大题04 三角形的证明与计算问题（5大题型）

大题04三角形的证明与计算问题在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，且三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，其中一线三等角与手拉手模型较为常见，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.题型一：三角形角度计算的常考模型大题典例1．（2021·吉林·中考真题）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB=a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．解法指导三角形中角度计算的6种常考模型：A字模型8字模型飞镖模型老鹰抓小鸡模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鹰抓小鸡模型（二）双角平分线模型（一）双角平分线模型（二）双角平分线模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折叠模型（一）三角形折叠模型（二）三角形折叠模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2变式训练1．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究：在△ABC中，已知∠ABC=18°，∠C>∠B．(1)如图1，若D为BC上一点．连接AD，将△ABD沿着AD进行翻折后得到△AB1D，若∠ADC=47°(2)如图2，将△BEF沿EF翻折得到△B1EF，探究∠1(3)如图3，若D为直线BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD进行翻折后得到△AB1D，连接BB1．若△BD2．（2023内江六中二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)如果∠A=80°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．3．（2023·山西太原·二模）如图，在凹四边形ABCD中，∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，求∠BCD的度数．

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．请选择上述一种方法，求∠BCD的度数．题型二：全等三角形的常考模型大题典例1．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．

(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_______度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP,BE之间的数量关系，并说明理由．2．（2023·黑龙江·中考真题）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

3．（2024沈阳大东区一模）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．

【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E，使得DE=AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围是______．方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，且AC=DC，∠CAD=∠CDA，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．①∠CAE=∠DAE②AB=2AE③∠DAE=∠DAB④AE=AD【问题拓展】（3）如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE=1（4）如图4，在（3）的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F，OF=2，OE=4，则△AOC的面积是______．解法指导全等三角形的常考模型：一线三等角模型∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC∆ADB≌∆DEC∆ABC≌∆DBE一线三等角模型（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD【手拉手模型】解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”；②连接对应端点；③SAS证明全等.【倍长中线模型】【平行线中点模型与雨伞模型】变式训练1．（2024·广东汕头·一模）综合运用(1)如图1，∠ACE=90°，顶点C在直线BD上，过点A作AB⊥BD于点B，过点E作ED⊥BD于点D，当BC=DE时，判断线段AC与CE的数量关系；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)如图2，直线l1∶y=43x+4与坐标轴交于点A，B，将直线l1绕点(3)如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为(8,−6)，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y=−2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．2．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，AB=BD，点F在BE上，AF=EF，∠ABD=∠AFE．(1)在图1中找出与∠DBF相等的角并证明；(2)求证：∠BFD=∠AFB；(3)如图2，连接FD，点M在EF上，AF=kDF，∠EDF+∠MDF=180°，求AEMF．（用含k3．（2023·河南商丘·模拟预测）综合与实践【操作发现】甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是边AB上一点，连接ED．甲同学；延长ED至点F，使DF=DE，连接CF，如图2所示．∵D是BC的中点，∴BD=CD．又∵DE=DF，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（依据1：乙同学；过点C作AB的平行线交ED的延长线于点F，如图3所示．∵CF∥AB，又∵BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（依据2：）

（1）上述过程中的依据1是，依据2是．（填“SAS”“ASA”或“AAS”）【类比迁移】（2）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，连接AE，BE，AE平分∠BAD，请根据（1）中的方法，判断线段AD，AB，

【拓展应用】（3）如图5，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以A为顶点作Rt△ADE，使∠ADE=90°，∠EAD=∠CAB，AD=2，连接BE，F为线段BE的中点．将△ADE绕点A在平面内旋转，当DE∥

题型三：相似三角形的常考模型大题典例1．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．2．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含3．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°

(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA4．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE(2)若sin∠ABD=25解法指导【A字模型】【8字模型】【射影定理】【一线三等角】【线束模型】【三角形内接矩形模型】已知图示结论（性质）若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC①∆ABC~∆ADG②AD③若四边形DEFG为正方形即DGBC=AMAN则xBC=AN−xAN若已知B【三平行模型】已知图示结论（性质）若AB∥EF∥CD①1②1【手拉手模型-进阶】【扩展一】如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E，则存在多组相似三角形.【扩展二】如图，∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点不共线），连接BM、CN，两者相交于点O，则存在多组相似三角形.变式训练1．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图a，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，连接CE．(1)求证：△ABD∽△ACE；(2)若ADBD=3(3)将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度到△AD'E'(如图b)，若∠AE'B=30°，AE'=2．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图1，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，则PA的长为______；（2）如图2，∠MON=120°，点P是∠MON平分线上的一个定点，点A、B分别在射线OM、ON上，且∠APB=60°，求证：四边形OAPB的面积是定值；【拓展运用】（3）如图3，某创业青年小李租用一块形如四边形ABCD的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中AD∥BC，∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，点E为入口，点E在AB上，且AE=AD，小李计划过点E修一条垂直于CD的笔直小路EF，将田地分为两部分，四边形AEFD区域为蜂巢区，四边形BCFE区域为蜂源植物生长区，在点F处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿AF修一条笔直的小路AF，直接写出小路3．（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．【解决问题】如图①，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，求证：GECE【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质；【应用】如图②，在△ABC中，D是边BC的中点，过点G的直线分别交边AB、AC于点E、F，若AB=5，AC=3，BE=2，则CF=4．（2023·四川眉山·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，过点D作DF⊥AC，垂足于点F．

