沪教版九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第26章二次函数全章复习与测试(原卷版+解析)

第26章二次函数全章复习与测试【知识梳理】1.二次函数的概念解析式形如的函数；它的定义域为一切实数；2.二次函数的图像与性质对称轴顶点开口方向变化情况直线时，开口向上，顶点是最低点；时，开口向下，顶点是最高点；当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降.直线直线直线直线【考点剖析】一．二次函数的定义（共3小题）1．（2023•杨浦区一模）下列函数中，二次函数是（）A．y＝x+1 B．y＝x（x+1） C．y＝（x+1）2﹣x2 D．2．（2022秋•宝山区校级期末）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝．3．（2022秋•黄浦区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是．二．二次函数的图象（共2小题）4．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示的抛物线y＝x2﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是．5．（2022秋•宝山区校级期末）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是．三．二次函数图象与系数的关系（共7小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜07．（2022秋•金山区校级期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是．8．（2023•普陀区一模）如果二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象如图所示，那么下列说法中正确的是（）A．m＞0，k＞0 B．m＞0，k＜0 C．m＜0，k＞0 D．m＜0，k＜09．（2023•虹口区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．abc＜010．（2022秋•嘉定区校级期末）如果抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，那么a的取值范围是．11．（2023•徐汇区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜012．（2023•杨浦区一模）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是．四．二次函数图象上点的坐标特征（共13小题）13．（2023•普陀区一模）下列函数图象中，与y轴交点的坐标是（0，1）的是（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2+1 D．y＝2（x+1）214．（2023•长宁区一模）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣115．（2022秋•徐汇区校级期末）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）16．（2023•徐汇区一模）已知点A（﹣3，m）、B（﹣2，n）在抛物线y＝﹣x2﹣2x+4上，则mn（填“＞”、“＝”或“＜”）．17．（2022秋•青浦区校级期末）已知点A（0，y1）、B（﹣1，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．18．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值为．19．（2022秋•杨浦区校级期末）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P（t，﹣t），则称点P为函数图象上的“相反点”，例如：直线y＝2x﹣3上存在“相反点”P（1，﹣1）．若二次函数y＝x2+2mx+m+2的图象上存在唯一“相反点”，则m＝．20．（2022秋•黄浦区校级期末）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，那么m＝．21．（2022秋•青浦区校级期末）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为．22．（2023•青浦区二模）已知点M（﹣1，2）和点N都在抛物线y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x轴，那么点N的坐标为．23．（2023•崇明区一模）已知点A（2，y1），B（﹣3，y2）为二次函数y＝（x+1）2图象上的两点，那么y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．24．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．25．（2023•静安区校级一模）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是．五．二次函数图象与几何变换（共6小题）26．（2023•虹口区一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2+2x沿着y轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为．27．（2023•金山区一模）将抛物线y＝2（x+4）2向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是．28．（2023•松江区一模）把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是．29．（2023•宝山区一模）将抛物线y＝x2+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+330．（2022秋•金山区校级期末）若将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向下平移3个单位，则所得到的新抛物线表达式为．31．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．六．二次函数综合题（共9小题）32．（2023•静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，联结BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．（1）求直线BC的表达式；（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D；①求新抛物线的表达式（用含m的式子表示），并写出m的取值范围；②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．33．（2023•长宁区二模）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分△ABC的面积，求点D的坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣2），在抛物线上存在点P，满足∠OBP＝2∠OBE，请直接写出直线BP的表达式．34．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标；（3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且＝时，求点E的坐标．35．（2023•杨浦区三模）已知抛物线与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），顶点为点D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果PE＝PB，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线EC、ED的距离相等，求线段EF的长．