人大微积分课件8-5隐函数的求导法则教学教案

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第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形二、方程组的情形三、由方程组确定的反函数的求导

公式隐函数存在定理1

设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy=，它满足条件并有

.隐函数的求导公式一、一个方程的情形解令则例１验证方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且时的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在的值.依定理知方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且时的函数．

.解令则例2已知求隐函数存在定理2

设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个，它满足条件

单值连续且具有连续偏导数的函数

并有：

解令则

.例3设，求解令则思路：把z看成yx,的函数对x求偏导数得，把x看成yz,的函数对y求偏导数得，把y看成zx,的函数对z求偏导数得.例4

设，求，，.把z看成yx,的函数对x求偏导数得整理得把x看成yz,的函数对y求偏导数得整理得把y看成zx,的函数对z求偏导数得整理得隐函数存在定理3

设在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）,二、方程组的情形在点不等于零，则方程组

在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，，它们满足条件,，并有解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，求

，，和.例5

设，，将所给方程的两边对求导并移项将所给方程的两边对求导，用同样方法得在的条件下，定理4设函数，在点的某邻域内连续且有连续的偏导数，又，，则该方程组在的某一邻域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反

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