数学与生活：勾股定理-经典趣题探究

经典趣题探究同学们知道吗？我国古代还有一个数学家曾经用勾股定理的方法测量过太阳的高度呢！古代数学专著《周髀算经》中就记载了这则被人们所称道的“陈子测日”故事.有一次荣方和陈子问答，陈子说：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并开方而除之，得邪至日者.”（古汉语“邪”也作“斜”解）这句话的主要意思就是：将勾、股各平方后相加，再开方，就得到弦长（如图）.他的的这段话，不仅解决了太阳高度的计算问题，而且还最早表述了勾股定理.这充分证明，我国最迟在陈子所处的年代，就已经发现并运用了勾股定理.陈子测日

那么，究竟陈子是如何借助勾股定理来测量太阳的高度呢？他的测量方法原理如下图所示：那我得认真看看，不仅了解测量太阳高度的故事，还知道什么是相似三角形！

还真有点难，我得仔细看看！由于当时的科学水平还很低，陈子误把椭球形的地球当作平面；所以求出的日高与实际距离相差很远.然而，他的测日法所反映的数学思想及测量水平在世界上却是遥遥领先的，而且他的测量方法（后来叫做重差术）至今仍被使用着，因此，人们称陈子为测量学之祖.一定要认真观察两个形状相同的三角形对应的边，它们不是长度相等，而是成相同的比例，相信同学们能通过努力解决好这个问题.在古代，有一个鲁国人拿着长长的竹竿进城，但因为竹竿太长，横着竖着拿都过不了城门.后来有个老人告诉他让他把竹竿截断了，这个鲁国人这才进了城.这个故事告诉我们，要从多角度思考问题.咦，老师，你说这个故事跟今天讲的数学课有什么关系啊？《截竿进城》的故事当然有关系啦！我这里有一道数学题，就藏在这个故事里呢！清华大学教授许莼舫先生将《截竿进城》的寓言略加改写，用诗歌的形式编写出来，收入他的《古算趣味》这本书中：“笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹；横多四尺竖多二，没法急得大声哭；有个自作聪明者，教他斜竿对两角；笨伯依言试一试，不多不少刚抵足；借问竿长多少数，谁人算出我佩服.”同学们，“竿长多少”，你会算吗？老师，这个问题好像有点难呢，能给我解释一下吗？其实这个问题不难哦，只要大家读懂意思，然后稍微分析就可以得出结论.快来看看下面的分析过程吧！

《截竿进城》中其实就是知道斜边，而直角边可以用一个未知数来表示，然后用勾股定理即可求得竹竿长.一个周末的傍晚，美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德在郊外散步，欣赏黄昏的美景.他走着走着，突然发现附近有一个小男孩蹲在那里画着什么，好奇心驱使伽菲尔德走过去，他想搞清楚这个小孩到底在干什么.只见这个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他在干什么？只见那个小男孩头也不抬地回答：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀.”小男孩接着又问道：“如果两条直勾股定理与美国总统角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不加思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，他无法解释，心里不好受.于是，伽菲尔德立即回家，潜心研究小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.

美国总统的计算方法和我们所讲的方法类似，也是用计算面积的方法从梯形面积和直角三角形面积和的计算中发现勾股定理.

一天，小明和妈妈去动物园，动物园里动物可真多呀！有老虎、狮子、猴子、孔雀等各样的动物.小明把带着的香蕉扔给树上的猴子，结果两只猴子从不同的地方同时抢到了香蕉，小明感觉非常好奇，他用刚学习的数学知识很快求出了这棵树的高度，我们来看一下解决过程.巧算树高中要注意勾股定理的灵活应用，用一个未知数表示几个有关系的量.

巧算树高

下面的练习题中，也可以利用升旗的绳子呀，用绳子和旗杆加上地面组成直角三角形不就能求出来吗？只要你能开动脑筋，总能想出很多好方法！思维挑战（2）当雄壮的国歌声响起，我们都表情肃穆地看着国旗冉冉升起，你有没有突发奇想，想测量一下旗杆的高度？同学们，你能用你所学的知识计算出你们学校旗杆的高度吗？（3）有一只小鸟在一棵高13米的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2米/秒的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？思维挑战（2）提示：知道绳子的长度，把绳子拉直然后测量绳子头和旗杆的距离，绳子构成直角三角形斜边，旗杆是直角边.（3）提示：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，再利用时间关系式求解.答案：6.5s.同学们，我们所学的数学知识不只是在解决数学问题中应用，在生活中的应用也非常广泛，有一个印度的数学家还把一个数学问题编成了诗歌呢！湖静风平六月天，荷花半尺出水面.忽来南风吹到莲，荷花恰在水中淹.湖面之上不复见，入秋渔夫始发现.落花距根二尺整，试问水深尺若干？直角三角形只要能知道两条边就能求出第三条边，有时候只知道一条边，另外两条边能用一个未知数表示也是可以求出来的.这个方法可以用在“巧解荷花诗”中，试试吧！真是太有意思了，诗歌中也藏着数学题.