2024年江西省对口升学考试数学试卷真题答案解析

第1页/共1页江西省2024年“三校生”对口升学考试试题（回忆版）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，这出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷无效.3．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共70分）一、是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题做出判断.1.（）【答案】错误【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，结合特殊角的三函数值即可得解.【详解】因为，所以错误.故答案为：错误.2.已知集合，则（）【答案】正确【解析】【分析】先根据求解不等式求出集合A与集合B，然后根据交集的定义求出，即可求解【详解】在集合A中，，解得，在集合B中，，解得x>1，故集合A与集合B的交集为.故答案为：正确.3.与直线垂直的直线的斜率为．（）【答案】错误【解析】【分析】先将已知直线方程转化为斜截式，再利用两条直线垂直的性质即可得解.【详解】因为直线可化为，则其斜率为，所以与直线垂直的直线的斜率为.故答案为：错误.4.的解集为．（）【答案】正确【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以或，解得或，所以解集为.故答案为：正确.5.若椭圆的离心率为，则其长轴长为．（）【答案】正确【解析】【分析】根据离心率与椭圆的性质求得与的值，进而求长轴长.【详解】根据椭圆的离心率为，可得，则①，因为在椭圆中，，即②，根据①②两式解得：，长轴长为.故答案：正确.6.i是虚数单位，则．（）【答案】错误【解析】【分析】由复数的乘法运算分析即可.【详解】.故答案为：错误.7.“且”是“”的必要不充分条件（）【答案】错误【解析】【分析】根据必要条件、充分条件的概念分析即可.【详解】若“且”，可得出“”，故充分性成立，若“”，有可能，，或，，故必要性不成立，故“且”是“”的充分不必要条件．故答案为：错误．8.函数的最大值等于2．（）【答案】错误【解析】【分析】化简函数，进而求解.【详解】因为，故函数的最大值为2.故答案为：错误.9.正四面体相邻的两个面的夹角是．（）【答案】错误【解析】【分析】根据正四面体的性质求解二面角分析答案即可.【详解】如图，四面体为正四面体，设正四面体的棱长为a，过P作面ABC，则O为底面三角形中心，连接CO并延长，交AB于E，连接PE，则，为二面角的平面角，，，在中，，所以正四面体相邻的两个面的夹角不是．故答案为：错误.10.若A，B，C不共线，且．则（）【答案】正确【解析】【分析】由模长计算出，即可得到.【详解】，，因为，所以，即，所以.故答案为：正确.二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.11.在平行四边形ABCD中．已知点A坐标为1,2．向量，则顶点D的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据平行四边形的对边相等，列式求解点D的坐标即可.【详解】设，∵在平行四边形ABCD中，点A坐标为，向量，∴，即，∴，解得，．故选：A．12.等差数列的前n项和为，若，则（）A.30 B.28 C.40 D.42【答案】C【解析】【分析】由数列为等差数列，根据与的关系,进而求的值.【详解】因为为等差数列，又根据，可得,，解得，根据等差数列前项公式可得：.故选：C.13.将4个人分成A、B两组，每组2人，不同的分法共有（）A.3种 B.6种 C.8种 D.12种【答案】A【解析】【分析】由分组的组合数计算即可.【详解】将个人分成两组，每组人，有种不同的分法.故选：.14.若圆与x轴、y轴都有公共点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系列式计算即可得解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，又圆与x轴、y轴都有公共点，所以，则.故选：A15.为了解某职业学校师资情况，将全校教师按年龄段分成4组：，得到频数分布表如下：年龄段教师人数15201510现采用分层抽样的方式抽取若干人进行周查，若在两个年龄段中共抽取了6人，则在中抽取了（）A.1人 B.2人 C.3人 D.4人【答案】B【解析】【分析】由题意可得，先求出抽取比例，再由的人数即可求出抽取的人数.【详解】由题意可得，全校教师人数为人，再根据在两个年龄段中共抽取了6人，可得抽取比例为，故在中抽取了人.故选：B.16.已知二项式，展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出二项式的展开通项公式，再由的幂指数为确定项数，从而得解.【详解】二项式的展开式的通项公式为：，当，即时，，所以展开式中含项的系数是.故选：D.17.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由根号的性质得到，再利用三角函数的性质解不等式即可得解.【详解】要使有意义，则，即，由三角函数的性质可得，所以的定义域为.故选：A.18.《九章算术》是我国数学历史上的经典名著，书中记载了底面为梯形的直棱柱体积的算法：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺．即：将直棱柱底面梯形上下底（古谓“上下广”）和的一半乘以高，再乘以纵向长度（古谓“家”），即为所求直棱柱的体积．若一个底面为等腰梯形的直棱柱形城墙，梯形的下底长4丈，上底长2丈，纵向长126丈5尺（注：1丈等于10尺），该城墙的体积为1897500立方尺，则该城墙的高为（）A.2.5丈 B.4丈 C.5丈 D.6丈【答案】C【解析】【分析】根题题意，结合丈尺的转化得到关于该城墙的高的方程，解之即可得解.【详解】依题意，设该城墙的高为，又4丈等于40尺，2丈等于20尺，126丈5尺等于1265尺，所以该城墙的体积为，解得尺，即5丈.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共80分）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.19._______【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦公式计算求解.