2023届高考数学一轮复习-第6讲-双曲线

第6讲双曲线考向预测核心素养考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，双曲线的离心率和渐近线是高考命题热点；直线与双曲线是高考新的命题点.直观想象、数学运算[学生用书P231]一、知识梳理1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1，F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq\f(b2,a2).2．巧设双曲线方程(1)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4)C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)解析：选D.由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝eq\r(c2－a2)＝4，故点M的轨迹方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)．2．(人A选择性必修第一册P127习题3.2T6改编)经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝±1(a>0)，把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为eq\f(x2,15)－eq\f(y2,15)＝1.答案：eq\f(x2,15)－eq\f(y2,15)＝13．(人A选择性必修第一册P120例1改编)以椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得焦点为(－1，0)，(1，0)，顶点为(－2，0)，(2，0)．所以双曲线的顶点为(－1，0)，(1，0)，焦点为(－2，0)，(2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：x2－eq\f(y2,3)＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√二、易错纠偏1．(多选)(曲线方程中参数意义不明致误)若方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是()A．若C为椭圆，则1<t<3B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2解析：选AD.若t>3，则方程可变形为eq\f(y2,t－1)－eq\f(x2,t－3)＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为eq\f(x2,3－t)－eq\f(y2,1－t)＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.2．(忽视双曲线上的点的特征致误)已知双曲线x2－eq\f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝eq\r(17)－1，故|PF2|＝6.答案：63．(忽视焦点的位置致误)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为eq\r(3)，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，有eq\f(b,a)＝eq\r(3)，则c＝2a，此时e＝2.若双曲线的焦点在y轴上，有eq\f(a,b)＝eq\r(3)，则c＝eq\f(2\r(3),3)a，此时e＝eq\f(2\r(3),3).综上，e＝2或e＝eq\f(2\r(3),3).答案：2或eq\f(2\r(3),3)[学生用书P232]考点一双曲线的定义及标准方程(多维探究)复习指导：了解双曲线的定义及几何图形；会求双曲线的标准方程，理解两种类型的标准方程的差异．角度1双曲线的定义(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D.x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．【解析】(1)设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).【答案】(1)C(2)2eq\r(3)在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0”，则△F1PF2的面积为________．解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.答案：2双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．角度2双曲线的标准方程(一题多解)已知双曲线过点(2，3)，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，则该双曲线的标准方程是()A.eq\f(7x2,16)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,2)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(3y2,23)－eq\f(x2,23)＝1【解析】方法一：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1；若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,\f(a,b)＝\r(3)，))该方程组无解．综上，所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.方法二：设双曲线的方程为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)，则由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)－\f(9,n)＝1，,\r(\f(n,m))＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3，))所以所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.方法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，所以可设双曲线的方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2，3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x2－y2＝3，其标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.【答案】C若本例中“双曲线过点(2，3)”变为“焦距为2”，其他条件不变，则双曲线的标准方程为________．解析：由例题方法三知所求双曲线方程可设为3x2－y2＝λ(λ≠0)即eq\f(x2,\f(λ,3))－eq\f(y2,λ)＝1.又双曲线焦距为2，所以c＝1.若λ>0，方程化为eq\f(x2,\f(λ,3))－eq\f(y2,λ)＝1，所以eq\f(λ,3)＋λ＝1，所以λ＝eq\f(3,4).此时方程为eq\f(x2,\f(1,4))－eq\f(y2,\f(3,4))＝1；若λ<0，方程化为eq\f(y2,－λ)－eq\f(x2,－\f(λ,3))＝1，所以－λ－eq\f(λ,3)＝1，所以λ＝－eq\f(3,4).此时方程为eq\f(y2,\f(3,4))－eq\f(x2,\f(1,4))＝1.故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,\f(1,4))－eq\f(y2,\f(3,4))＝1或eq\f(y2,\f(3,4))－eq\f(x2,\f(1,4))＝1.答案：eq\f(x2,\f(1,4))－eq\f(y2,\f(3,4))＝1或eq\f(y2,\f(3,4))－eq\f(x2,\f(1,4))＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解．(3)常用设法：①与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．|跟踪训练|1．(多选)(2022·山东滨州期末)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的条件是()A．双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0D．双曲线的实轴长为4解析：选ABC.由题意可得焦点在x轴上，且c＝5，A选项，若双曲线的离心率为eq\f(5,4)，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(25,a2)－\f(\f(81,16),b2)＝1，,a2＋b2＝25，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,b2＝9，))此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，故D错误．故选ABC.2．经过点P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25).))故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.答案：eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1考点二双曲线的几何性质(多维探究)复习指导：了解双曲线的几何性质．角度1渐近线和离心率(1)(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.eq\f(\r(7),2) B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7) D.eq\r(13)(2)(2021·高考全国卷乙)已知双曲线C：eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一条渐近线为eq\r(3)x＋my＝0，则C的焦距为________．【解析】(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2).(2)双曲线eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±eq\f(1,\r(m))x，即x±eq\r(m)y＝0，又双曲线的一条渐近线为eq\r(3)x＋my＝0，即x＋eq\f(m,\r(3))y＝0，联立两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2eq\r(a2＋b2)＝4.