(1)求证：直线DF是⊙O的切线；(2)若⊙O半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；(3)求证：BC题型四：利用勾股定理解决三角形折叠问题大题典例1．（2022·新疆·中考真题）如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到Δ

(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．解法指导已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5变式训练1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）（1）【阅读理解】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．试判断CD与AB解决此问题可以用如下方法：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE．易证四边形ACBE是矩形，得到AB=EC，即可作出判断．则CD与AB的数量关系为________．（2）【问题探究】如图②，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若BC=2，求CE的长度．（3）【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D是边AB的中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？2．（2023·广西南宁·二模）如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．【数学活动】将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：然后将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．【数学思考】（1）折痕DE的长为；（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系；并证明你的结论；【数学探究】（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当直线GF经过点B时，AM的长为；②如图3，当直线GF∥BC时，求AM的长；【问题延伸】（4）在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，则AF的最小值为．3．（2023·江苏泰州·二模）如图1，将Rt△ABC∠A=90°纸片按照下列图示方式折叠：①将△ABD沿BD折叠，使得点A落在BC边上的点M处，折痕为BD；②将△BEF沿EF折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF；③将△DEF沿DF折叠，点E落在点E'处，展开后如图2，BD、PF、DF、DP为图(1)求证：DP∥(2)若DE'落在DM的右侧，求∠C的范围；(3)是否存在∠C使得DE与∠MDC的角平分线重合，如存在，请求∠C的大小；若不存在，请说明理由．题型五：全等三角形与相似三角形综合（几何模型）大题典例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，BE=20m，DE=2m

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1=2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE

【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测出坡比为8:15（即tan

2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：______，∠BDC=______°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP3．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：

（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN=DE；（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置；（4）延长PQ，ST交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形FPGS是矩形；③△FQT≌④四边形FPGS与△ABC的面积相等．【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别是AB，CD的中点，连接PQ．求证：【任务3】如图3，有一张四边形纸ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB=45，小丽分别取AB，CD的中点P，Q，在边BC上作MN=PQ，连接MQ变式训练1．（2023·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．(1)解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中，即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为______；(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；(3)问题解决：如图3，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB，DF，CF之间的数量关系，直接写出你的结论．2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）（1）问题呈现：如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．易知BDCE=（2）类比探究如图2，△ABC和△ADE都是Rt△，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=3（3）拓展提升：如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接BD，EC，延长EC交BD于点F，设AB=6，求EF的长．3．（2023·江苏苏州·一模）如图①，矩形ABCD，E是BC上的一点，连接AE，过E作AE的垂线交矩形外角DCF的平分线于点G，ABBE(1)若E是BC边中点．①求AEEG的值（用含k②连接AG交CD于点H，连接EH，若∠AHE=90°，求k的值．(2)若BEEC=m，请直接写出AEEG的值（用含k(3)如图②，P为边CD上一点，连接AP，PG，∠PAE=45°，若BE=1，EC=2，且PG⊥EG，求PG的长．必刷大题刷模拟1．（2023·贵州铜仁·模拟预测）如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．(1)求证：△OCP∽△PDA(2)如图2，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．2．（2024·广东·一模）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP，连接(1)观察证明如图1，当α=60①猜想BD与CP的数量关系为___________，并说明理由．②直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是___________．(2)类比猜想如图2，当α=90°时，请直接写出BDCP的值及直线BD(3)解决问题当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，3．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，△ABC中，CD⊥AB于D．AC=10cm，AD=8cm，点E在AC上，且CE=CD，连接DE，点F从点A出发，以2cm/s的速度沿AC边向终点C运动，过F作FG⊥AB于G，FH⊥CD于H，得到矩形FGDH，DE与矩形FGDH的边交于点M，连接DF，当点F不与点A、E、C重合时，设点F的运动时间为t((1)求AE的长；(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．4．（2023·吉林四平·模拟预测）【解决问题】如图①，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，点E是边AB的中点，∠DEC=90°，求证：DE平分∠ADC．（提示：延长DE交射线CB于点F）【应用】如图②，在矩形ABCD中，点F是边BC上的一点，将△ABF沿直线AF折叠，若点B落在边DC的中点E处，则sin∠BAF=【拓展】在矩形ABCD中，AD>AB，点E为边AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠，得到△FBE，延长BF交直线CD于点G，直线EF交边BC于点H．若CG=1，DG=2，直接写出HF的长．5．（2023·海南海口·模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD中，AE=EC，AE⊥BC于E，CG⊥AB于G，交AE于F．(1)①求证：△AEB≌△CEF；②若AB=5，EF=5，求AD(2)如图2，若AF=2EF，求AGGB(3)如图3，平行四边形ABCD外部有一H点，连接AH、EH，满足EH∥AB，∠H=∠ACE，请直接写出AG、AH和CG三者的数量关系．6．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知△ABC内接于⊙O，若∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于D，交BC于点E．(1)求证：BD(2)若AB=43,AC=63，试求AD刷真题1．（2023·山东·中考真题）如图，已知坐标轴上两点A0,4,B2,0，连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=

