2024学年河北省部分校高二数学上学期期中联考试卷（附答案解析）

2024学年河北省部分校高二数学上学期期中联考试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知全集。={0,1,2,3,4,5,6,7,8},集合N={1,2,4},集合3={0,3,5,6},贝|应/）口8等于（）

A.{4}B.{7,8}C.{3,5,6}D.{3,5,6,0）

22

2.直线2x-y=0是双曲线・-q=ig>0）的一条渐近线，则。=（）

A.1B.2C.4D.16

3.直线x+后-1=0的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.已知向量方=（%」,1）,b=（l?>y,l）,?=（2,-2,2）,^alc,b//c,则x+>的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

5.已知函数/（X）是周期为2的奇函数，且当xe（O,l）时，/（x）=3J+l,则的值为（）

A.3B.-3C.-2D.2

6.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点［（2,4）,点P满足丽.方=3.过点P总可

以向以点C（5,6）为圆心、r为半径的圆作两条切线，则半径『的取值范围为（）

A.（0,V2）B.（0,272）C.（0,3亚）D.（0,472）

7.如图所示，在三棱锥尸-48C中，APB=^,PA=4,PB=3,AC-V35,5C—y/10,且平面RIBJ_

平面/3C,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

P

8.已知V48c的顶点均在抛物线Y=4了上，且几女=2也，过4&C分别作抛物线x?=4了的切

线/144，则三条切线/围成的三角形的面积为（）

35

A.血B.C.D.2

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知曲线C的方程为cose，2+sinO-y2=sinJ.cos8,ee（0,兀），则下列说法正确的是（）

A.当。==时，曲线C为直线

B.当Oe，,：］时，曲线。为焦点在>轴上的椭圆

C.当北弓,"寸，曲线。为焦点在x轴上的双曲线

D.曲线C不可能是圆

10.下列说法正确的是（）

A.在长方体/BCD-431cA中，｛4,芯,布'｝可以构成空间的一个基底

B.已知4SC三点不共线，对平面N3C外的任一点O,若点M满足而=?厉+砺+反），

则M在平面43C内

C.若向量力=加亍+切+后，则称（加,〃,左）为。在基底｛月//｝下的坐标，已知向量方在基底｛a,b,c｝

13

下的坐标为（123）,则向量/在基底税;-34+3,用下的坐标为（-5,5,3）

D.已知P4P反尸C是从点P出发的三条线段，每两条线段夹角均为60。//=&=尸。=1,若M

^^PM=PA+2PB+3PC>贝Icos〈商,万〉=噜

2222

11.已知椭圆G：三+卷=l（%>4>0）和双曲线C2：q-±=l（a2>0也>0）有公共焦点，左，右焦

点分别为用工，设两曲线在第一象限的交点为为/邛物的角平分线，〃尸，点P,。

均在x轴上，设椭圆G的离心率为q,双曲线G的离心率为《2，则下列说法正确的是（）

A.MFx-MF2=bl~b^

B.以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为2ae

C.若闺8|=6|班|,则e,e的取值范围为

23

D.若ZF}MF2=60°,

三、填空题（本大题共3小题）

2

12.设抛物线/=20x（p>0）的焦点为尸，尸（1,加）为抛物线上一点，若忸以=2,则。=.

13.已知直线4的一个方向向量为（6,。），直线4的一个方向向量为（1-“，2）,其中。力为正数，若

1』，则3。+26的最小值为.

14.已知长方体/BCD-4802中，==4，点尸为平面//DA内任一点，且点尸到

点4的距离与到面N3CD的距离相等，点民尸分别为8C,CD的中点，则三棱锥尸-的体积的

最小值为•

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知双曲线CM-/”?（加>o）的左右焦点与点（0,遍）构成等边三角形.

（1）求双曲线C的标准方程；

⑵若直线/过定点（0,1）且与双曲线C交于尸,0两点，当|尸。|=2板时，求直线/的方程.

