2024新高考数学基础知识梳理与练习：圆锥曲线

1、椭圆

。温馨提示

1.椭圆标准方程的形式是:左边是“平方"+"平方”,右边是1.

2.椭圆的标准方程中,必与y2对应的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上,简记为

“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”.

3.方程《+《=l(a>b>0)与我

+卷=l(a>b>0)表示的椭圆大小、形状都相同,只是焦点的位置不同(图形位置

不同).

4.只有以椭圆的中心为原点,焦点所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系这样得

到的椭圆方程才是椭圆的标准方程.

当4=B时,该方程为圆的方程。

模块十五：圆雉曲线

椭圆的定义

L椭圆的定义

我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大+的点的轨迹叫做

F1,F2|F2F2|)

椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.焦距的一半称

为半焦距.2.椭圆定义的集合描述

设点M是椭圆上的任意一点，点F1,F2是椭圆的焦点，则由椭圆的定义知，椭圆可以视

为动点M的集合P={M|为匕|+IMF2I=常数常数>IF/2I>。}.

2椭圆的方程

L椭圆的标准方程

定义\PF1\+\PF2\=2a(2a>\F1F2\>0)

图形

标准方程x2y2y2x2

-2H—2—1(a>b-oH—T—1(a>b

crb"erb"

>0)>0)

隹占

八、、八、、匕(一G0),F2(G0)匕(0,—c),&(0,c)

a,b,c的关a2—b2=c2

系

2.椭圆的一般方程

当ABCH0时，方程4/+旷=。可以变形为［+卷=1,由此

AB

可以看出方程4/+By2=C表示椭圆的充要条件是ABCH0,且A,B,C同

号,4HB,此时称方程A/+By2=C为椭圆的一般方程.求椭圆方程时可以将方程

设为4/+By?=1(4>0/>0,4HB)，这样可以避免对焦点位置的讨论.无法确定

椭圆的焦点位置时，可3.共焦点的椭圆系方程考虑这种形式。

1)与椭圆/+/=l(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为壬+

y2

,+2=l(a>b>0,丸>一/)；

•椭圆的范围

1.从椭圆的方程或图形中可以直接看出它的范围.

2.在处理椭圆的一些参数问题或最值问题时要注意居y的取值范围.

•知识拓展

若巳,尸2是椭圆的焦点,p是椭圆上与F1,F2不共线的一点，在△巳PF2中，设IPF/

=r1,\PF2\=r2,^PF1F2=a,Z-PF2F1=0,贝Ue=::黑.

。名师点睛

1.圆和椭圆是两种不同的曲线，圆不是椭圆的特殊情况.

2.椭圆的扁平程度仅由离心率e的大小确定，与椭圆的焦点位置无关.2)与椭圆《+

*=l(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为痣+/=Ka>b>0,无>-X).见到

“离心率相同的椭圆”时注意4.相同离心率而储圆箕方程讨论焦点在x轴还是y轴.

与椭圆捺+5=1S>b>0)有相同离心率的椭圆方程为捺+3=玲3>0，焦点在

%轴上)或^+卷=卜2也2>0,焦点在y轴上).

3椭圆的几何性质

标准方程%2y222

―2H—2—1(a>b-2H——1(a>b

crb’erb’

>0)>0)

范围\x\<a,\y\<b\x\<b,\y\<a

对称性关于％轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点坐标(土a,0),(0,±b)(±b,0),(0，士a)

半轴长长半轴长为a,短半轴长为b,a>b

离心率e=-

a

椭圆的离心率

1.椭圆的焦距与长轴长的比£叫做椭圆的离心率，用e表示，即e

a

C

=1

2.离心率的取值范围

3.离心率对椭圆形状的影响：

1)e越接近1,c就越接近a，从而b就越小,椭圆就越扁.

2)e越接近0,c就越接近0,从而b就越接近a，椭圆就越圆.

4.e与a,b的关系：e=£=

a7卜必

解析要使椭圆C上存在点P，使/-F1PF2=120。,只需点P在椭圆C的短轴的端点处

时,满足^F1PF2>120°.

根据椭圆的对称性，

在Rt△POF2中,乙OPF2>60°.