36．（2023•虹口区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点C（2，n）在该抛物线上．（1）如图，点B的坐标为（0，1）．①求点A的坐标和n的值；②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点A1，如果四边形DCAA1为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；（2）直线AC与y轴相交于点E，如果BC∥AO且点B在线段OE上，求m的值．37．（2023•崇明区二模）如图．在直角坐标平面xOy中，直线y＝﹣x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（m＞0），使点M落在△ABC内，求m的取值范围；（3）对称轴与直线AB交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当PE＝QD时，求点Q的坐标．38．（2023•浦东新区模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ax2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点D的坐标．39．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式，并写出点D的坐标；（2）将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E．此时旋转角∠EBC等于∠ABD．①求点E的坐标；②二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1的图象始终有一．部分落在△ECB的内部，求实数b的取值范围．40．（2023•青浦区二模）如图，已知抛物线经过点B（6，0）和C（0，3），与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）将该抛物线向右平移m个单位（m＞0），点C移到点D，点A移到点E，若∠DEC＝90°，求m的值；（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F，求点C到直线GF的距离．

【过关检测】一．选择题（共6小题）1．抛物线y＝﹣x2+2x﹣4一定经过点（）A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）2．在同一坐标系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（）A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点3．下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜05．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4 B．y＝2（x﹣1）2+3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2x2﹣36．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共12小题）7．如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为．8．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．9．如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b0（填入“＜”或“＞”）．10．将抛物线y＝2x2+4绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为．11．若抛物线y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则这条抛物线必经过点．12．如果抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是．13．将抛物线y＝2（x+2）2+2经过适当的几何变换得到抛物线y＝2x2﹣2，请写出一种满足条件的变换方法．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣mx+4与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点B，点A在抛物线上，点B关于点A的对称点D恰好落在x轴负半轴上，过点A作x轴的平行线交抛物线于点E．若点A、D的横坐标分别为1、﹣1，则线段AE与线段CB的长度和为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．16．已知二次函数y1＝x2+2x﹣3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．17．如图，在平面直角坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数y＝（x﹣h）2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是．18．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD＝2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y＝ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于．三．解答题（共7小题）19．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）在网格中，画出该函数的图象．（2）（1）中图象与x轴的交点记为A，B，若该图象上存在一点C，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．20．将抛物线y＝先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．21．抛物线y＝x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．22．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．23．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．（1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”；（2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”．（3）求抛物线y＝x2﹣2x+2在抛物线y＝x2+c的上方，且两条抛物线的“和谐值”为2，求c的值．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x2+（3﹣m）x经过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线C的表达式；（2）将抛物线C沿直线y＝1翻折，得到的新抛物线记为C1，求抛物线C1的顶点坐标；（3）将抛物线C沿直线y＝n翻折，得到的图象记为C2，设C与C2围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．25．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y1＝x2﹣x+n与y2＝﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y＝（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．