16.一个小岛（点。）的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为1km的圆形区域内，

轮船在小岛正东方2km的3点处.以小岛中心为原点。，正东方向为x轴的正方向，正北方向为

N轴的正方向建立平面直角坐标系，取1km为单位长度.

⑴若轮船沿北偏西45。的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；

⑵若直线/过点B,且其倾斜角为直线y=的倾斜角的2倍，求/的一般式方程，并求暗礁边

界上动点P到直线/的距离的最小值.

17.在V45C中，角A.B.C的对边分别为。也c,已知（c-b）sinC=（a+6）（siiL4-sin5）.

⑴求4

（2）若〃=2,求三角形内切圆半径的取值范围.

18.如图，在四棱锥尸-45CQ中，底面45C。是正方形，PD上面4BCD,PD=AB=4,E为棱PA上

的动点.

3

⑴若石为棱尸4中点，证明：尸。〃面仍。；

2PF

⑵在棱P4上是否存在点£,使得二面角8-4的余弦值为1?若存在，求出三的值；若不

3PA

存在，请说明理由；

⑶瓦户，。分别在棱P4尸CP。上，EQ=FQ=\,求三棱锥尸-ED尸的体积的最大值.

19.已知椭圆c：1+「=l（q>6>0）的离心率为,且过点］半，过点尸（4,2）作椭圆C两条切

线，切点分别为42.

⑴求椭圆。的标准方程；

⑵求直线4B的方程；

⑶过点P（4,2）作直线/交椭圆C于。,E两点，其中点。在x轴上方，直线/交直线43于点尸.试

证明：A5.而+而・丽=0恒成立.

4

参考答案

1.【答案】D

【详解】全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},而/={1,2,4},

则为/={0,3,5,6,7,8},又B={0,3,5,6},

所以(用N)cB={3,5,6,0}.

故选：D.

2.【答案】A

【详解】直线2x-y=0是双曲线［一］=1(°>0)的一条渐近线，由直线2x-y=0的斜率为2,得

2一

一=2,所以。=1.

a

故选：A.

3.【答案】D

【详解】x+Ey-l=0化为了=一*+*

直线的斜率为-倾斜角为150°.

3

故选:D.

4.【答案】A

【详解】因为向量方=(x,l,l),1=(1,刈,c=(2,-2,2),

由贝i］2x-2+2=0,解得x=0,

由B//1，则:===：，解得y=T，贝!Jx+.v=-l.

2—22

故选：A.

5.【答案】B

【详解】因函数“X)的周期为2,且为奇函数，

Q1

故)(唾3万)=/(1暇81-logs2)=/(4-logs2)=/(-10g32),

1O&2

=-/(log32)=-(3+1)=-(2+1)=-3.

故选：B.

6.【答案】B

【详解】设P(K,y),由丽.莎=3，贝I(f-y)-(2-x,4-y)=3,x(x-2)+y(j-4)=3,

得圆(x-l>+(了-2)2=8,圆心为(1,2),半径为2行.

5

又点（5,6）与圆心（1,2）的距离为d=J（5-1丫+（6-2）2=4A/2,由于过点尸总可以向以点C（5,6）为圆

心的圆作两条切线，故两圆相离，所以0＜厂＜4行-2行，故『的取值范围为（0,2夜）.

故选：B

7.【答案】D

7T

【详解】在中，^APB--,PA=4,PB=3,:.AB^5,

■：AC=V35,BC=A/10,.-.AB1+BC2=AC2,贝UZABC=],

取的中点分别为D,。，则。。分别为△以民△NBC的外心，且。0^/3,

:平面平面48C,平面PABc平面ABC=AB,DOu平面ABC,

.1。。，平面尸/瓦因POu平面尸N3,故。O_LP。,

尸O=又oo=，8C=也,

在RtdPB中，

2222

在R3PDO中，

在Rt4/8C中，OB=-AC=—,

22

故。为三棱锥P-NBC外接球的球心，外接球的半径A=痘,

2

35

故夕卜接球的表面积S=47tR2=47tx—=35限

4

故选:D.

