13.3.1 等腰三角形的性质（重点练）解析版

13.3.1等腰三角形的性质（重点练）一、单选题1．（2018·邻水县九龙镇中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE，点O是BD和CE的交点，则：①△ABD≌△ACE；②△BOE≌△COD；③点O在∠BAC的平分线上，以上结论()A．都正确 B．都不正确C．只有一个正确 D．只有一个不正确【答案】A【分析】根据SAS推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出∠ABO=∠ACO，求出BE=CD，根据AAS推出△BOE≌△COD，根据全等得出OB=OC，再根据等腰三角形的性质可判断O在∠BAC的平分线上，可得出答案．【详解】解：在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABO=∠ACO，

∵AB=AC，AE=AD，

∴BE=CD，

在△BOE和△COD中，

，

∴△BOE≌△COD（AAS），

∴OB=OC，

∴点O在线段BC的垂直平分线上，

∵AB=AC，

∴O点在∠BAC的平分线上，

∴①②③都正确，

故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，在判断③时，利用等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．2．（2019·山东冠县·八年级期中）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为（）A．44° B．66° C．96° D．92°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝42°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK＝∠BKN，∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝42°，∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝96°，故选C．【点睛】此题主要考查利用等腰三角形的性质判定三角形全等，以及三角形的外教性质和内角和定理的运用，熟练掌握，即可解题.3．（2018·全国八年级期中）若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么等腰三角形的顶角等于()A．60°或120° B．30°或150° C．150° D．30°【答案】B【分析】本题要分两种情况解答:当BD在三角形内部以及当BD在三角形外部.再根据等腰三角形的性质进行解答.【详解】解:本题分两种情况讨论:(1)当BD在三角形内部时,BD=AB,∠ADB=90,∠A=30;(2)当BD在三角形外部时,BD=AB,∠ADB=90,∠DAB=30,∠BAC=180-∠DAB=150.所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,分BD在三角形内部以及当BD在三角形外部是解题的关键.4．（2019·湖北蔡甸·八年级月考）△ABC中，∠ABC＝∠C，点D、E分别在AC、AB上，且AE=BE，BD＝BC＝AD，∠BDE的度数是（）A．45° B．54° C．60° D．72°【答案】B【分析】由已知条件开始,通过线段相等,得到角相等,再由三角形内角和求出各个角的大小.【详解】解：设∠A=x.AD=BD,∠ABD=∠A=x.∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x.∠ABC＝∠C,∠ABC=∠BCD=2x,在△ABC中，x+2x+2x=180,x=36,AE=BE,BD＝AD,在△ABD中，由三线合一可得∠BED=90在RT△BED中，∠EBD=36∠BDE=90-36=54故选B.【点睛】本题主要考查等腰三角形的相关性质,以及三角形内角和是180度.5．（2017·湖北襄城·八年级期中）如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．EF＝6，BE＝4，则CF的长为（）A．6 B．4 C．2 D．5【答案】C【分析】由已知条件可证明得BE=OE,同理可证得证明CF=OF,即可求得CF的长.【详解】解:如图,BO平分∠ABC,∠ABO=∠CBO;EO//BC,∠EOB=∠OBC,∠EOB=∠EBO,BE=OE;同理可证CF=OF;EF=6,BE=4,OF=EF-OE=EF-BE=2,CF=OF=2,故选C.【点睛】本题以三角形为载体,以考查等腰三角形的判定及其性质、平行线的性质等几何知识点为核心构造而成;牢固掌握等腰三角形的判定及其性质是解题的关键.6．（2021·全国）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；

