b.[答一答]1．随意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗？提示：是，因为三角形法则的关键是两向量首尾相连．学问点二平行四边形法则与多边形法则[填一填]2．平行四边形法则如图，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，再作平行于eq\o(AD,\s\up6(→))的向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，连接DC，则eq\o(AC,\s\up6(→))叫作向量a与b的和，表示为：eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.3．多边形法则向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即eq\o(A0A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A0An,\s\up6(→)).[答一答]2．(1)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的运用条件有何不同？(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一回事吗？提示：(1)三角形法则适合随意两个向量求和，平行四边形法则只适合两个不共线的向量求和．(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则都是计算两个向量的和向量，当两个向量不共线时，它们是一样的．当两个向量共线时，平行四边形法则不再适用．学问点三向量加法运算律[填一填]4．(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．特殊地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a.[答一答]3．向量的加法运算律与实数的加法运算律有哪些异同？提示：运算律：向量的加法与实数的加法都满意交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则来验证；如图，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，连接AC，AD，BD，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b＋c.∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋(b＋c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．对向量加法的三角形法则的四点说明(1)适用范围：随意向量．(2)留意事项：①两个向量肯定首尾相连；②和向量的始点是第一个向量的始点，终点是其次个向量的终点．(3)方法与步骤：第一步：将b(或a)平移，使一个向量的始点与另一个向量的终点相连；其次步：将剩下的始点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点．则该有向线段表示的向量即为向量的和，也称：“首尾相连，连首尾”．(4)图示：如图所示．2．对向量加法的平行四边形法则的四点说明(1)适用范围：随意两个非零向量，且不共线．(2)留意事项：①两个非零向量肯定要有相同的始点；②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量．(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a与b的始点平移到同一点；其次步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形．则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a与b的和．(4)图示：如图所示．类型一向量的加法【例1】如图中(1)(2)(3)所示，试作出向量a与b的和．【思路探究】依据向量加法法则作图．【解】如图(1)(2)(3)所示．首先作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.规律方法本题是利用向量加法的三角形法则来解的，当两个向量共线时同样适用．如图，已知向量a，b，c，试求作和向量a＋b＋c.解：如图，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求．类型二向量的加法运算【例2】如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))；(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))；(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)).【思路探究】此类问题应依据三角形法则或平行四边形法则，视察是否具备应用法则的条件，若不具备，应变更条件，以便运用法则求解．【解】(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.规律方法(1)三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”．(2)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．当两个向量共线时，平行四边形法则不再适用．(3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则事实上就是向量加法的几何意义．(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝(A)A.eq\o(MB,\s\up6(→)) B.eq\o(BM,\s\up6(→))C.eq\o(DB,\s\up6(→)) D.eq\o(BD,\s\up6(→))(2)已知四边形ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是(C)A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))解析：(1)因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).(2)对于A，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(CA,\s\up6(→))；对于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))；对于C，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；对于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(DC,\s\up6(→)).故选C.类型三向量加法的综合应用【例3】一架飞机向北飞行100km，然后变更方向向西飞行100km，求飞机飞行的路程及两次位移的和．【思路探究】eq\x(\a\al(利用向量加法的三角,形法则可得合位移))→eq\x(\a\al(画出图形、,作出位移))→eq\x(\a\al(利用特殊三,角形可解))【解】如下图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))表示飞机向北飞行100km，eq\o(BC,\s\up6(→))表示飞机向西飞行100km，则飞机飞行的路程为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝100＋100＝200(km)．两次飞行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝100，∠B＝90°，∴∠A＝45°，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(1002＋1002)＝100eq\r(2)(km)．故飞机飞行的路程是200km，两次飞行的位移和的方向为北偏西45°，大小为100eq\规律方法利用向量加法解决实际应用问题的主要步骤(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量；(2)利用三角形法则和平行四边形法则，进行向量的加法运算；(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形边和角的关系解题．在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25km/h.渡船要垂直渡过长江，其航向应如何确定？解：如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(AD,\s\up6(→))表示渡船的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))表示渡船实际垂直过江的速度．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ADC中，∠ACD＝90°，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝12.5，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝25，∴∠CAD＝30°.故渡船要垂直渡过长江，其航向应为北偏西30°.——易错警示——向量加法法则与平面几何学问交汇中的误区【例4】如图，正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))【错解】选A或选B或选C【正解】因为ABCDEF是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))①，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).【错解分析】在①处忽视利用正六边形的性质推出BA∥DE，BA＝DE，并依据向量相等的概念推出eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，从而无法简化计算而出错．【答案】D【防范措施】1.正确利用几何图形的性质利用几何图形中线线平行，线段相等可以推出向量共线和相等的条件．通过相等向量的代换往往可以实现向量运算的简化．如本例中利用正六边形的性质可以得到eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→)).2．恰当利用向量加法的运算律用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的，如本例将eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))变形为eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))就可以利用向量加法的多边形法则求和向量．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是(D)A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))B.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))D.eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))解析：依据三角形法则可知A，B正确．因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以四边形ADEF和四边形DECF都是平行四边形，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，故C正确，D不正确．一、选择题1．若C是线段AB的中点，则eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))为(C)A.eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(BA,\s\up6(→))C．0 D．以上均不正确2．下列等式不成立的是(C)A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋aC.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，故C错．3．在矩形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(D)A.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).二、填空题