8.【答案】A

21222

【详解】依题意，设/（Q,——）,C（c,—）,过点A的切线4：｝/一幺=左（％-4）,

4444''

6

2

幺=左（％-4）,

联立y-47得一—4左x+4左。一/二o,

2

X二4乂

2

令A=16r-4(4版-*=0,解得左=3,故得/：＞=4-幺

、7224

22

AAce

同理可得4：y=—x---,/:y=—x------,

2243324

记《4交于点。，44交于点区44交于点尸，联立4、4的方程解得D（一,.

a+cac、»b+cbe、Ia-c1/、

同理可得必，彳),八，贝口XD~XF=~^~=~\XA~XC)-

2

22

C4]

另外直线2T化简得：AC:y=-(a+c)x-^f

AC\y----(x-a)44

4c—a

abbe

直线。尸:了-弓=a+3化简得:DF:y=*[.

F2-

如图，过点8垂直于X轴的直线交直线/C于点G,则

1

凡一为卜|#+。6若一卜2一口\ab-\-bc-ac-b

4

ab+bc-ac-b2

过点E垂直于x轴的直线交直线分于点H,解得皿=（京：）-胃

3-4

BGX

因为冬ABC=^\\-\C一盯I，S&DEF=^EH\-\XF-XD\,

所以S.DEF=；S“BC=V2,即切线围成的三角形的面积为V2.

故选：A.

9.【答案】ABC

7

jr

【详解】A选项：当e时，曲线C的方程为『=0,即y=0,故曲线C为直线，正确.

B选项：当时，方程可化为工+工=1,由cos6>sine>0,可知曲线为焦点在N轴上

I4)sin<9cos6»

的椭圆，正确.

C选项：当。€佰,兀］时，方程可化为上+上=1,由Sin6>0,cos8<0,可知曲线为焦点在x轴

上的双曲线，正确.

D选项：当6=:时，方程可化为/+必=等，可知曲线为以原点为圆心，以心为半径的圆，D

错误.

故选：ABC.

10.【答案】BCD

【详解】对于A,在长方体中，万，就，用口共面,

则｛益，就，福｝不能构成空间的一个基底，A错误；

——►1—►1—►1—►111

对于B,OM=-OA+-OB+-OC,而一+—+—=1,

333333

则”,4瓦。四点共面，从而M在平面内，B正确；

对于C,依题意，p=a+2b+3c,设.=x(，一B)+y伍+B)+z1(x,y,z£R),

x+y=1

13

贝卜y-x=2,x=-—,y=-,z=3

即(x+y)a+(>—x)b+zc=a+2b+3c9f

z=3

(--、13

因此向量力在基底｛1-仇］+仇？｝下的坐标为｛-了了3｝,C正确；

对于D,AM=PM-PA^2PB+3PC>PA-PB=PB-PC=PC-PA=1xlx1=1,

贝U画=J(2万+3画2^4PB+UPBPC+9PC=J4+12>1+90S,

AM-AB=(2PS+3PC\(PB-PA)=2PB2-2PB-'PA+3PC^-PB'-3PC~-PA

cc1c1c1,

=2-2x—F3x—3x—=1,

222

莉="丽_哂^PB+PA-2PB-PA=J1+1-2=1,

cos〈痂，刀〉=0,竺^巫,D正确.

\AM^AB\V19xl19

故选：BCD

8

11.【答案】BCD

【详解】

对于A,设闺闾=2c,|MF；|=叫摩卜〃，/用外=6,

由椭圆和双曲线定义有〃z+"=2q,机-〃=2%,

222

将两式平方得加2+*+2mn=（2a1）,m+n—2mn=（2%）~>

相加整理得/+“2=2°：+2°；,

又在丛［MF］中,由余弦定理有m2+n2-ImncosO=(2c)2,

贝Umncosd=a；+a；-2c2,即mncosO=b^-b：,

贝UAfFJ=:"“cos。=6；-6；,故A选项错误;

对于B,椭圆和双曲线一个交点M（x。,比）,由椭圆和双曲线的对称性可知,

另外三个点的坐标为（-Xo,%）,（%,-%）,

以它们为顶点的四边形为矩形，面积S=4尤0%,又点在椭圆上，

所以满足鸟+£■=1,则有S=4%%=2地x2但因42地x匡+喇=2地,

qb；\）（a；b；）

当且仅当血=普时等式成立，故B选项正确；

对于C,闺鸟|=6|"75即2c=6〃，所以〃=|>则加=2%-〃=24，

9

-43

又2a=m-n=2a-—<2c,所以《<,即q〉z,

2i3

又G<1,所以qe1

_2c_2c2

3，3e

°?2a2°2c3-e,，则的2-01.