则tanzOPF2=粽^2V5,即短，5，则c>43b，所以c2>3(a2-c2)，即4c2>3a2,

所以椭圆的离心率.又0<e<l,所以椭圆C的离心率的取值范围是

a2

即，

。温馨提示

\X1-x2\=J(町+%2)2-4X1X2,

M—及1=J(乃+丫2)？-4yly2-

。焦点三角形图形

椭圆的通径及有关最值

1.通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得

的线段称为椭圆的通径,其长为—.

a

2.最值a-c<\PFt\<a+c,a-c<\PF2\<a+C（P为椭圆上任一点）.

1）椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点,到中心距离最大的点是长轴的两

个端点.

2）椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的最大值为a+c,距

离的最小值为a-c.

3）对于椭圆上的点P/F1PF2随着点

P从长轴端点向短轴端点移动而逐渐变大，当点P在短轴端点处时,乙F1PF2最大.

2222

4）b<\PFi|­\PF2\<a,b-c<PF\

-PF^<b2.

22

例已知椭圆=l（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2，若椭圆C上存在点

P,使乙乙P&=；20。,求椭圆C的离心率的取值范围.

6关于椭圆的几个重要结论

1.弦长公式可以直接求出两交点坐标，利用两点间距离

设直线与椭圆交于4（%力力）,8（如丫2）两点，则公式求\AB\.\AB\-

22

J（1+/）（盯一犯）2=y/1+k-+X2）-4x^2或网=J0+卷）（月_y2）2=

•J（月+y2f-4yly2（k为直线斜率,0）.2.焦点三角形

1）P为椭圆（+《=1（a>b>0）上异于长轴端点的点，匕,F2为两个焦点，则

2

△F1PF2称作焦点三角形.若/-F1PF2=a，则△F1PF2的面积SAF：PF1=btan^.

2)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，巳,&为椭圆的两焦点，则△PF/2的

面长为2(a+c).

3)过焦点％的弦AB与椭圆另一个焦点&构成的的周长为4a.3.椭圆的

切线

椭圆/+/=l(a>b>0)上一点POo，y。)处的切线方程为贵+矍=1.可由圆/+

22

y-r(r>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程xox+yoy=产类比得到.

。知识拓展

设4、B是椭圆：+£=1(a>b>0)上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同

于4B的任一点,若直线PA,PB的斜率分别为的也，则自•七=一泉

4.点与椭圆的位置关系

对于椭圆(+《=l(a>b>0)，我们有:⑴Pg,y0)在椭圆内部=§+:<1；(2)

P(M，yo)在椭圆外部Q§+,>1；⑶P(x0,y0)在

椭圆上=尊+?=1.可由点P(x0,y0)与圆/+y2=产6>0)的位置

5.椭圆中斜率乘积为定值的问题

1)椭圆/+3=Ma>b>0)长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连

线的斜率之积为-匕

(T

2)设4B是椭圆/+，=l(a>b>0)上关于原点对称的两点，点P为该椭圆上不同

于4B的任一点房直线PA,PB的斜率分别

为ki，七,贝U忆水2二一~^2■

2、双曲线

双曲线的定义

1.双曲线的定义

一般地，平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于IF.FJ）

的点的轨迹叫做双曲线（如图所示）.两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点；IF/2I=2c

叫做双曲线的焦距.

焦点的距离不相等

温馨提示

当IPF^I-\PF2\=2a时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.

当\PFj\-\PF2\=-2a时，点P的轨迹为靠近巳的双曲线的一支.

注:⑴若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;（2）若2a>2c,则轨迹不存

在;（3）若2a=0,则轨迹是线段匕砖的垂直平分线2双曲线定义的集合描述双曲线

是点集。

设点M是双曲线上任意一点，点巳,尸2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲

线可以视为动点M的集合P={M\\\MF1\-\MF2\\=常数，常数大于0且小于

1匕心1}・

2双曲线的标准方程和几何性质

。温馨提示

标准方程/y2y2/

=>0,b>0)=l(a>0,b>0)