第26章二次函数全章复习与测试【知识梳理】1.二次函数的概念解析式形如的函数；它的定义域为一切实数；2.二次函数的图像与性质对称轴顶点开口方向变化情况直线时，开口向上，顶点是最低点；时，开口向下，顶点是最高点；当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降.直线直线直线直线【考点剖析】一．二次函数的定义（共3小题）1．（2023•杨浦区一模）下列函数中，二次函数是（）A．y＝x+1 B．y＝x（x+1） C．y＝（x+1）2﹣x2 D．【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【解答】解：A、y＝x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝x（x+1）是二次函数，故此选项符合题意；C、y＝（x+1）2﹣x2可化为y＝2x+1，不是二次函数，故此选项不合题意；D、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义，一次函数、反比例函数定义．2．（2022秋•宝山区校级期末）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键．3．（2022秋•黄浦区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是y＝﹣x2+2x+3．【分析】根据当x＝2时，y＝3，直接代入函数解析式，得出b的值，即可得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，∴3＝﹣22+2b+3，解得：b＝2，∴这个二次函数的表达式是：y＝﹣x2+2x+3．故答案为：y＝﹣x2+2x+3．【点评】此题主要考查了代数式求值，得出b的值是解题关键．二．二次函数的图象（共2小题）4．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示的抛物线y＝x2﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是3．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式计算即可求出b的值，再根据抛物线的对称轴在y轴的右边判断出b的正负情况，然后即可得解．【解答】解：由图可知，抛物线经过原点（0，0），所以，02﹣b×0+b2﹣9＝0，解得b＝±3，∵抛物线的对称轴在y轴的右边，∴﹣＞0，∴b＞0，∴b＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确识图判断出函数图象经过原点坐标是解题的解，要注意利用对称轴判断出b是负数．5．（2022秋•宝山区校级期末）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为正数，∴a＞0，故答案为a＞0．【点评】本题主要考查二次函数的图象，解题关键是要熟练掌握二次函数的性质．三．二次函数图象与系数的关系（共7小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．7．（2022秋•金山区校级期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是k＞2．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：k﹣2＞0，∴k＞2，故答案为：k＞2．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．8．（2023•普陀区一模）如果二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象如图所示，那么下列说法中正确的是（）A．m＞0，k＞0 B．m＞0，k＜0 C．m＜0，k＞0 D．m＜0，k＜0【分析】根据解析式知，m，k是抛物线的顶点坐标，再根据函数图象得出结论．【解答】解：∵y＝（x﹣m）2+k，顶点坐标为（m，k），由图象可得，m＞0，k＜0，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象找出二次函数的顶点存在的特点、性质．9．（2023•虹口区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．abc＜0【分析】根据二次函数图象的开口方向可以得到a的正负，再根据左同右异，可以得到b的正负，然后根据抛物线与y的轴的交点位置，可以得到c的正负，从而可以得到abc的正负，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故选项A正确，不符合题意；∵抛物线对称轴在y轴右侧，a＜0，∴b＞0，故选项B错误，符合题意；∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，故选项C正确，不符合题意；∴abc＜0，故选项D正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键判断出a、b、c的正负．10．（2022秋•嘉定区校级期末）如果抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，那么a的取值范围是a＜﹣2．【分析】根据抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．【点评】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．11．（2023•徐汇区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0【分析】由二次函数的图象和性质，即可判断．【解答】解：A、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，a＜0，故A不符合题意；B、当x＝0时，y＝c＞0，故B不符合题意；C、当x＝1时y＝a+b+c＜0，故C不符合题意；D、抛物线的对称轴是直线x＝﹣＜0，由a＜0，得到b＜0，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握：二次函数的性质．12．（2023•杨浦区一模）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】由题意可得抛物线开口向上，进而求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴a＞0，故答案为：a＞0．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．四．二次函数图象上点的坐标特征（共13小题）13．（2023•普陀区一模）下列函数图象中，与y轴交点的坐标是（0，1）的是（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C．y＝2x2+1 D．y＝2（x+1）2【分析】把（0，1）代入解析式，解答即可．【解答】解：A．当x＝0时，y＝2×0＝0≠1，不符合题意；B．当x＝0时，y＝2×0﹣1＝﹣1≠1，不符合题意；C．当x＝0时，y＝2×0+1＝1，符合题意；D．当x＝0时，y＝2×（0+1）2＝2≠1，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点都在该函数的图象上．14．（2023•长宁区一模）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣1【分析】假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．【解答】解：假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函数解析式得：，解得，函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝﹣2时，y＝5，故选：D．方法二：解：假设函数经过（0，﹣3），（2，﹣3），则对称轴为直线x＝1，此时y＝﹣4，函数值最小，∴函数开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，而表格中，x＝﹣2时，y＝﹣1，由题意不符，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．