【答案】(1)A(2)4角度2双曲线性质的综合应用(1)(2022·潍坊模拟)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，则eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)(2)(2022·合肥市名校联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C.2 D.eq\f(7,3)(3)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)【解析】(1)如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝eq\f(2,3)π，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×2a×4a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2.由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝eq\f(\r(3),4)|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq\r(3)a2，所以eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝eq\f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq\f(1,2).故选B.(2)设P(xP，yP)，则双曲线的焦半径|PF1|＝exP＋a，|PF2|＝exP－a，由|PF1|＝4|PF2|可得exP＋a＝4(exP－a)，即3exP＝5a，所以xP＝eq\f(5a,3e).由于点P在双曲线的右支上，则xP＝eq\f(5a,3e)≥a，从而e≤eq\f(5,3)，即此双曲线的离心率e的最大值为eq\f(5,3).(3)依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，将圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，即x＝eq\f(a2,c)，所以点P，Q的横坐标均为eq\f(a2,c).由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PQ|,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\f(c2,4)＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2,c2)))＝eq\f(a2b2,c2)，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故选A.【答案】(1)B(2)B(3)A双曲线的几何性质(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法：①求出a，b，c直接求离心率e，写渐近线方程．②列出a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．|跟踪训练|1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4eq\r(2)，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A．2 B.4C．6 D.8解析：选B.因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，两条渐近线互相垂直，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)＝－1，得a＝b.因为双曲线的焦距为4eq\r(2)，所以c＝2eq\r(2)，由c2＝a2＋b2可知2a2＝8，所以a＝2，所以实轴长2a＝4.故选B.2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：选D.由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.将x＝－1代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(b,a)，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为eq\f(b,a).由|AB|＝4|OF|可得eq\f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).3．(2022·济宁模拟)过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________．解析：因为渐近线y＝eq\f(b,a)x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且eq\r(（4－a）2＋b2)＝4，又a2＋b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1考点三直线与双曲线(综合研析)(2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－eq\r(17)，0)，F2(eq\r(17)，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x＝eq\f(1,2)上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．【解】(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2eq\r(17)，所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝eq\r(17)，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以点M的轨迹C的方程为x2－eq\f(y2,16)＝1(x≥1)．(2)设Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t))，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(k2≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－t＝k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,x2－\f(y2,16)＝1，))得(16－keq\o\al(2,1))x2－2k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))eq\s\up12(2)－16＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知16－keq\o\al(2,1)≠0，则xAxB＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq\o\al(2,1))，xA＋xB＝eq\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－keq\o\al(2,1))，所以|TA|＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))，|TB|＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))，则|TA|·|TB|＝(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))＝(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xAxB－\f(1,2)（xA＋xB）＋\f(1,4)))＝(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq\o\al(2,1))－\f(1,2)·\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－keq\o\al(2,1))＋\f(1,4)))＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,1)）（t2＋12）,keq\o\al(2,1)－16).同理得|TP|·|TQ|＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,2)）（t2＋12）,keq\o\al(2,2)－16).因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以eq\f(（1＋keq\o\al(2,1)）（t2＋12）,keq\o\al(2,1)－16)＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,2)）（t2＋12）,keq\o\al(2,2)－16)，所以keq\o\al(2,2)－16＋keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)－16keq\o\al(2,1)＝keq\o\al(2,1)－16＋keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)－16keq\o\al(2,2)，即keq\o\al(2,1)＝keq\o\al(2,2)，又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.(1)判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)弦长公式设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).|跟踪训练|已知双曲线C1：x2－eq\f(y2,4)＝1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点且过点P(4，eq\r(3))的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3时，求实数m的值．解：(1)双曲线C1的焦点坐标为(eq\r(5)，0)，(－eq\r(5)，0)，设双曲线C2的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))所以双曲线C2的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，设A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,4)＝0，,y＝x＋m，))消去y化简得3x2－2mx－m2＝0.由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2＞0，得m≠0.