专题训练：全等三角形（原卷版）

专题训练：全等三角形知识框架重难点题型题型1利用全等三角形求长度1．（2021·辽宁鞍山市·八年级期中）如图，在△ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF//AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为_____．2．（2021·福建泉州市·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于点D，点E在边AB上，且BE＝BC，过点E作EF⊥AB交BD延长线于点F，若EF＝12，则AE＝_____．3．（2021·北京西城区·八年级期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．124．（2021·江苏八年级期中）如图，在中，，，平分，于，若，则为______．5．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图所示，为中线，D为中点，，，连接，．若的面积为3，则的面积为______．6．（2021·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．题型2利用全等三角形求角度1．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，，若，，则的度数为（）A．80° B．35° C．70° D．30°2．（2020·浙江八年级开学考试）如图所示，，，，的延长线交于点F，交于点G，，，，则的度数为（）A． B． C． D．3．（2021·安徽马鞍山市·八年级期末）如图，，若，，，则的度数为（）A． B． C． D．4．（2021·北京顺义区·八年级期末）如图，是等边三角形，，与交于点F，则的度数是__________．5．（2021·石家庄市第二十八中学八年级月考）如图，是的角平分线，延长至点，使，若，，则__________．6．（2021·沙坪坝区·重庆八中七年级期中）如图所示，在ΔABC中，AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF，AH=DF，AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________．题型3利用全等三角形证明数量（位置）关系1.（2020•萧山区期中）BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，P在BD的延长线上，且BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．2.（2020•瑶海区期末）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．3．（2020·黑龙江松北初一期末）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CEBF中正确有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.（2020•溧水区期末）初步思考（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD＝2∠EAF．求证：EF＝BE+FD．小明发现此题是证明线段的和（差）问题，根据证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请在下列框图中补全他的证明思路．解决问题：（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD＝2∠EAF，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．拓展延伸：（3）在（2）的条件下，若将点E、F改在线段BC、CD延长线上，请直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．5．（2020•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．6．（2020•福州期末）如图，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB为边作等边△ABD（点C，D在边AB的同侧），连接CD．（Ⅰ）若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数；（Ⅱ）当∠BAC＝2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；（Ⅲ）当∠BCD等于多少度时，∠BAC＝2∠BDC恒成立．7．（2020·全国初三专题练习）如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：．题型4全等三角形的判定方法：5种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）解题技巧：1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形；2）寻找边角相等的3组条件。3）往往有2个条件比较好找，第3个条件需要推理寻找第3个条件思路：原则:1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边全等三角形证明思路：1°：SSS证全等1．（2020·全国初二课时练习）如图：在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,若CE=BF,AE=EF+BF.试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.2．（2020·上海浦东新初一期末）阅读并填空：如图：根据六年级第二学期学过的用直尺、圆规作线段中点的方法，画出了线段AB的中点C，请说明这种方法正确的理由．解：连接AE、BE、AF、BF．在△AEF和△BEF中，EF＝EF（），＝（画弧时所取的半径相等），＝（画弧时所取的半径相等）．所以△AEF≌△BEF（）．所以∠AEF＝∠BEF（）．又AE＝BE，所以AC＝BC（）．即点C是线段AB的中点．3．（2020·江苏栖霞初二期中）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE=CE=BF=DF．求证：∠AOE=∠EOF=∠FOD．2°：SAS证全等1．（2021·江苏南京市·九年级专题练习）如图，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，则∠ADE的度数为（）A．50°B．65°C．70°D．75°2．（2020·全国初二课时练习）如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为____cm.3．（2020·南山第二外国语学校集团海德学校初一期中）如图，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：BD=CE．4．（2021·河南宜阳初二期末）(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明ΔΔADG，再证明ΔΔAGF，可得出结论，他的结论应是．(2)探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．3°：ASA证全等1．（2020·河南焦作初一期末）如图：小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树处，接着再向前走了20步到达处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔树与自己现处的位置在一条直线时，他共走了100步．（1）根据题意，画出示意图；（2）如果小刚一步大约50厘米估计小刚在点处时他与电线塔的距离，并说明理由．2．（2021·重庆万州区·八年级期末）如图，在中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2020·江苏崇川南通田家炳中学初三其他）如图，在△ABC中，D是线段BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，且CF∥BE．求证：DE＝DF4°：AAS证全等1．