【详解】.故答案为：.20.如图为圆柱与圆锥的组合体，已知圆柱与圆锥的底面半径都为1，高分别为2和，则此组合体的表面积为_________．【答案】【解析】【分析】利用圆柱与圆锥的表面积公式即可得解.【详解】依题意，设圆柱与圆锥的母线分别为，高分别为，半径为，则，，，所以该组合体的表面积为.故答案为：.21.设双曲线的焦距为12，则此双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】【分析】先利用双曲线的关系与焦距求得，进而得到该双曲线的离心率，从而得解.【详解】因为双曲线的焦距为12，所以，则，又，所以，解得，则，得，所以此双曲线的离心率为.故答案为：.22.若函数值域为．则实数a的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】分析二次函数的大致图象，再数形结合即可得解.【详解】因为的对称轴为，所以在上单调递减，在0,+∞上单调递增，又，，令，得，解得或，所以的大致图象如图，结合图象可知，，则实数a的取值范围为.故答案为：.23.诺沃尔在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年、……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．则从2024年到3000年之间人类可以看到这颗彗星的次数为_________次．【答案】12【解析】【分析】根据题意，得出一个等差数列，根据等差数列求解次数即可.【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列，所以，令，即，解得，又，所以，所以从2024年开始到年，人类可以看到这颗彗星的次数为次.故答案为：.24.某年级共有4个班，每个班男女比例均为，现从每个班随机抽取一位同学参加座谈会，则抽到的4位同学中，恰好为两男两女的概率是_________．【答案】【解析】【分析】先求得每班抽取一位同学，该同学为男同学的概率，假设4个班抽到的男同学个数为，判断得，从而利用二项分布的概率公式即可得解.【详解】因为每个班男女比例均为，所以每班抽取一位同学，该同学为男同学的概率为，为女同学的概率为，设从每个班随机抽取一位同学，4个班抽到的男同学个数为，则，所以抽到的4位同学中，恰好为两男两女的概率.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29~30小题每小题9分，共50分．解答应写出过程或步骤．25.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）求AB边上的高．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形面积公式代入计算即可.（2）先由余弦定理求解边c，再由面积相等即可求解高.【小问1详解】.【小问2详解】由余弦定理可得，，所以,设边上的高为则：，解得，即：边上的高是.26.已知函数．（1）求；（2）解不等式．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）将代入函数解析式求解即可.（2）先判断出的单调性，再由指数函数的单调性求解不等式即可.【小问1详解】因为函数，所以.【小问2详解】函数的定义域为，令，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以函数在内为增函数，因为，所以，即，所以，解得或，因为，所以，即解得，所以不等式的解集为.27.在国际志愿者日（12月5日）即将到来之际，某校于11月5日举办“志愿者活动月”启动仪式．高一年级200名学生积极响应学校倡议，利用课余及节假日时间参加志愿者活动，他们这一个月参加志愿者活动次数统计如图所示．（1）求该校高一年级学生参加志愿者活动的平均次数；（2）在这200名学生中随机抽取2名学生，求他们参加志愿者活动次数恰好相差1次的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由图中的数据，根据平均数的求法，计算即可.（2）先求出其中名学生参加次，另一名参加次的事件数；再求出其中名学生参加次，另一名参加次的事件数；最后由古典概型的概率公式计算即可.【小问1详解】由图中数据可知，参加活动次、次和次的学生人数分别是；所以该校高一年级学生参加志愿者活动的平均次数为【小问2详解】在这200名学生中随机抽取2名学生，他们参加志愿者活动次数恰好相差1次；即抽出的2名学生其中名学生参加次，另一名参加次；或抽出的2名学生其中名学生参加次，另一名参加次；其中名学生参加次，另一名参加次的事件数为，其中名学生参加次，另一名参加次的事件数为，所以他们参加志愿者活动次数恰好相差1次的概率.28.已知数列为等比数列，．（1）求的值；（2）求．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得解；（2）利用（1）中结论得到，，分类讨论的值，结合等比数列的求和公式即可得解.【小问1详解】因为数列为等比数列，，设其公比为，则，则，所以.【小问2详解】由（1）得，，，，当时，；当时，；综上，当时，；当时，.29.已知正方体棱长为1，点E，F，G分别为和的中点．（1）证明：平面平面；（2）求点C到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位线定理、平行四边形的性质与平行线的传递性，结合线面平行与面面平行的判定定理即可得证；（2）利用棱锥的体积公式，结合等体积法即可得解.【小问1详解】连接，如图，因为点E，F，G分别为和的中点，所以，因为在正方体中，，所以四边形是平行四边形，则，所以，同理，，因为平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】因为正方体棱长为1，所以，，则是边长为的等边三角形，其高为，所以，设点C到平面的距离为，则由，得，解得.所以点C到平面的距离为.30.已知抛物线的准线为.（1）求抛物线C的标准方程及焦点F的坐标；（2）设O为坐标原点，点A是抛物线C上异于O的一点，直线AO与准线交于点P，过点P作平行于y轴的直线交C于点B，证明：A、F、B三点共线.【答案】（1）抛物线C的标准方程为，焦点F的坐标为