a2b2滔一庐

标准方程

范围|x|>a,yGR|y|>a,xGR

隹占

八'、，、'、匕（一c,0）,F2（C,0）巳（0,-c）,Fz（O，c）

顶点A1Q—a,0）,52（a，0）A1（0,—a）,A2{0,a）

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点对称

线段44叫做双曲线的实轴,它的长M〃2l=实、虚2a;线段B/2叫做双曲线的

虚轴,它的长|当&|轴长=2b（a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长）

焦距焦距I匕Fzl为2c,c是半焦距

离心率

渐近线方程

y-+-xy_±%％

1.双曲线的标准方程中,才与V的系数哪一个为正，焦点就在哪一个轴上,简记为

“焦点跟着正项走

2.只有以双曲线的中心为原点，且以两定点所在直线、两定点的连线段的中垂线

为坐标轴建立平面直角坐标系,这样得到的双曲线的方程才是双曲线的标准方程.

将标准方程中右边"1"变为"0"即可得到双曲线的渐近线方程。

。知识拓展

如图，设匕、F2是双曲线的焦点,P是双曲线上与匕、/2不共线的一点在

△F1PF2中，设IP匕I=r1,\PF2\=r2,zPF1F2=a,/-PF2F1=0,^F1PF2=6，贝U氤=

卫=①,8+戊+0=兀,所以上」=三以=a=一。+位

sincesin0ysinp—sinasin62a|sina—sin^|

3双曲线的离心率

1.定义

双曲线的焦距与实轴长的比£叫做双曲线的离心率，用e表示，即e=」

ClCL

2.e的范围:e>l.由c>a得e>l./越大，直线y=，%的倾斜角越y

3.e的几何意义:e是表示双曲线张口

大小的一个量,e越大，张口越大.

2=寻=府二=加口，当

ee(1,+00)时,2e(0,+8),具e增大也增大，渐近线与实轴的夹角也增大.

CLCL

若一个双曲线的实轴与虚轴分别是另一个双曲线的虚轴和实轴，则这两个双曲,

线是共轨的,其中一个双曲线是另一个双曲线的共聊双曲线。

。证明结论2

不妨设点P在第一象限,在△PF1F2中，令\PFt\^m,\PF2\=壮乙=a•由双曲

2222

线定义知m-n=2a，平方得m+n-2mn=4a⑴,由余弦定理得\?^2\-

22222

\PF1\+\PF2\—2\PF1\\PF2\cosa4c=m+n—2mncosa(2)，由(2)-(1)得

2b2

222

4c—4a=2mn(l—cosa)，即2b=mn(l—cosa),・•・mn二,3仇，又^AF,PF2二

112b2-sina=b2.号写=匕，即S=两种特殊的双曲线焦

-mnsma=-AFPF

221—cosa2smz,tanj*Jtan-

点在y轴上时，方程为一/二也1.等轴双曲线可以统一设成/-y2二

A（AW0）.

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其中焦点在无轴上的等轴双曲线的方程

为/-y2=q2（q>0），离心率e-四,渐近线方程为y二土无，它们互相垂直.

2,共胡双曲线

双曲线《一/=l（a>0,b>0）的共甄双曲线方程为《一5=1（a>0,b>0），它们

有共同的渐近线，其方程为y=±?尤,它们的离心率七,02满足关系式看+专=1.

双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通

径.通径长为空.

a

关于双曲线的几个重要结论

1.弦长公式

设直线与双曲线交于aapyjBOz.yz）两点，

则\AB\-J（1+N）（Xz-久2）2=y/1+k2-］（与+肛）2_4孙％2或

+专）（月-丫2）2=J1+总•J（力+丫2了一4yly2（k为直线的斜率,kH0）.

2.焦点三角形

已知匕,尸2是双曲线/一5=Ma>°，入>0）的两个焦点,P为双曲线上一点（异于

顶点），则△F1PF2称作焦点三角形.若^F1PF2=a,则△F1PF2的面积SAF：PF2=

tan2

3.基础三角形:如图所示，在△40B中,|。川=a,\AB\=b,\OB\=c.tan^AOB=-.

a

4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.

5.双曲线的切线可由椭圆的切线方程类比得到.