因为x1x2＝－eq\f(m2,3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋(2x1)·(－2x2)＝－3x1x2，所以m2＝3，即m＝±eq\r(3).[学生用书P367(单独成册)][A基础达标]1．若双曲线E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．11 B.9C.5 D.3解析：选B.根据双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．2．已知双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1解析：选D.由题意，得2eq\r(m)＝eq\r(m＋6)，解得m＝2，所以双曲线的标准方程eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.故选D.3．设双曲线x2－eq\f(y2,8)＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积为()A．10eq\r(3) B.8eq\r(3)C.8eq\r(5) D.16eq\r(5)解析：选C.依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)×8×eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))\s\up12(2))＝8eq\r(5).4．(2022·长春市质量监测)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±x B.y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D.y＝±2x解析：选C.设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝eq\f(y,x－a)·eq\f(y,x＋a)＝eq\f(y2,x2－a2)＝eq\f(y2,\f(a2y2,b2))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以其渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，故选C.5．(2020·高考天津卷)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D.x2－y2＝1解析：选D.方法一：由题知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋eq\f(y,b)＝1，而eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝0和eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.方法二：由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B，C.又知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，l过点(1，0)，(0，b)，所以eq\f(b－0,0－1)＝－1，b＝1，故选D.6．已知离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是()A．32 B.16C.84 D.4解析：选B.由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝eq\f(b,a)x上，由题意可知|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a.由S△OMF2＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.()A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq\r(n)C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线解析：选ACD.对于A，若m＞n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，因为m>n>0，所以0<eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝eq\f(1,n)，此时曲线C表示圆心在原点，半径为eq\f(\r(n),n)的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，此时曲线C表示双曲线．由mx2＋ny2＝0可得y＝±eq\r(－\f(m,n))x，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝eq\f(1,n)，y＝±eq\f(\r(n),n)，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(2021·高考全国卷乙)双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝eq\f(|3－8|,\r(12＋22))＝eq\r(5).答案：eq\r(5)9．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．解析：双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得eq\f(b,a)＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝eq\f(3,2)，b＝3，即有c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(\f(9,4)＋9)＝eq\f(3\r(5),2)，即焦距为2c＝3eq\r(5).答案：3eq\r(5)10．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是________．解析：由题意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，设F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，则eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)．因为eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，所以(－eq\r(3)－x0)(eq\r(3)－x0)＋yeq\o\al(2,0)<0，即xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0.因为点M(x0，y0)在双曲线C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，所以2＋2yeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0，所以－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))[B综合应用]11．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其中一条渐近线上的一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C．点P的横坐标为±1D．△PF1F2的面积为eq\r(2)解析：选ACD.等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq\r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得S△PF1F2＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，故D正确．故选ACD.12.如图，F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝±eq\r(\f(a2b2,b2－a2))，所以eq\r(2)·eq\r(\f(a2b2,b2－a2))＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋eq\r(2)，所以e＝eq\r(2＋\r(2)).答案：eq\r(2＋\r(2))13．(2022·陕西榆林二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为eq\f(1,2)，则C的离心率为________．解析：把x＝c代入双曲线：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)得y＝eq\f(b2,a)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，又A(－a，0)，直线AB的斜率为eq\f(1,2)，所以eq\f(\f(b2,a),a＋c)＝eq\f(1,2)，可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，因为e>1，所以e＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)14．(2022·临川一中模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1，2)，使得eq\o(PiA1,\s\up6(→))·eq\o(PiA2,\s\up6(→))＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，所以BF：bx＋cy－bc＝0，以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，因为eq\o(PiA1,\s\up6(→))·eq\o(PiA2,\s\up6(→))＝0，i＝1，2，所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(bc,\r(b2＋c2))<a，,b>a，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c4－3a2c2＋a4<0，,c2>2a2，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e4－3e2＋1<0，,e2>2，))解得eq\r(2)<e<eq\f(\r(5)＋1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(5)＋1,2)))[C素养提升]15．(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：选D.由eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，得MF1⊥MF2.不妨设直线MF2平行于双曲线的渐近线l：bx＋ay＝0，如图所示，从而得l是线段MF1的垂直平分线，且直线MF1