15．（2022秋•徐汇区校级期末）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）【分析】分别计算自变量为1、﹣1、﹣3、3所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：当x＝1时，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣16；当x＝﹣1时，y＝x2﹣8x﹣9＝0；当x＝﹣3时，y＝x2﹣8x﹣9＝24；当x＝3时，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣24；所以点（1，﹣16）在二次函数y＝x2﹣8x﹣9的图象上．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．16．（2023•徐汇区一模）已知点A（﹣3，m）、B（﹣2，n）在抛物线y＝﹣x2﹣2x+4上，则m＜n（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】由开口向下的抛物线的性质：抛物线在对称轴左侧时，图象上升，y随x的增大而增大，即可判断．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+4的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，a＝﹣1＜0，∴抛物线在对称轴是直线x＝﹣1左侧时，图象上升，y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴m＜n．故答案为：＜．【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，关键是掌握：二次函数的性质．17．（2022秋•青浦区校级期末）已知点A（0，y1）、B（﹣1，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】根据抛物线的表达式，求出对称轴，再根据二次函数的开口方向，对称性和增减性进行分析即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴抛物线的对称轴为直线，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，则当x＜1时，y随x的增大而减小，∵﹣1＜0＜1，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边，y随x的增大而增大性质，是关键．18．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值为﹣6．【分析】根据二次函数的对称性解答即可．【解答】解：∵x＝﹣3、x＝﹣1时的函数值都是﹣3，相等，∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，∵x＝﹣4和x＝0关于直线x＝﹣2对称，∴m＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．19．（2022秋•杨浦区校级期末）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P（t，﹣t），则称点P为函数图象上的“相反点”，例如：直线y＝2x﹣3上存在“相反点”P（1，﹣1）．若二次函数y＝x2+2mx+m+2的图象上存在唯一“相反点”，则m＝．【分析】将P（t，﹣t）代入y＝x2+2mx+m+2中得t2+2mt+m+2＝﹣t，即t2+（2m+1）t+m+2＝0，将二次函数y＝x2+2mx+m+2的图象上存在唯一“相反点”，转化为方程有两个相等的实数根，Δ＝0，求解即可．【解答】解：将P（t，﹣t）代入y＝x2+2mx+m+2中，得t2+2mt+m+2＝﹣t，即t2+（2m+1）t+m+2＝0，∵二次函数y＝x2+2mx+m+2的图象上存在唯一“相反点”，∴方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m+2）＝0，解得，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数、一元二次方程根的判别式，解题的关键是将函数问题转化为方程问题．20．（2022秋•黄浦区校级期末）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，那么m＝﹣1．【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m，注意二次项系数m﹣1≠0．【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，∴m2﹣1＝0，解得m＝±1，又二次项系数m﹣1≠0，∴m＝﹣1．故本题答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键，判断二次项系数不为0是难点．21．（2022秋•青浦区校级期末）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为（0，﹣5）．【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣5，∴当x＝0时，y＝﹣5，故答案为：（0，﹣5）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．22．（2023•青浦区二模）已知点M（﹣1，2）和点N都在抛物线y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x轴，那么点N的坐标为（3，2）．【分析】根据抛物线的对称性即可求得点N的坐标．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点M（﹣1，2）和点N都在抛物线y＝x2﹣2x+c上，且MN∥x轴，∴M、N关于直线x＝1对称，∴点N的坐标为（3，2）．故答案为：（3，2）．【点评】本题考查了抛物线图形上点的坐标特征，平行线的性质，明确M、N关于抛物线的对称轴对称是解题的关键．23．（2023•崇明区一模）已知点A（2，y1），B（﹣3，y2）为二次函数y＝（x+1）2图象上的两点，那么y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．【解答】解：∵y＝（x+1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．24．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1＞y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】由a＞0可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝ax2﹣2ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．25．（2023•静安区校级一模）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．【分析】把x＝0代入函数解析式求解．【解答】解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．五．二次函数图象与几何变换（共6小题）26．（2023•虹口区一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2+2x沿着y轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为y＝（x+1）2﹣3．【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1沿着y轴向下平移2个单位得函数解析式为y＝（x+1）2﹣3，故答案为：y＝（x+1）2﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．27．（2023•金山区一模）将抛物线y＝2（x+4）2向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是y＝2（x+1）2．