②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；

③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．

④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．【详解】解：如图，①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．7．（2021·辽阳石油化纤公司教师学校八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50° B．70° C．110° D．120°【答案】D【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′＝50°＋70°＝120°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．8．（2020·首都师范大学附属育新学校）下列说法中：①线段是轴对称图形，②已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】①根据轴对称图形的概念判定即可；②根据等腰三角形的三边关系判定即可；③根据等腰三角形的性质判定即可；【详解】解：①线段是轴对称图形，正确；②已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，角度不能确定，错误；③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，错误；故选B.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念与等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念与等腰三角形的性质．9．（2020·浙江温州·八年级月考）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③、④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1等于…（）A． B．3－ C．1－ D．＋【答案】A【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，然后周长相减即可得到规律，进行解答．【详解】解：P1＝1＋1＋1＝3，P2＝1＋1＋＝，P3＝1＋1＋×3＝，P4＝1＋1＋×2＋×3＝，…∴P3－P2＝－＝，P4－P3＝－＝，∴Pn－Pn－1＝，故答案为：A．【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好．10．（2017·江苏通州·八年级月考）有下列说法：其中正确的个数是（ ）(1)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三角之比为3:4:5的三角形为直角三角形；(3)等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；(4)一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等边三角形；A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【答案】A【分析】考查等边三角形，直角三角形等的性质以及三角形三边关系：（1）有一个角为60°的等腰三角形，则三个角都是60°，（2）中有三角比例，求出其大小即可判断是否为直角三角形，（3）根据三边关系可确定，（4）利用等边三角形的判定定理即可．【详解】(1)中三角形内角和为180°，且一个角为60°，又是等腰三角形，所以三角形只能是等边三角形；(2)中根据三个角的比例求其角分别为45°，60°，75°，所以，不是直角三角形；(3)三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以周长只能是10；(4)等边三角形一边上的中线：该边边长=:2，故不是等边三角形.所以正确的说法有两个，故选A.【点睛】此题考查三角形三边关系，直角三角形的性质，等边三角形的判定，解题关键在于掌握各性质定义.11．（2019·山西灵石·八年级期末）如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到出，与相交于点，连接，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由旋转的性质可得AC=A'C，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C=90°，由等腰三角形的性质可得∠AA'C=70°=∠A'AC，即可求解．【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C∴AC=A′C,∠ACA′=40∘,∠BAC=∠B′A′C=90°，∴∠AA′C=70°=∠A′AC∴∠B′A′A=∠B′A′C−∠AA′C=20°故选C.【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于得出得∠AA'C=70°=∠A'AC.12．（2020·内蒙古临河·八年级期末）如图，点E是等腰三角形△ABD底边上的中点，点C是AE延长线上任一点，连接BC、DC，则下列结论中：①BC=AD；②AC平分∠BCD；③AC=AB；④∠ABC=∠ADC．一定成立的是（）A．②④ B．②③ C．①③ D．①②【答案】A【分析】根据全等三角形的判定和性质得出结论进而判断即可．【详解】∵点E是等腰三角形△ABD底边上的中点，∴BE＝DE，∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠BEC＝∠DEC＝90°．在△BEC与△DEC中，∵，∴△BEC≌△DEC（SAS）∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE，∴∠ABC＝∠ADC，∴④∠ABC＝∠ADC；②AC平分∠BCD正确．故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△BEC≌△DEC．13．（2019·巴彦淖尔市临河区第五中学八年级期末）如图，ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为A．4 B． C．15 D．8【答案】B【分析】连接AO，根据S△ABC=S△ABO+S△AOC，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】连接AO，如图，∵AB=AC=5，∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB•OE+AC•OF=OE+OF=12，∴OE+OF=，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是解题的关键.二、填空题14．（2021·全国八年级课时练习）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．【答案】，，．【分析】通过旋转至，可得是等边三角形，将放在一个三角形中，进而求出各角大小。【详解】解：将逆时针旋转，得到，