双曲线《一/=l（a>0,b>0）上一点POo,y°）处的切线方程是簧一翳=1.6.双

曲线划界平面区域“°

对于双曲线，卷=l（a>0,b>0），我们有：

POofo）在双曲线内部（与焦点共区域一］>1；

POo，yo）在双曲线外部（与焦点不共区域）0：一:<1.

7.P是双曲线?l（a>0,b>0）右支上不同于实轴端点的任意一点，匕、F2

分别为双曲线初左、右焦点、,1为八PFF2内切圆的圆心，则圆心/的横坐标恒为定

值a.

3、抛物线

抛物线的定义

L抛物线的定义定点不在定直线上.

平面内与一个定点F和一条定直线Z（FWZ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定

点F叫做抛物线的焦点定直线I叫做抛物线的准线.

2.抛物线定义的集合描述

设点M是抛物线上任意一点，抛物线的焦点为F，准线为I,

。温馨提示

点M到准线I的距离为d,则由抛物线的定义知，抛物线可以视

1.抛物线的定义的实质可归为动点M的集合P={M||MF|=d,d>0}.抛物线是一

个点集.结为"一动三定":一个动点，设为M;一个定点F叫

2抛物线的有关概念**

做抛物线的焦点;一条定直

名称

弦连接抛物线上任意两点的线段,叫做抛物线的弦

焦点弦过抛物线焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦

通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径

焦半径抛物线上一点P和焦点的连线,叫做点P的焦半径

焦准距抛物线的焦点到它的准线的距离，叫做焦准距

线I叫做抛物线的准线;—个定值，即点M与点F的距离与点M到直线I的距离之

比等于1.

2.注意定点F不在定直线I上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直

线I的一条直线.例如与点F(-1,0)和到直线I：x=—1的距离相等的点的轨迹是x

轴.

3抛物线的标准方程与几何性质

-P对抛物线开口大小的影响

1.对于抛物线y2=2px(p>0)来说,p值越大,|y|也越大,抛物线的开口也越大.

2.对于抛物线/=2py(p>0)来说,p值越大,|久|也越大,抛物线的开口也越大.

y2=2px(p>O')y2--2px(p>x2-2py(p>0)x2=—2py(p>

'0)0)'

图形

顶点0(0,0)

范围x>0,yERx<0,yERy>0,xERy<0,xER

对称轴%轴y轴

p的几何意义:抛物线焦点到准线的距离。对于抛物线/=2PHp>0）,p值越大,

抛物线的开口越大.

唱。）〃T，o)尸（或〃o，T）

Pp

准线X-X=—y=Yy--

22/2

离心率e=1

焦准距

通径长2p

M(x0,yo)的焦半|MF|\MF\\MF\\MF\=§一

径Ypp

=2一=y0+2yo

抛物线的焦点弦的性质

以抛物线/=2Pxe>0）为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,F是抛

物线的焦点,4（山,力）,8（尤2，丫2），4B在准线上的射影为为、为,则有以下结论：

2

p7

1）与无2=彳，%丫2=-P；

2］若直线AB的倾斜角为。，且4位于%轴上方,B位于%轴下方，则\AF\=

l-cos3l+cos6

3）\AB\=x1+x2+p=/（。为直线ZB的倾斜角），抛物线的通径长为2p，通径是最

短的焦点弦；

4）SAAOB-^为直线43的倾斜角）；

5）7AF\+1^1=-，为定值；

\AF\\BF\p

6）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；

7）以4尸（或BF）为直径的圆与y轴相切；

8）以4/［为直径的圆与直线相切,切点为凡44/当=90。；9）4。,为三点共线,

B,。,4三点也共线.

5关于抛物线的几个重要结论**

L弦长公式

设直线与抛物线交于4(久力y)B3,丫2)两点，则

-求过抛物线y2=2px(p>0)上一点的切线方程

2

由点p⑴,月)01H0)在抛物线y=2px(p>0)上，得yj-2Pxi，设过点P(x7,y7)

的切线方程为y-yi-k(x-xj，将X=*代入得ky2-2py+2py-2pkx=0,由

/p12

d=(-2p)2-4k-(2py-2pkx)=0得(k%-p)2-0,■.k--(yH0)，从而切线

11yi1

方程为y-y；=—(x-x)，化简得y%-胃=px-P%1，又置=2pxyy-

yi2ltt

2Pxi=px—pxTyy1=p(x+.