【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：y＝2（x+4）2的顶点坐标为（﹣4，0），∵向右平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得到的新抛物线的表达式是y＝2（x+1）2．故答案为：y＝2（x+1）2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．28．（2023•松江区一模）把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是y＝（x+2）2+1．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，1），则平移后顶点坐标为（﹣2，1），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．【解答】解：∵y＝x2+1顶点坐标为（0，1），∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，1），∴所得新抛物线的表达式为y＝（x+2）2+1．故答案为：y＝（x+2）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．29．（2023•宝山区一模）将抛物线y＝x2+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+3【分析】根据左加右减的平移规律求解即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2+3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．30．（2022秋•金山区校级期末）若将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向下平移3个单位，则所得到的新抛物线表达式为y＝2（x﹣2）2．．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝2（x﹣1）2+3向下平移3个单位，所得到的新抛物线表达式为y＝2（x﹣1）2，故答案为：y＝2（x﹣2）2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．31．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．【分析】（1）根据题意，分别将x＝0，y＝0代入直线即可求得；（2）设，得到抛物线的顶点式为，将B（0，6）代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c；（3）根据题意，设P（p，0），，根据平移的性质可得点B，点C向下平移的距离相同，列式求得m＝﹣4，，然后得到抛物线N解析式为：，将B（0，6）代入可得，即可得到答案．【解答】解：（1）在中，令x＝0得：y＝6，∴B（0，6），令y＝0得：x＝﹣8，∴A（﹣8，0）；（2）设，设抛物线的解析式为：，∵抛物线M经过点B，∴将B（0，6）代入得：，∵m≠0，∴，即，将代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，整理得：，∴，c＝6；（3）如图：∵CD∥x轴，点P在x轴上，∴设P（p，0），，∵点C，B分别平移至点P，D，∴点B，点C向下平移的距离相同，∴，解得：m＝﹣4，由（2）知，∴，∴抛物线N的函数解析式为：，将B（0，6）代入可得：，∴抛物线N的函数解析式为：或．【点评】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．六．二次函数综合题（共9小题）32．（2023•静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，联结BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．（1）求直线BC的表达式；（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D；①求新抛物线的表达式（用含m的式子表示），并写出m的取值范围；②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①设点P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），设新抛物线的表达式为：y＝t（x﹣m）2﹣m+3，再用待定系数法即可求解；②当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在BC上，故点D只能在y轴右侧，当PE垂直平分AD时，则m﹣1＝2m﹣m，即可求解；当AD垂直平分PE时，则yP＝|yE|，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），则﹣4a＝﹣4，则a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则点C（0，3），设直线BC的表达式为：y＝kx+3，将点B的坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，即直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；（2）①设点P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），则设新抛物线的表达式为：y＝t（x﹣m）2﹣m+3，将点O的坐标为（0，0）代入上式得：0＝t（0﹣m）2﹣m+3，解得：t＝，则新抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2﹣m+3，（0＜m＜3）；②当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在BC上，故点D只能在y轴右侧，由新抛物线的表达式知，其对称轴为x＝m，则点D（2m，0），当PE垂直平分AD时，则m﹣1＝2m﹣m，此方程无解，即此种情况不存在；当AD垂直平分PE时，则yP＝|yE|，即﹣m+3＝﹣（m2﹣4m+3），解得：m＝3（舍去）或2，故新抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数求函数解析式、垂直平分线的性质、图象的平移等，有一定的综合性，难度适中．33．（2023•长宁区二模）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分△ABC的面积，求点D的坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣2），在抛物线上存在点P，满足∠OBP＝2∠OBE，请直接写出直线BP的表达式．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，设D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，得出，解方程求出t的值即可；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由题意可知C（0，6），∵OB＝OC＝6，∴B（6，0），∴36a+12+6＝0，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+6；（2）由（1）知抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6，故令y＝0得：0＝﹣x2+2x+6，解得：x＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．