∵，是等边三角形，且旋转角相等，则,∴是等边三角形.则又∵∴故以线段三边构成的三角形为所以故答案为：.【点睛】此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转的应用是解题的关键.15．（2021·江苏八年级专题练习）如图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于，则①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中，正确的有__________．【答案】①②④⑤【分析】证明△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB＝120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM＝CN，进而可证明⑤正确，问题得解．【详解】解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正确；∠CBD＝∠AEC，∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，③错误；在△ACM和△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，④正确；∠AMC＝∠DNC，②正确；CM＝CN，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，⑤正确；故答案为：①②④⑤【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识，本题中证明△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解题的关键．16．（2020·鄱阳县第二中学）若等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，则腰长为__________．【答案】12cm【分析】分两种情况：6cm为底时和6cm为腰时分情况计算，再根据三角形三边关系验证，即可得到结论．【详解】解：当6cm为底时，∵等腰三角形的周长为30cm，∴腰长为（30-6）÷2=12cm，此时三边长为12cm，12cm，6cm符合三角形三边关系，∴此时腰长为12cm；当6cm为腰时，腰长为6cm，底边18cm；此时三边长为6cm，6cm，18cm，∵6+6=12<18不符合三角形的三边关系，∴综上所述，腰长为12cm；故答案为：12cm．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，注意要分类讨论以及验证三角形的三边关系看是否符合题意．17．（2020·广东中山一中八年级期中）如图，中，，AD平分，点E线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若，则的周长是___．【答案】24cm【分析】由AB=AC，AD是△ABC的角平分线，根据三线合一的性质，可得BD=CD，又由点C在AE的垂直平分线上，可得AC=CE，继而可得AB=CE，则可得△ABC的周长为2DE．【详解】解：∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE∵AB=AC，AD平分∠BAC∴BD=CD∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE∵DE=12cm∴AB+BC+AC=AB+BD+AC+CD=2×12=24cm即△ABC的周长等于24cm故答案为：24cm．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．18．（2020·新疆生产建设兵团第三中学八年级期中）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．【答案】70【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.【详解】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为70.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.三、解答题20．（2020·江苏工业园区·）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，求证：DE=2AB．【分析】取ED的中点O，连接AO，可证得∠AOE=2∠D，∠EBC=∠D，∠AOE=2∠EBC，可得∠ABD=∠AOB，AB=OA，可证得结论.【详解】证明：取ED的中点O，连接AO，∵∠CAD=90°，∴OD=AO=OE，∴∠AOE=2∠D，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠D，∴∠AOE=2∠EBC，∵∠ABD=2∠EBC，∴∠ABD=∠AOB，∴AB=OA，∴DE=2AB=2OA．【点睛】本题主要考查平行线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定和性质,解题的关键在于作出斜边DE上的中线,求证OA=AB即可.21．（2020·三台县潼川初级中学校八年级月考）如图，△ABC中，AC的中垂线交AB，AC于点D，E，点D是AB的中点，判断△ABC的形状，并写出理由．【答案】△ABC是直角三角形【分析】连接CD，根据题意得到AD=BD=CD，得到，然后根据三角形内角和即可判断．【详解】△ABC是直角三角形，理由如下：连接CD，如下图所示：∵AC的中垂线交AB，AC于点D，E∴CD=AD∴∵点D是AB的中点∴BD=AD∴CD=BD∴∵∴即∴△ABC是直角三角形故答案为：△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记等边对等角，等角对等边是本题的关键．22．（2018·无锡市第一女子中学中考模拟）四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=120°，求证：BD=AD+CD．【分析】首先延长AD到E，使DE=DC，连接CE，由∠ADC=120°，可得∠1=60°，再有DE=DC可根据有一个角是60°的等腰三角形是等边角形证出△DEC是等边三角形，同理证出△ABC也是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB=CB，DC=CE，∠3=∠4=60°，进而得到∠BCD=∠ACE，再证明△BCD≌△ACE，得出BD=AE，由AE=AD+DE，DE=DC进行等量代换可得BD=AD+CD．【详解】证明：延长AD到E，使DE=DC，连接CE，∵∠ADC=120°，∴∠1=180°−120°=60°，∵DC=DE，∴△DEC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边角形)，∴DC=CE,∠4=60°，∵∠ABC=60°，AB=CB，∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边角形)，∴AC=CB,∠3=60°，∴∠3=∠4=60°，∴∠3+∠5=∠4+∠5，即：∠BCD=∠ACE，∵在△BCD和△ACE中：，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD=AE(全等三角形对应边相等)，∵AE=AD+DE=AD+DC，∴DB=AD+DC.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.23．（2019·湖南开福·明德华兴中学八年级月考）已知等腰三角形的周长为32.（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式；（2）求当x10时，三角形的面积【答案】（1）y=32﹣2x；（2）48.【分析】（1）根据等腰三角形的定义直接写出函数解析式即可；（2）先求得底边长，再利用勾股定理求得高的长，然后利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由题意可得底边长y关于腰长x的函数解析式为：y=32﹣2x；（2）当x=10时，y=32﹣20=12，则底边上的高=，故三角形的面积为.【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义与性质，函数的解析式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.24．（2019·广东梅县·八年级期末）如图，在中，，是上一点，，过点作的垂线交于点.求证：.【分析】首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC=∠EBD，然后根据等腰三角形三线合一性质即可证明．【详解】解：证明：∵.∴∵∴在中与中，∵,∴（HL）∴,∴（三线合一）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出∠EBC=∠EBD，是解题的关键．25．（2020·江西南昌·八年级期中）已知：如图所示，在中，平分，求证：．【分析】在AB上截，连结DE，则可证得，可得∠AED=∠C=2∠B，ED=CD，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE=DE=CD，可得结论．【详解】证明：在AB上截，连结DE，在△ADE和△ACD中，，，，∵∴，又，，，【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是在AB上截构建全等三角形．26．（2021·平顶山市第四十二中学）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）等腰三角形，理由见解析【详解】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝DC．（2）△OEF为等腰三角形理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF．∴△OEF为等腰三角形．27．（2021·全国八年级专题练习）如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接CE、BD、CD，∠BDC＝60°．（1）①求证BD＝CE；②求∠DCE的度数；（2）如图2，点P是BC中点，连接DP，求的值．【答案】（1）①见解析；②120°（2）【分析】（1）①根据旋转的性质，证明线段及角相等，从而证明BD=CE；②通过角度的转换，∠DCE=180°-（∠CDE+∠CED）；（2）延长DP到K使PD=KP，连接CK作等边三角形DMC，连接AM，利用三角形全等证明线段相等．【详解】（1）①∵△ADE和△ABC为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE；②∵△BAD≌△CAE，∴∠AEC=∠ADB，∴∠AEC+∠CED=60°，∴∠ADB+∠CED=60°，∵∠CBD=∠ADE=60°，∴∠ADB=∠CDE，∴∠CDE+∠CED=60°，∴∠DCE=120°；（2）延长DP到K使PD=KP，连接CK作等边三角形DMC，连接AM，