2.点与抛物线的位置关系

2

对于抛物线y=2px（p>0），我们有P{x0,y0）在抛物线内部<=>y0<2px0-,P（<x0,y0）

在抛物线外部<=>yo>2px（）;P（Xo，yo）在抛物线上<=>近=2px0.3.抛物线的切火

过抛物线y2=2Px（p>0）上的点28，力）的切线方程是y^y=p（x+町）.抛物线

y2=2px（p>0）的斜率为k的切线方程是y=kx

222

\AB\=+k\x1-久a/=V7+k•Jo：］+x2）-4x^2或

2

\AB\=+专）（乃-丫2）'=Jl+专•J（%+y2）-4yly2（k为直线的斜率,k丰。\

+察k手0）.

2

4.若抛物线y=2px（p>0）在点P式孙力）和P2（x2,y2）处的两条

（焦点弦）,分别过4B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论:

1）点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线i-.y=~r，

2)两切线互相垂直，即PA1PB；

3)PF1AB;

4)点P的坐标为(亨，一方.

【知识拓展】

切线交于点M(x0,y0)，则x0=管,=号2

5.如左图所示,AB是抛物线x2=2py(p>0)的过焦点的一条弦

1、圆雉曲线综述：

联立方程设交点,韦达定理求弦长;变量范围判别式,曲线定义不能忘;

弦斜中点点差法,设而不求计算畅；向量参数恰当用,数形结合记心间.

★2、直线与圆锥曲线的位置关系

⑴直线的设法:

(1)若题目明确涉及斜率，则设直线:y=kx+b，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论;

(2)若题目没有涉及斜率或直线过(a,0)则设直线:xmy+a，可避免对斜率进行讨

论(2)研究通法:联立得:++bx+c-0

b

判别式：d=炉-4ac,韦达定理x1+x2--[盯％2=£

22

(3)弦长公式:|Z3|=-x2)+(力-丫2)2=Vi+k\x!-x2\

]

(1+/)•[(%]+-4打孙]=1+忘[(乃+ya)2-4yly2】

3、硬解定理

设直线y="+0与曲线奈+7=1相交于4(无力力)、B(x2,y2')

(y—kx+cp

由(n+mk2>)x2+2k(pmx+m((p2—n)=0

(nx+my=mn

22

判别式：△=4mn(n+mk—(p)韦达定理：x2+x2-2如“、，与肛=~~半

由：%-X2\=[(町+犯)2-4打尤2，代入韦达定理：%-X2\1£2*44、点差法：

若直线，与曲线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN中点,MN的斜率为kMN,则:

在椭圆多+^=l(a>b>0)中，有k，MN'~一~2；

(ZuXQCT

在双曲线m一号二1(。>b>0)中，有kj^N•—=；

(T〃XQ(T

2

在抛物线y=2px(p>0)中，有kMN•y。二p.证明:(椭圆)

设M、N两两点的坐标分别为(%i，yD、(x2fy2),

(1)-(2),得簪+簪=0

.y2-yiy2+yi_b2

2

%2-％1X2+X!a'

又•••“q，丝y/y_b2

X2—X1X1+X22xxxa?'

X5、平移构造齐次式:(圆锥曲线斜率和与积的问题)

(1)题设:过圆雉曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于4、B，在直线PA

和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问

题.(2)步骤:(1)将公共点平移到坐标原点(点平移:左加右减上减下加)找出平移单

位长.(2)由(1)中的平移单位长得出平移后的圆雉曲线C',所有直线方程统一写为：

加久+ny=1(3)将圆雉曲线C展开，在一次项中乘以mx+ny-1，构造出齐次式.

(4)在齐次式中，同时除以广，构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积

(和工

【课本优质习题汇总】

新人教A版选择性必修一P112

5.比较下列每组中椭圆的形状,哪一个更接近于圆？为什么？

il）9x2+y236^^+^^1；i2）x2+9y236^^+^^1.

