课时把关练高中数学选择性RJA第一章14空间向量的应用142用空间向量研究距离夹角问题

课时把关练1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题1.已知平面的一个法向量是，点是平面内的一点，则点到平面的距离是（）A.1B.C.2D.2.已知在菱形中，，点E为的中点，点F为的中点，将菱形沿翻折，使平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为（）A.B.C.D.3.如图所示，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为（）A.33 B.233 C.3 4.在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（）A. B. C. D.5.如图所示，过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA＝BA，则平面ABP与平面CDP的夹角的大小是（）A.30° B.45° C.60° D.90°6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）A.23 B.34 C.33 D7.在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为A.B.C.D.8.在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A.四边形是菱形B.直线与直线的距离是C.直线与平面所成角的正弦值是33D.平面与平面所成角的正弦值是3069.已知直线l的一个方向向量为m=1，2，-1，若点P（-1，1，-1）为直线l外一点，点A（4，1，10.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离.（2）求直线AC到平面PEF的距离.

11.条件①：图①中tanB＝2；条件②：图①中3AD＝2AB+AC；条件③：如图②，在三棱锥ABCD的底面BCD中，CD>BD，S△BCD＝1.从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，如图①所示，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图②），点M为棱AC的中点.已知，在棱CD上取一点N，使得CN＝3DN，求平面BNM与平面BNC的夹角的余弦值.

课时把关练1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题参考答案1.C2.B3.B4.A5.B6.C7.B8.AD9.1710.解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E1,12所以EF＝-12,12,0设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z），则n·EF令x＝2，则y＝2，z＝3，所以平面PEF的一个法向量为n＝（2，2，3）.又因为DP＝（0，0，1），所以点D到平面PEF的距离为DP·nn＝0+0+3（2）因为AE＝0,12,0，所以点A到平面PEF的距离为AE·n因为AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离，为171711.解：选条件①时：在题图①所示的△ABC中，设AD＝CD＝x，在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝x3-x＝2，解得x＝2，∴BD＝如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）.∴BM＝（1，1，1）.由CN＝3DN，可得N0,12,0，∴设平面BNM的一个法向量为n＝（x，y，z），由n·BN=0,n·BM=0,得-x+12y=0,-x+y+z=0,令x＝1取平面BNC的一个法向量m＝（0，0，1），∴cos〈m，n〉＝∴平面BNM与平面BNC的夹角的余弦值为66选条件②时：在题图①所示的△ABC中，由3AD＝2AB+得2（ADAB）＝ACAD，即DC＝2BD∵BC＝3，DC＝2BD，∴CD＝2，BD＝1.以下解题过程