在△DPB和△KPC中，∴△DPB≌△KPC(SAS)，∴CK∥BD，CK=BD，DK=2PD，与①同理得△DAM≌△DEC，∴CE=AM，由①得BD=CE，∴AM=CK，∠AMD=∠ECD=120°，∵CK∥BD，∴∠DCK=120°，在△KCD和△AMD中，∴△KCD≌△AMD(SAS)，∴AD=KD，∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．28．（2021·山东牡丹·）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（l）求证：BE＝CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE；

（2）判断出△ABF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF，根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD垂直平分BC，

∴BE=CE；（2）证明：∵BF⊥AC，∠BAC=45°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，∴△AEF≌△BCF（ASA），

∴AE=BC．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，熟记各性质是解题的关键．29．（2019·河南信阳·八年级月考）如图，已知中，，，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以的速度运动若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．经过2秒后，求证：≌若的周长为18cm，问经过几秒钟后，为等腰三角形？【答案】经过1秒或秒或秒时，是等腰三角形．【分析】经过2秒后，，则，，结合已知可得，，，即可根据SAS可证得≌．由≌可得，再根据三角形的外角即可得证．可设点Q的运动时间为是等腰三角形，则可知，，，，再根据的周长为18cm，得出,当为等腰三角形时，分三种情况从而求得t的值即可．【详解】解：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，有，，则，，是AB的中点，，，，又中，，，在和中，，≌≌设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有，的取值范围为，则，，的周长为18cm，

，要使是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：当时，则有解得：当时，则有解得：当时，则有解得：三种情况均符合t的取值范围．综上所述，经过1秒或秒或秒时，是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．30．（2019·全国八年级课时练习）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．(1)点E、F分别为AB、AC上的中点，请按要求作出满足条件的△ABC图形并证明：DE＝DF；(2)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(3)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝AF，见解析．【分析】（1）画图并证明△AED≌△AFD，可得DE＝DF；（2）如图①，证明△BDE≌△ADF，可得BE＝AF；（3）如图②，证明△EDB≌△FDA，可得BE＝AF．【详解】（1）如图，连接AD．∵∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD．∵点E、F分别为AB、AC上的中点，∴AEAB，AFAC．在△AED和△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF；（2）连接AD，如图①所示．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°．∵点D为BC的中点，∴ADBC＝BD，∠FAD＝45°．∵∠BDE+∠EDA＝90°，∠EDA+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF．在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（3）BE＝AF．证明如下：连接AD，如图②所示．∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°．∵∠EDB+∠BDF＝90°，∠BDF+∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA．在△EDB和△FDA中，∵，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE＝AF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．31．（2019·重庆市育才中学八年级期中）已知等腰三角形中，点为中点，点是延长线上一动点，点是延长线上一动点连接、，且．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，、、三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．【答案】（1）见解析；（2）不满足（1）中的结论，，证明见解析．【分析】（1）连接AD，设AF交DE于G，通过证明≌（AAS），得出BE=AF，即可得出结论；

（2）连接AD，取AC的中点G，连接DG，通过证明≌（AAS），得出AE=GF，即可得出结论．【详解】证明：（1）连接，设交于，如图所示，∵，，∴，∵点为中点，∴，，，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴≌（AAS），∴，∵，，∴．（2）不满足（1）中的结论，，理由如下：连接，取的中点，连接，如图所示，∵，，∴，，∵点为中点，∴，，∴，，即是等边三角形，∴，，∴，，同（1）得，在和中，，∴≌（AAS），∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．32．（2019·河南郑州·八年级月考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，将△ABC沿BC翻折，点A落在点D处，点P是射线上的一动点，以AP为边在其右侧作等边△APQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，连接DQ，BP与DQ的数量关系是，DQ与AC的位置关系是.（2）当点P在线段BC延长线上时，(1)中的结论还成立吗?若成立，请补全图2，并说明理由．若不成立，请说明理由．【答案】（1）BP=DQ；DQ⊥AC（2）成立，理由见解析；【分析】（1）连接AD，证明△ABP△ADQ,可得BP=DQ；延长DQ交AC于点M，利用等