即OA＝2，记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，在△OCA中，GN∥CO，故由三角形中位线定理可得：GN＝3，ON＝1，故在Rt△BGN中，tan∠GBN＝，设D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，在Rt△BDT中，tan∠DBT＝＝，∵tan∠DBT＝tan∠GBN，∴，解得：t1＝﹣，t2＝6（舍），∴D（﹣，）；（3）①当点P在x轴上方时，在y轴上取点G（0，2），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，∵E（0，﹣2），∴OE＝OG＝GH＝2，设MH＝x，则MG＝，在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，∴（+2）2+62＝（x+6）2，解得：x＝，故MG＝＝，∴OM＝OG+MG＝2+＝，∴点M（0，），将点B（6，0）、M（0，）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，，解得：，∴直线BP的表达式为：y＝﹣x+；②当点P在x轴下方时，作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，﹣），求得直线BN的解析式为y＝x﹣，综上所述，直线BP的表达式为y＝﹣x+或y＝x﹣．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．34．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标；（3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且＝时，求点E的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，即可求解；（2）D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），△ABD的面积与△ABC的面积相等，则yD＝yC＝3，进而求解；（3）证明△EMP∽△PNA，得到，即可求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，则抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1；（2）∵D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），△ABD的面积与△ABC的面积相等，则yD＝yC＝3，则点C、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（﹣2，3）；（3）设点E（﹣1，t），过点P作x轴的垂线，交x轴于点N，交过点E和x轴的平行线于点M，∵∠APE＝90°，则∠EPM+∠APN＝90°，∵∠PAN+∠APN＝90°，∴∠EPM＝∠PAN，∵∠EMP＝∠PNA＝90°，∴△EMP∽△PNA，∴，则，解得：t＝，即点E的坐标为：（﹣1，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．35．（2023•杨浦区三模）已知抛物线与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），顶点为点D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果PE＝PB，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线EC、ED的距离相等，求线段EF的长．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，转化成顶点式即可知顶点D的坐标；（2）令y＝0，求得B（﹣1，0），设P（n，0），则E（n，﹣n2+n+2），根据已知条件得出﹣n2+n+2＝1+n，解方程即可求得E的坐标；（3）求出点E的坐标，利用待定系数法求出直线ED的表达式，可得直线ED与y轴的交点为H（0，3），则EC＝EH，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2，由y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，∴顶点D的坐标为（1，）；（2）如图，设P（n，0），则E（n，﹣n2+n+2），∵PE＝PB，∴﹣n2+n+2＝1+n，解得n1＝，n2＝1（舍去），∴点P的坐标为（，0）；（3）如图1，设直线DE与y轴交于H，∵点P的坐标为（，0），∴E（，），∵顶点D的坐标为（1，），设直线ED的表达式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线ED的表达式为y＝﹣x+3，∴H（0，3），∵C（0，2），E（，），∴EC＝EH，∵点F到直线EC、ED的距离相等，∴点F在∠CEH的角平分线上，∴EF⊥y轴，∴EF＝．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，二次函数的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握待定系数法以及等腰三角形的性质是解题的关键．36．（2023•虹口区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点C（2，n）在该抛物线上．（1）如图，点B的坐标为（0，1）．①求点A的坐标和n的值；②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点A1，如果四边形DCAA1为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；（2）直线AC与y轴相交于点E，如果BC∥AO且点B在线段OE上，求m的值．【分析】（1）①将B（0，1）代入y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3，得2m﹣3＝1，则m＝2，由y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，得A（3，﹣8）；将C（2，n）代入y＝x2﹣6x+1，可求得n＝﹣7；②由平行四边形的性质得DC∥AA1，DC＝AA1，因为AA1⊥x轴，所以DC⊥x轴，则AA1＝DC＝7，可知抛物线y＝（x﹣3）2﹣8向上平移了7个单位，所以平移后新抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1；（2）先求得B（0，2m﹣3），C（2，﹣2m﹣3），A（m+1，﹣m2﹣4），可求得直线AC的表达式为y＝（1﹣m）x﹣5，则E（0，﹣5）；设直线OA的表达式为y＝px，则﹣m2﹣4＝p（m+1），得p＝；设直线BC的表达式为y＝qx+r，则，得，由BC∥AO得﹣2m＝，即可求得符合题意的m值为﹣1+．【解答】解：（1）①∵点B（0，1）在抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3上，∴2m﹣3＝1，解得m＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣6x+1，∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，点A是该抛物线的顶点，∴A（3，﹣8）；∵点C（2，n）在抛物线y＝x2﹣6x+1上，∴n＝22﹣6×2+1＝﹣7．②如图1，∵四边形DCAA1为平行四边形，∴DC∥AA1，DC＝AA1，∵将抛物线向上平移，∴AA1⊥x轴，∴DC⊥x轴，∵C（2，﹣7），∴AA1＝DC＝7，∴抛物线y＝（x﹣3）2﹣8向上平移7个单位，∵﹣8+7＝﹣1，∴平移后新抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1．（2）如图2，抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3，当x＝0时，y＝2m﹣3；当x＝2时，y＝﹣2m﹣3，∴B（0，2m﹣3），C（2，﹣2m﹣3）；∵y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3＝（x﹣m﹣1）2﹣m2﹣4，∴A（m+1，﹣m2﹣4），设直线AC的表达式为y＝sx+t，则，∴，∴y＝（1﹣m）x﹣5，当x＝0时，y＝﹣5，∴E（0，﹣5）；设直线OA的表达式为y＝px，则﹣m2﹣4＝p（m+1），∴p＝；直线BC的表达式为y＝qx+r，则，∴，∵BC∥OA，∴q＝p，∴﹣2m＝，解得m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣，当m＝﹣1+时，则2m﹣3＝2（﹣1+）﹣3＝﹣5+2，∴B（0，﹣5+2）在线段OE上；当m＝﹣1﹣时，则2m﹣3＝2（﹣1﹣）﹣3＝﹣5﹣2，∴B（0，﹣5﹣2）不在线段OE上，∴m2＝﹣1﹣不符合题意，舍去，∴m的值为﹣1+．