新人教A版选择性必修一P115

6.如图，圆。的半径为定长r,A是圆。内一个定点,P是圆。上任意一

（第6题）

点.线段AP的垂直平分线I和半径0P相交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨

迹是什么？为什么？

新人教A版选择性必修一P115

9.如图,。P1%轴,垂足为。，点M在DP的延长线上，且瞿

（第9题）

=｝当点P在圆/+y2=4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

10.一动圆与圆/+y2+6x+5=0外切，同时与圆必+旷2—6%一％=0内切,求动

圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线.

新人教A版选择性必修一P116

11.如图，矩形ABC。中,|4B|=2a,\BC\=2b(a>b>O).E,F,G,H分别是矩形四条边

的中点,R,S,T是线段。尸的四等分点,R',S',T'是线段CF的四等分点.证明直线ER

与GR'、ES与GS'、ET与GT'的交点L,M,N都在椭圆5+，=l(a>b>0)上.

(第11题)

新人教A版选择性必修一P116

13.已知椭圆(+9=1，直线l-4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，使得：

(1)它到直线I的距离最小？最小距离是多少？

(2)它到直线I的距离最大？最大距离是多少？

14.已知椭圆9+9=1，一组平行直线的斜率是1.

(1)这组直线何时与椭圆有两个公共点？

(2)当它们与椭圆有两个公共点时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条

直线上.

新人教A版选择性必修一P121

3.已知方程二-二=1表示双曲线，求利的取值范围.

2+mm+1

4.双曲线/一(=l(a>0)的两个焦点分别是匕与&，焦距为是双曲线上的

一点，且|MF7|=5,求\MF2\的值.新人教A版选择性必修一P127

5.如图，圆。的半径为定长r,4是圆。外一个定点,P是圆。上任意

O,

,A

(第5题)

一点.线段ap的垂直平分线I与直线0P相交于点Q,当点P在圆。上运动时，点Q

的轨迹是什么？为什么？

新人教A版选择性必修一P127

n2

10.设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线/:%=—的距离的比是

C

求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状.

£a(a<c),

新人教A版选择性必修一P128

11.M是一个动点,MA与直线y=x垂直，垂足A位于第一象限,MB与直线y=-久

垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OZMB(。为原点)的面积为3,求动点M的轨

迹方程.

12.设椭圆，+1=l(a>b>0)与双曲线?—1=1的曷心率分别为G，02，双曲线

的渐近线的斜率小于苧，求知和的取值范围.

新人教A版选择性必修一P128

13.已知双曲线/-『=1,过点PQ,1)的直线1与双曲线相交于4B两点,P能否是

线段的中点？为什么？

14.已知双曲线3=1与直线l\y-kx+m(kH±2)有唯一的公共点M,过点M

416

且与I垂直的直线分别交左轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运动时，求点

P(x,y)的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.如果推广到一般双曲线,能得到什么相

应的结论？

新人教A版选择性必修一P138

4.两条直线y-kx^W-y--kx分别与抛物线y2=2Px(p>0)相交于不同于原点的

4B两点,k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？

5.已知圆心在y轴上移动的圆经过点4(0,5)，且与x轴、y轴分别交于

B(x,0),C(0,y)两个动点求点M(x,y)的轨迹方程.

新人教A版选择性必修一P138

5.如图,M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点以Fx为始边、FM为终边

的角ZxFM=60°，求\FM\.

(第6题)

6.如图，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于两点,求证:OA1OB.新人教A

版选择性必修一P139

9.从抛物线/=2px(p>0)上各点向x轴作垂线段,求垂线段的中点的轨迹方程，并

说明它是什么曲线.

新人教A版选择性必修一P139

11.已知4B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M,且直线AM

的斜率与直线BM的斜率的差是2,求点M的轨迹方程.

新人教A版选择性必修一P139

12.已知抛物线的方程为V=4%直线I绕其上一点P(-2,l)旋转，讨论直线I与抛物

线y2=心的公共点个数，并回答下列问题：

[1]画出图形表示直线I与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线I与抛物线只

有一个公共点时是什么情况？

(2)/=4x与直线I的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？

13.设抛物线产=2px(p>0)的焦点为F,从点F发出的光线经过抛物线上的点M

(不同于抛物线的顶点)反射,证明反射光线平行于抛物线的对称轴.新人教A版选

择性必修一P145

(2)与圆/+y2=1及圆/+丫2一8%+12=0都外切的圆的圆心在Q

(A)椭圆上(B)双曲线的一支上

(C)抛物线上(D)圆上

3.当a从0。到180。变化时，方程久2+y2c0sa=1表示的曲线的形状怎样变化？

新人教A版选择性必修一P145

5.设抛物线的顶点为。，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B,C两点，经过

抛物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q.求证:|PQ『=\BC\\OQ\.