22al---l--e13-e

1331r

令，=3-。，1€（2,：），9=3-/,则e©=3（3”=3】。+9：6t=3^z^1_6

函数y=f+；在[2,：）上单调递减，所以e0eg,|],故C选项正确；

对于D,由MP为/邛明的角平分线，MQVMP,易知M。为△耳勺外角平分线,

MFX_PF\_PF\__PFr_PF'+PF?2c

_

则由角平分线性质定理有~MF\~~PF\即砺_~MF\~MF{+MF2一或一6

由外角平分线性质定理有^=器,QF^=QFL=QF\-QF^=2L=e

2

2尸2MF?.MF「MF、-MF2~2a2~

由%+〃=2%,加一〃=2%可得m=a{+a2,n=a1-a2,

22222

代入加2+n-2mncosO=(2c>即m+n-mn=(2c),整理可得4c=+3a；,

-134

所以方+万=4,

6%

1,213、1

则e；+e；=/+

A十域74

当且仅当e；=6e；时取等号,故D选项正确;

故选：BCD.

12.【答案】2

【分析】由抛物线的焦半径公式可得.

【详解】因尸。,加）在抛物线V=2px（p>0）上，所以|尸尸|=1+5=2,故。=2,

故答案为：2

13.【答案】7+4白

【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零.

可得6(1—0)+2a=0,gp2a+b=ab,所以?+1=1,

ba

10

由。>0/>0得34+26=卜+号(3“+2匕)=7+殳+黑27+4月.当且仅当生=”取等号.

\abJabab

故答案为：7+46

14.【答案】4

【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

设尸(O,y,z),:平面44Q£»_L平面/3CZ),

.•.点P到面/2C。的距离为点P到直线的距离

...由抛物线的定义可知：z=；/+i,

易知£(4,2,0),尸(2,4,0)C(4,4,2),

：.EF=(-2,2,0),西=(0,2,2),

,、[EF-n=-2x+2y=0

设元=(”/)是平面跖£的其中一个法向量，则一_',

•方=2》+2z=0

令z=l,得<>=-1,

z=l

平面屏G的法向量为访=(-1,-1,1),

又丽=(-2,y-4,z),则尸到平面可。的距离

所以d的最小值为26，

♦.•点瓦厂分别为BC,CD的中点且N8=/。=4,CG=2,

G尸=C\E=EF=A/22+22=2V2,

所以三棱锥尸-瓦。的体积的最小值：VP-EFCt=1x^x^c,=1X2V3X^1X2V2X2V2X^=4.

ZA八।,AA______________C_

ABx

11

故答案为：4.

15.【答案】⑴龙2-/=1

（2）y=l,y=+1或y=—X+l-

【详解】（1）由等边三角形可知双曲线焦距为2后，

——--=1>BPa2=b2=m>•*.c2=2m>2m=（V2）2,m=1,

mm

双曲线C的标准方程为：x2-/=l.

（2）显然当直线/的斜率不存在时，直线/与双曲线不相交，

...设直线/的方程为了=区+1,

联立方程组F211b1；得（1/*-2h-2=0,

A=（-2左>一4（1-r）（—2）=-4/+8>0,解得左e卜亚，后）,

由韦达定理可知,

BPk2（3后2-5）=0,

解得左=0或土史.

3

所以直线/的方程为y=l,y=M5x+1或y=一"^尤+1.

33

16.【答案】（1）轮船没有触礁风险，理由见解析.