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．37．（2023•崇明区二模）如图．在直角坐标平面xOy中，直线y＝﹣x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（m＞0），使点M落在△ABC内，求m的取值范围；（3）对称轴与直线AB交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当PE＝QD时，求点Q的坐标．【分析】（1）由直线y＝﹣x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点，求得A（5，0），B（0，5），再将A（5，0），B（0，5）代入y＝x2+bx+c，列方程组并且解该方程组，即可求得抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5，再将该解析式配方成顶点式，可求得抛物线的顶点D的坐标是（3，﹣4）；（2）抛物线的对称轴为直线x＝3，则a＜3，将（a，﹣）代入y＝x2﹣6x+5，得﹣＝a2﹣6a+5，求得符合题意的a值为，则M（，﹣），过点M作MF⊥x轴于点F，交AB于点G，则F（，0），直线y＝﹣x+5，当x＝时，y＝，则G（，），由抛物线向上平移m个单位，点M落在△ABC内，得0＜﹣+m＜，即可求得m的取值范围是得＜m＜；（3）作PH⊥DE于点H，QL⊥DE于点L，可求得E（3，2），则DE＝2+4＝6，设Q（x，x2﹣6x+5），则P（x，﹣x+5），所以PQ＝﹣x2+5x，当点P在直线DE的左侧，可证明Rt△PHE≌Rt△QLD，得∠PEH＝∠QDL，则PE∥QD，所以四边形PQDE是平行四边形，则PQ＝DE＝6，于是得﹣x2+5x＝6，求得符合题意的得x值为2，则Q（2，﹣3）；当点P在直线DE的右侧，可证明∠HPE＝∠HEP＝45°，则EH＝DL＝PH＝x﹣3，所以PQ＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，于是得﹣x2+5x＝12﹣2x，求得符合题意的x值为4，则Q（4，﹣3）．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5；当y＝0时，则0＝﹣x+5，解得x＝5，∴A（5，0），B（0，5），∵抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点D的坐标是（3，﹣4）．（2）∵抛物线的顶点D的坐标是（3，﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∵M（a，﹣）在抛物线对称轴左侧的图象上，∴a＜3，将（a，﹣）代入y＝x2﹣6x+5，得﹣＝a2﹣6a+5，解得a1＝，a2＝（不符合题意，舍去），∴M（，﹣），如图1，过点M作MF⊥x轴于点F，交AB于点G，则F（，0），直线y＝﹣x+5，当x＝时，y＝﹣+5＝，∴G（，），∵点C与点A（5，0）关于直线x＝3对称，∴C（1，0），∵抛物线向上平移m个单位（m＞0），点M落在△ABC内，∴0＜﹣+m＜，解得＜m＜，∴m的取值范围是得＜m＜．（3）作PH⊥DE于点H，QL⊥DE于点L，直线y＝﹣x+5，当x＝3时，y＝2，∴E（3，2），∴DE＝2+4＝6，设Q（x，x2﹣6x+5），则P（x，﹣x+5），∴PQ＝﹣x+5﹣（x2﹣6x+5）＝﹣x2+5x，当点P在直线DE的左侧，如图2，∵PQ∥DE，∴PH＝QL，∵∠PHE＝∠QLD＝90°，PE＝QD，∴Rt△PHE≌Rt△QLD（HL），∴∠PEH＝∠QDL，∴PE∥QD，∴四边形PQDE是平行四边形，∴PQ＝DE＝6，∴﹣x2+5x＝6，解得x1＝2，x2＝3（不符合题意，舍去），∴Q（2，﹣3）；当点P在直线DE的右侧，如图3，∵∠PHE＝∠QLD＝90°，PE＝QD，PH＝QL，∴Rt△PHE≌Rt△QLD（HL），∴EH＝DL，∵OA＝OB＝5，∠AOB＝90°，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠HEP＝∠OBA＝45°，∴∠HPE＝∠HEP＝45°，∴EH＝DL＝PH＝x﹣3，∴PQ＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，∴﹣x2+5x＝12﹣2x，解得x1＝4，x2＝3（不符合题意，舍去），∴Q（4，﹣3），综上所述，点Q的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．38．（2023•浦东新区模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ax2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点D的坐标．【分析】（1）根据与y轴的交点C的坐标（0，﹣3）就可以求出OC的值及c的值，进而求出OA的值及A的坐标，由待定系数法就可以求出b的值而求出解析式及定点坐标；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．在Rt△AHM中，HM＝AH＝4，就可以求出AM的值，再由待定系数法求出直线AC的解析式，就可以求出点N的坐标，进而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，从而求出AE的值就可以得出结论；（3）如图2，分类讨论，当D点在AC上方时，根据角之间的关系就可以求出∠D1AH＝∠CAM，当D点在AC下方时，∠MAC＝∠AD2M就可以求出点D的坐标．【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），∴OC＝3．y＝x2+bx﹣3．∵OA＝2OC，∴OA＝6．∵a＝＞0，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C（0，﹣3）．∴A（6，0）．∴0＝36+6b﹣3，∴b＝﹣1．∴y＝x2﹣x﹣3，∴y＝（x﹣2）2﹣4，∴M（2，﹣4）．答：抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3，M的坐标为（2，﹣4）；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．∴∠AHM＝∠NEM＝90°．在Rt△AHM中，HM＝AH＝4，由勾股定理，得AM＝4，∴∠AMH＝∠HAM＝45°．设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意，得，解得：，∴直线AC的表达式为y＝x﹣3．当x＝2时，y＝﹣2，∴N（2，﹣2）．∴MN＝2．∵∠NEM＝90°，∠NME＝45°，∴∠MNE＝∠NME＝45°，∴NE＝ME．在Rt△MNE中，∴NE2+ME2＝NM2，∴ME＝NE＝．∴AE＝AM﹣ME＝3在Rt△AEN中，tan∠MAC＝．答：tan∠MAC＝；（3）如图2，①当D点在AC上方时，∵∠CAD1＝∠D1AH+∠HAC＝45°，且∠HAM＝∠HAC+∠CAM＝45°，∴∠D1AH＝∠CAM，∴tan∠D1AH＝tan∠MAC＝．∵点D1在抛物线的对称轴直线x＝2上，∴D1H⊥AH，∴AH＝4．在Rt△AHD1中，D1H＝AH•tan∠D1AH＝4×＝．∴D1（2，）；②当D点在AC下方时，∵∠D2AC＝∠D2AM+∠MAC＝45°，且∠AMH＝∠D2AM+∠AD2M＝45°，∴∠MAC＝∠AD2M．∴tan∠AD2H＝tan∠MAC＝．在Rt△D2AH中，D2H＝．∴D2（2，﹣12）．综上所述：D1（2，）；D2（2，﹣12）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，灵活运用等腰直角三角形的性质求解是难点．