6.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线/=2Px(p>0)的焦点，另外两个顶点在

抛物线上,求这个等边三角形的边长.

新人教A版选择性必修一P145

7,已知P是椭圆16x2+25y2=1600上的一点,且在无轴上方，匕,分别是椭圆的

左、右焦点，直线PF2的斜率为-443，求△PF1F2的面积.

8.如图,从椭圆5+《=l(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，

(第8题)

垂足恰为左焦点B.又点A是椭圆与无轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴

的交点，且AB//OP,\F^\=410+遮，求椭圆的方程.

9.已知A,B两点的坐标分别是(一1,0),(1,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜

率之和是2,求点M的轨迹方程.新人教A版选择性必修一P146

12.在抛物线y2=4x上求一点P，使得点P到直线y-x+3的距离最短.

13.当m变化时，指出方程(m-l}x2+(3-m)y2-(m-1)(3-m)表示的曲线的

形状.

新人教A版选择性必修一P146

16.过抛物线V=2px(p>0)的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，以AB为直径

画圆,观察它与抛物线的准线I的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如

何？你能证明你的结论吗？

新人教B版选择性必修一P141

(4)已知椭圆的方程为m2/+4m2y2=1,其中租为大于零的实常数，求这个椭圆的

焦点坐标与离心率.

⑸设动点M到定点F(2,0)的距离与它到直线I:%.的距离之比为w，求点M的轨

迹方程.”

新人教B版选择性必修一P143

(3)已知椭圆5+卷=l(a>b>0)的左焦点为F,直线久=一9.设P是椭圆上的一

点求P到F向距离与P到直线/的距离之比.’

(1)设动点M到定点F(—c,0)的距离与它到直线上久=一?的距离之比为9a>c>

0,求点M的轨迹方程，并用得到的轨迹方程解释2.5.2中向3得到的结果：

(2)已知点B(6,0)和C(-6,0)，过点B的直线I和过点C的直线m相交于点A，设直

线I的斜率为如，直线m的斜率为k2加果目的〜三,求点、A的轨迹方程,并说明此

轨迹是何种曲线.

⑶已知点4(1,1),而且％是椭圆?+?=1的左焦点,P是椭圆上任意一点，求

\PFi\+\PA\的最小值和最大值.

新人教B版选择性必修一P155

(2)已知双曲线的一个焦点是(5,0)，一条渐近线方程为3x-4y=0,求这个双曲线

的标准方程和离心率.

(3)当实数2H0时，方程3=4表示的都是双曲线，这些双曲线的共同点是什么?

新人教B版选择性必修「P156

已知双曲线两顶点间的距离是6,两焦点的连线被两顶点和中心四等分,求双曲线

的标准方程.

(5)求证:双曲线的焦点到其渐近线的距离等于半虚轴长.

新人教B版选择性必修一P157

⑶设动点M到定点F(3,0)的距离与它到直线Z:x=|的距离之比为求点M的轨

迹方程."~

(4)已知双曲线(一3=l(a>0,b>0)的左焦点为F,直线上久=一?.设P是双曲线

上的一点求P至力尸的距离与P到直线/的距离之比.

⑸已知尸力巳是双曲线1一(=1的两个焦点，点M在双曲线上,如果丽1而弓，

求△MF/2的面积.‘

(1)如果过点(6,0)的直线与过点(-6,0)的直线相交于点M,而且两直线斜率的乘

积为a,其中a。0.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)讨论M的轨迹是何种曲线.

(2)设动点M到定点F(-c,0)的距离与它到直线的距离之比为?其中

c>a>0,求点M的轨迹方程，并用得到的轨迹方程解释2.6.2中例3得到豺结果.