3

（2）4x-3y-8=0；jkm

【详解】（1）由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆。的方程为：/+/=1.

轮船航线所在直线过点（2,0）,所在直线的倾斜角为135。，斜率为-1,直线方程为了=-（尤-2）,

即尤+了一2=0.

2

原点到轮船航线所在直线的距离为4==V2>1,

Vi2+i2

所以，轮船没有触礁风险.

（2）记直线/的倾斜角为a,直线y=的倾斜角为月,

14

贝Utan/?=^，左=tana=tan2/?=—

12

4

直线/的方程为：y=-(x-2),其一般式方程为:4%—3〉一8=0.

831

易知原点到直线/的距离为d=

忑+425

直线/与圆O相离,

Q3

圆上动点P到直线/的距离的最小值为：|-l=|(km).

17.【答案】(1)/='

⑵Y

【详解】(1)因为(。一6卜出。=(4+6)0政一51115),

由正弦定理得：(c-b)c=(a+b)(a-b),整理可得C2+1—Q2=A,

c2+b2-a2be_1

则cosA=

2bc2bc-2

TT

且0<4<兀,故

(2)由余弦定理/=〃+c2—2bccos/,即4=/+。2一6。，

整理可得4+36C=3+C)2.

设三角形内切圆半径为『，贝

i]S=g(a+6+c)r=-bcsinA,

2

日nbesinA百(b+c)2-4百

即r=------------二—.---------二—•(6+c-2)，

2+b+c62+b+c6

a2473

2K----——产'——

由正弦定理可知sirUV33•

2

4-73.•^-B

b+c=2RsinB+27?sinC=-----sinB+sin=迪凡3+——cos/>

3322

7

=4——sin5+—cos5=4sin[5+..

22

因为3小，牛jr

，则8+1可得6+c=4sin]8+e«2,4],

6

所以厂=々.9+c-2)e0,

6

18.【答案】⑴证明见解析:

13

PF1

⑵存在满足条件的点£,

PA3

⑶2

3

【详解】(1)连接NC交8。于。，则为三角形中位线，易知47//犯,

又因为EOu平面£08上，PCU面EBD,所以尸C〃面EAD；

P

(2)以。为原点，以D4所在直线为x轴，DC所在直线为V轴，DP所在直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，可得。(0,0,0)4(4,0,0),3(4,4,0),尸(0,0,4),苏=(4,0,-4),

由£为棱P4上一点，设而=4方=(42,0,-42),042W1,

读=丽+而=(42,0,4-42),丽=(4,4,0).

设平面EAD的法向量为力=(a,b,c),

亢DE=0,42(z+(4-4A)c=0,

由＜_可得

元DB=04a+4b=0,

令。=%,则4=2-1,则元=(4—1,1—%,%).

取平面月。E的法向量为而=(0,1,0),

则二面角8-的平面角c满足：

,।同司”42

cosa=4।，=/^==—,

同•同J(__l)2+(l_「)2+423

14

化简得：322+2A-l=0,解得：义=；或4=-1（舍去），

故存在满足条件的点E,此时PF?=；1

PA3

（3）因为VF_PED=V"D-PEF，

可知三棱锥。-PE尸体积最大时，即S△阳最大，在以石。中，由余弦定理有:

EQ2=PE2+PQ2-2PE-PQCOSZEPQ,

nT#PQ2-41PE-PQ+PE2-1=0,

设尸。=x,贝!!》2—正尸后"+依2-1=0，

由题可知：该方程有实根，贝l]A=2P£2-4（尸炉一1）20,解得尸EW&，

同理可得尸尸4行.

设点。到平面尸环的距离为〃，则由等体积法得到：jc=—CD，

—x—x4^2x4V2xxd=-x—x4x4x4,解得：d=.

322323

当SAW最大时三棱锥。-尸石尸体积最大，即三棱锥尸-「皮）体积最大，

最大体积为：V=—•—•V2•>/2•-4"=—■

32233

19.【答案】（1）.+金=1

42

（2）x+J-1=0

⑶证明见解析

C_y[2

a一2'/=4,

【详解