（2020·上海浦东新初一期末）如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．（1）说明△ACD与△BEC全等的理由；（2）说明AB＝AD+BE的理由．2．（2020·江西大余初二期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．3．（2021·全国七年级专题练习）如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2020·山西朔州初二期末）综合与实践阅读以下材料：定义：两边分别相等且夹角互补的两个三角形叫做“互补三角形”．用符号语言表示为：如图①，在△ABC与△DEF中，如果AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF，那么△ABC与△DEF是互补三角形．反之，“如果△ABC与△DEF是互补三角形，那么有AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF”也是成立的．自主探究利用上面所学知识以及全等三角形的相关知识解决问题：（1）性质：互补三角形的面积相等如图②，已知△ABC与△DEF是互补三角形．求证：△ABC与△DEF的面积相等．证明：分别作△ABC与△DEF的边BC，EF上的高线，则∠AGC=∠DHE=90°．……(将剩余证明过程补充完整)（2）互补三角形一定不全等，请你判断该说法是否正确，并说明理由，如果不正确，请举出一个反例，画出示意图．5°：HL证全等1．（2019·丹阳市第三中学初二月考）用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是()A．SSS B．SAS C．HL D．ASA2．（2020·江苏常州初二期末）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，（1）求证：△BEC≌△DEA；（2）求证：BC⊥FD．3．（2020·南通市启秀中学初一期末）如图，点在直线的同侧，过作，垂足为，延长至，使得，连接交直线于点．（1）求证：（2）在直线上任意一点（除点外），求证：题型5.尺规作图与三角形全等1．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS2．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图，小正方形的边长为1，为格点三角形．(1)如图①，的面积为；(2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形．3．（2020·吉林长春市·九年级其他模拟）我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为”.如图，在中，，如果，那么.请你根据上述命题，解决下面的问题：（1）如图1，，为格点，以为圆心，长为半径画弧交直线于点，则______；（2）如图2，、为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）。作，使点在直线上，并且，.（3）如图3，在中，，，为内一点，，于，且.①求的度数；②求证：.4．（2020·河北衡水市·）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：△ABC，尺规作图：求作∠APC=∠ABC．小明同学的主要作法如下：问题：小明的做法正确吗？请你说明小明作法的正确性．5．（2020·北京怀柔区·八年级期末）数学课上，王老师布置如下任务：如图1，直线MN外一点A，过点A作直线MN的平行线．(1)小路的作法如下：①在MN上任取一点B，作射线BA；②以B为圆心任意长为半径画弧，分别交BA和MN于C、D两点（点D位于BA的左侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧EH，交BA于点E（点E位于点A上方）；③以E为圆心CD的长为半径画弧，交弧EH于点F（F点位于BA左侧）④作直线AF⑤直线AF即为所求作平行线．请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：(2)请你参考小路的作法，利用图2再设计一种“过点A作MN的平行线”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并说明其中蕴含的数学依据．6．（2021·安徽合肥市·八年级期末）（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm，点C在射线AM上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC的长约为cm（精确到0.lcm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是．题型6.利用三角形全等测距离1．（2020·全国七年级课时练习）为了测量河两岸相对点A、B的距离，小明先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长度就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS2．（2020·南昌市第一中学八年级期中）如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的刀DC长为b，瓶直壁厚度x＝_____（用含a，b的代数式表示）．3．（2021·陕西九年级专题练习）在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何测得距离？一位战士的测量方法是：面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．这是为什么呢？4．（2020·广东茂名市·七年级期末）如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?5．（2021·陕西九年级专题练习）如图，小叶和小丽两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．6．（2021·全国七年级单元测试）如图，小明和小月两家位于A，B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，小明设计方案如下：①从点A出发沿河岸画一条射线AM；②在射线AM上截取AF＝FE；③过点E作EC∥AB，使B，F，C在一条直线上；④CE的长就是A，B间的距离．(1)请你说明小明设计的原理．(2)如果不借助测量仪，小明的设计中哪一步难以实现？(3)你能设计出更好的方案吗？题型7.全等三角形中的动态问题1.（2020秋•滨湖区期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为s．2．（2020·江苏昆山初一期末）如图，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，PEC与QFC全等．3.（2020·贵州铜仁初三月考）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．4.（2020春•广饶县期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．5．（2020·江苏宿迁初二期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．6．（2020·山东广饶初一期末）如图（1），在ABC中，，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm.现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边ACCBBA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t=______时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，，DE=4cm,DF=5cm,．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着ABBCCA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．题型8.全等三角形综合题1．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知中，，，点为