新人教B版选择性必修一P162

⑸已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线1:%+6=0的距离小2,求点M的轨迹

方程.新人教B版选择性必修一P166

(3)从抛物线y2=2Px(p>0)上各点向x轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程,并

说明轨迹是什么曲线.

(4)已知抛哽门顶点是坐标原点。，对称轴为x轴,焦点为F,抛物线上的点4的横

坐标为2,且~FA-OA^16，求此抛物线的方程.

⑸已知抛物线y2=16x和点4(4,0)，点M在此抛物线上运动，求点M到点A的距离

的最小值，并指出取得最小值时点M的坐标.

2

⑹设抛物线y=2px(p>0)上一点M的横坐标为x0，证明M到抛物线焦点的距

离为工。+］并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论.

新人教B版选择性必修一P167

(1)已知抛物线y2=4%,且P是抛物线上一点：

⑴设F为抛物线的焦点,4(6,3)，求\PA\+\PF\的最小值，并求出取得最小值时点P

的坐标；

(2)设M的坐标为(m,0)，求\PM\的最小值(用m表示)，并求出取得最小值时点P

的坐标.

(2)已知抛物线的顶点在原点焦点为尸(-3,0)，设点A(a,0)到抛物线上的点的距离

的最小值为，求f(a)的表达式.新人教B版选择性必修一P173

(1)已知斜率为2的直线AB过抛物线y2=8x的焦点，求弦AB的长.

(2)已知直线l\y-x-3与抛物线C-.x2--8y相交于4B两点，且。为坐标原点.

(1)求弦长\AB\以及线段AB的中点坐标；

(2)判断OA1OB是否成立,并说明理由.

(3)已知直线I的斜率与双曲线C的渐近线的斜率相等，求证:直线/与双曲线C最多

只有一个公共点.

(4)求过点4(0,p)且与抛物线y2=2P久(p>0)只有一个公共点的直线的方程

⑸已知斜率为2的直线I与抛物线y2=4x相交于A.B两点，如果线段AB的长等

于5，求直线I的方程.

⑶过抛物线y2=8x的焦点F的一条直线与此抛物线相交于A,B两点，已知4(8,8),

求线段的中点到抛物线准线的距离.新人教B版选择性必修一P174

⑺垂直于无轴的直线与抛物线y2=4x交于两点，且\AB\=4A后,求直线AB的

方程.

(3)过抛物线的焦点的一条直线与它交于P,Q两点过点P和此抛物线顶点的直线

与抛物线的准线交于点M,求证:直线MQ平行于此抛物线的对称轴.

(3)过抛物线的焦点F的一条直线与此抛物线相交于P1,P2两点.求证：以PH为直

径的圆与该抛物线的准线相切.

⑴设抛物线O.y2=4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线1与C相交于4,B两点,

求过点4B且与C的准线相切的圆的方程.

新人教B版选择性必修一P176

9.已知等腰三角形ABC的顶点是4(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，求另一个端点

的轨迹方程.

新人教B版选择性必修一P177

13.已知△ABC的三边AB,BC,CA满足

2\BC\=\AB\+\CA\,\AB\>\CA\,

且CQ,O)，求点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

14.若方程(3-d)x2+(a+l)y2+a2-2a-3-0是双曲线的方程,求实数a的取值

范围.

15.已知双曲线的离心率等于手,且双曲线与椭圆。+==1有公共焦点求此双曲线

的标准方程.

新人教B版选择性必修一P177

1,已知三条直线mx+2y+8-0,4x+3y-10,2x-y-10相交于一点，求m的值.

—y+1=O,l2-.x+y+5=0,l3,.x=0,l4-.x=3四条直线所围成的图形的面

积.

3.(1)已知直线3%+(1-a)y+5=0与直线x-y-0平行，求a的值；

(2)已知直线(a-4)x+y+1-0与直线2久+3y+5=0垂直，求a的值.

新人教B版选择性必修一P178

6.光线从点”(-2,3)发出遇到x轴上一点PQ,0)后被x轴反射，求反射光线所在直

线的方程.

7.已知4(4,1),B(—3,2)，在y轴上求点C，使得△ABC的面积为12.新人教B版选择

性必修一P178

8.过点P(8,6)作圆/+y2一8久+6y=0的两条切线P