39．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式，并写出点D的坐标；（2）将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E．此时旋转角∠EBC等于∠ABD．①求点E的坐标；②二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1的图象始终有一．部分落在△ECB的内部，求实数b的取值范围．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式，配成顶点式可得D的坐标；（2）由①∠EBC＝∠ABD，得∠EBO＝∠CBD，根据C（0，﹣3），B（3，0），D（1，﹣4），得tan∠CBD＝＝，即可得＝，OE＝1，故点E的坐标为（0，1）；②将所给的抛物线解析式化为顶点式，可得：y＝（x+b）2﹣1，由于b值不确定，因此该函数的顶点在直线y＝﹣1上左右移动；图象始终有一部分落在△ECB的内部可考虑两种情况：①当对称轴右侧的抛物线经过点E时，求出b的值；②当对称轴左侧的抛物线经过点B时，求出b的值；根据上述两种情况下b的取值即可求得实数b的取值范围．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点D坐标为（1，﹣4）；（2）①如图：∵∠EBC＝∠ABD，∴∠EBO＝∠CBD，在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），D（1，﹣4），∴BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝，∴tan∠EBO＝，∴＝，∵OB＝3，∴OE＝1，∴点E的坐标为（0，1）；②∵y＝x2+2bx+b2﹣1＝（x+b）2﹣1，∴二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1图象的顶点为（﹣b，﹣1），∴二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1图象的顶点在直线y＝﹣1上左右移动，如图：当对称轴右侧的抛物线过E（0，1）时，b2﹣1＝1，解得：b＝﹣（舍去）或b＝；当对称轴左侧的抛物线过B（3，0）时，（3+b）2﹣1＝0，解得：b＝﹣4或b＝﹣2（舍去），由图象可得，当﹣4＜b＜时，二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1的图象始终有一部分落在△ECB的内部．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，旋转变换，锐角三角函数等知识，解题的关键是数形结合数形的应用．40．（2023•青浦区二模）如图，已知抛物线经过点B（6，0）和C（0，3），与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）将该抛物线向右平移m个单位（m＞0），点C移到点D，点A移到点E，若∠DEC＝90°，求m的值；（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F，求点C到直线GF的距离．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；令y＝0可解得点A的坐标为（﹣2，0）；（2）由平移得AC∥DE，平移距离m＝AE，证明∠CAO＝∠OCE，可得，故，即可得；（3）过点C作CH⊥GF，垂足为点H，过点G作GP⊥x轴，垂足为点P，设直线GF与y轴交于点M，将抛物线y＝﹣x2+x+3向右平移得到新抛物线y＝﹣（x﹣）2+4，得G（，4），P（，0），令y＝0得F（，0），从而PG＝PF，△GPF是等腰直角三角形，可得△MOF是等腰直角三角形，△CMH是等腰直角三角形，可求得CH＝＝，即点C到直线GF的距离是．【解答】解：（1）将B（6，0）、C（0，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；令y＝0得0＝﹣x2+x+3，解得：x＝6或x＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，0）；（2）如图：由平移得AC∥DE，平移距离m＝AE，∴∠ACE＝∠DEC＝90°，∵∠ACO+∠OCE＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠CAO＝∠OCE，∴tan∠CAO＝tan∠OCE，在Rt△ACO中，；在Rt△ECO中，，∴，解得，∴，∴；（3）过点C作CH⊥GF，垂足为点H，过点G作GP⊥x轴，垂足为点P，设直线GF与y轴交于点M，如图：∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴将抛物线y＝﹣x2+x+3向右平移得到新抛物线y＝﹣（x﹣）2+4，∴G（，4），P（，0），∴PG＝4，在y＝﹣（x﹣）2+4中，令y＝0得x＝或x＝，∴F（，0），∴PF＝4，OF＝，∴PG＝PF，∴△GPF是等腰直角三角形，∴∠GFP＝45°，∴△MOF是等腰直角三角形，∴∠CMH＝45°，OM＝OF＝，∴△CMH是等腰直角三角形，CM＝OF﹣OC＝﹣3＝，∴CH＝＝，∴点C到直线GF的距离是．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平移变换，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造等腰直角三角形解决问题．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．抛物线y＝﹣x2+2x﹣4一定经过点（）A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）【分析】分别将各点代入解析式，使解析式成立者即为正确答案．【解答】解：A、将（2，﹣4）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，﹣4＝﹣4+4﹣4，等式成立，故本选项正确；B、将（1，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣1+2﹣4，等式不成立，故本选项错误；C、将（﹣4，0）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，0≠﹣16﹣8﹣4，等式不成立，故本选项错误；D、将（3，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣9+6﹣4，等式不成立，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要知道函数图象上的点的坐标符合函数的解析式．2．在同一坐标系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（）A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y＝ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．【解答】解：因为y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．故选：D．【点评】要掌握y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点．3．下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x【分析】根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x＝0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A（0，1）．【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝3；当x＝0时，y＝3x2﹣x＝0，所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由图象开口可知：a＜0，由图象与y轴交点可知：c＜0，由对称轴可知：＜