高中数学《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学课件

8.3简单几何体的表面积与体积

前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节进一步认识简单几何体的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小.8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和，即

侧面积+底面积例1

已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积．解：PABCD如右图，在△PAB中作PE⊥AB，垂足为E.则EPE=所以S△PAB=6×4÷2=12于是正四棱锥P-ABCD的表面积SP-ABCD=4×12+6×6=84还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的表面积吗？S正方体=6a2(a为正方体的棱长)S长方体=2(ab+bc+ca)(a、b、c为长方体的长、宽、高)多面体的表面积又是怎样的呢？二、棱柱、棱锥、棱台的体积还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？V正方体=6a3(a为正方体的棱长)V长方体=abc(a、b、c为长方体的长、宽、高)多面体的体积又是怎样的呢？1.棱柱的体积：

棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离.

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.

一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积

2.棱锥的体积：

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积V棱柱=ShV棱锥=Sh二、棱柱、棱锥、棱台的体积3.棱台的体积：

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.

由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式其中S'、S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.V棱台=

观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式：V棱柱=Sh、、,它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?V棱锥=ShV棱台=S'=SS'=0例2

如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米?解：二、棱柱、棱锥、棱台的体积A'B'C'D'ABCDP如右下图，由题意知V长方体ADCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3)，V棱锥P-ABCD=×1×1×0.5=(m3)所以这个漏斗的容积V=0.5+=(m3)例3

棱长相等的三棱锥叫正四面体,求棱长为a的正四面体的体积.

二、棱柱、棱锥、棱台的体积解：如右图，设PO为正四面体的高，连接AO并延长，交BC于D.由正四面体概念可得：D为BC的中点，O为△ABC的中心.PABCDOaa由AB=a可得AD=于是AO=在Rt△AOP中有：正四面体的高PO=所以该正四面体的体积V=S△ABC×PO=三、课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的表面积：就是围成它们的各个面的面积的和，即

侧面积+底面积2.棱柱、棱锥、棱台的体积：V棱锥=ShV棱台=V