(1)求反比例函数y=kx和直线(2)将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l2．（2023·湖南郴州·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．

(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．3．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa≥90°,AF交CD于点G，探究∠GCF与

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°时，若DGCG=14．（2023·山东泰安·中考真题）如图，△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，EF⊥AD．

(1)当AF=DF时，求∠AED；(2)求证：△EHG∽(3)求证：AEEH

大题04三角形的证明与计算问题在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，且三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，其中一线三等角与手拉手模型较为常见，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.题型一：三角形角度计算的常考模型大题典例1．（2021·吉林·中考真题）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB=a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．【答案】（1）12a；（2）菱形，见解析；（3）∠BDE=45°【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD=1（2）由题意可得DF//AC，DF=12AB，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得AC=12AB，得DF=AC，则四边形（3）题中条件是“点E是射线BC上一点”，因此DF⊥AB又分两种情况，即点F与点D在直线CE的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．【详解】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB=a，∴CD=1（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB=∠ACB=90°，∴DF//AC；由折叠得，DF=DB，∵DB=1∴DF=1∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=90°−60°=30°，∴AC=1∴DF=AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD=1∴AD=DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°；由折叠得，∠BDE∴∠BDE如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠BDE+∠FDE=360°−90°=270°，由折叠得，∠BDE=∠FDE，∴∠BDE∴∠BDE=135°．综上所述，∠BDE=45°或∠BDE=135°．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．解法指导三角形中角度计算的6种常考模型：A字模型8字模型飞镖模型老鹰抓小鸡模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鹰抓小鸡模型（二）双角平分线模型（一）双角平分线模型（二）双角平分线模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折叠模型（一）三角形折叠模型（二）三角形折叠模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2变式训练1．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究：在△ABC中，已知∠ABC=18°，∠C>∠B．(1)如图1，若D为BC上一点．连接AD，将△ABD沿着AD进行翻折后得到△AB1D，若∠ADC=47°(2)如图2，将△BEF沿EF翻折得到△B1EF，探究∠1(3)如图3，若D为直线BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD进行翻折后得到△AB1D，连接BB1．若△BD【答案】(1)∠BD(2)∠1−∠2=36°，理由见解析(3)22°或137°或7°或122°【分析】（1）∠ADC=47°，求出∠ADB=180°−47°=133°，根据折叠得出∠ADB=180°−47°=133°，求出∠CDB（2）根据折叠得出∠B1=∠ABC=18°，∠BEF=∠B1EF，∠BFE=∠B（3）分情况讨论：当点D在线段BC上，当点D在线段CB延长线上时，当点D在线段BC延长线上，分别画出图形求出结果即可；本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．【详解】（1）∵将△ABD沿着AD进行翻折后得到，△AB1D∴∠ADB=180°−47°=133°，∴∠ADB∴∠CDB∴∠BDB（2）∠1−∠2=36°，理由如下：∵将△BEF沿EF翻折得到△B∴∠B1=∠ABC=18°，∠BEF=∠∴∠BFE+∠B∴∠BFE=∠B∴∠BEF=∠B∴∠1=180°−2∠BEF=180°−272°−即∠1−∠2=36°；（3）将△ABD沿AD进行翻折后得到△AB1D连接BB1，根据折叠可知BD=∴∠DBB1=∠DB若△BDB1中存在当点D在线段BC上，∠DBB∴∠AB∴∠BAB∵∠BAD=∠B∴∠BAD=∠B当点D在线段BC上，∠BDB∴∠DBB∴∠AB∴∠BAB∴∠BAD=∠B当点D在线段CB延长线上时，如图所示：∵∠ADB<∠ABC，∴∠ADB<18°，根据折叠可知，∠ADB=∠ADB∴∠BDB∴∠DBB∴此时△DBB1中的角不存在当点D在线段BC延长线上，∠BDB根据折叠可知，∠ADB=∠ADB∴∠BDA=∴∠BAD=180°−∠BDA−∠ABD=180°−25°−18°=137°，当点D在线段BC延长线上，∠BB∴∠DBB∴∠BDB根据折叠可知，∠ADB=∠ADB∴∠ABD=1∴∠BAD=180°−∠BDA−∠ABD=180°−40°−18°=122°；综上分析可知，∠BAD的值为22°或137°或7°或122°．故答案为：22°或137°或7°或122°．2．（2023内江六中二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)如果∠A=80°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【答案】(1)∠BPC=130°(2)∠Q=90°−(3)∠A的度数是90°或60°或120°【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q=90°−12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②【详解】（1）解：∵∠A=80°．∴∠ABC+∠ACB=100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠BPC=180°−1（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=1=1=1=90°+∠A，∴∠Q=180°−90°+（3）延长BC至F，

∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=1∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ，=1=1如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，则90°−12∠A=∠A④∠E=2∠Q，则12∠A=290°−综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．3．（2023·山西太原·二模）如图，在凹四边形ABCD中，∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，求∠BCD的度数．

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．请选择上述一种方法，求∠BCD的度数．【答案】∠BCD=105°，方法见解析【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E，根据外角的性质求出∠BCE=∠B+∠BAE即可解得；选择方法二：延长BC交AD于点E，根据外角的性质求出∠BED=∠B+∠A即可解得；选择方法三：连接BD，根据三角形内角和求出∠A+∠ABD+∠ADB=180°，在△BCD中，∠BCD=180°−∠CBD−∠CDB，再根据角之间的和差即可求出．【详解】解：选择方法一：如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E．∵∠BCE是△ABC的外角，∴∠BCE=∠B+∠BAE．同理可得∠DCE=∠D+∠DAE．∴∠BCD=∠B+∠BAE+∠D+∠DAE．∴∠BCD=∠B+∠BAD+∠D．∵∠BAD=55°，∠B=30°，∠D=20°，∴∠BCD=105°

选择方法二：如答图2，延长BC交AD于点E．∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED=∠B+∠A．同理可得∠BCD=∠BED+∠D．∴∠BCD=∠B+∠A+∠D．∵∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，∴∠BCD=105°

选择方法三：如答图3，连接BD．在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°．∴∠A+∠ABC+∠CBD+∠ADC+∠CDB=180°∴∠A+∠ABC+∠ADC=180°−∠CBD−∠CDB．在△BCD中，∠BCD=180°−∠CBD−∠CDB．∴∠BCD=∠A+∠ABC+∠ADC．∵∠A=55°，∠ABC=30°，∠ADC=20°，∴∠BCD=105°

【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性质、三角形内角和解题．题型二：全等三角形的常考模型大题典例1．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．

(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_______度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP,BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；135(2)PA=PE；理由见解析(3)BA−BE=2BP或【分析】（1）根据题意画图即可；先求出∠ABC=∠BAC=12×90°=45°，根据∠ABD=90°（2）根据∠APE=90°，∠ABE=90°，证明A、P、B、E四点共圆，得出∠AEP=∠ABP=45°，求出∠AEP=∠EAP，根据等腰三角形的判定即可得出结论；（3）分两种情况，当点P在线段BC上时，当点P在线段BC延长线上时，分别画出图形，求出BA,BP,BE之间的数量关系即可．【详解】（1）解：如图所示：

∵CA=CB,∠C=90°，∴∠ABC=∠BAC=1∵BD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=45°+90°=135°；故答案为：135．（2）解：PA=PE；理由如下：连接AE，如图所示：

根据旋转可知，∠APE=90°，∵∠ABE=90°，∴A、P、B、E四点共圆，∴∠AEP=∠ABP=45°，∴∠EAP=90°−45°=45°，∴∠AEP=∠EAP，∴PA=PE．（3）解：当点P在线段BC上时，连接AE，延长CB，作EF⊥CB于点F，如图所示：

根据解析（2）可知，PA=PE，∵∠EFP=∠APE=90°，∴∠EPF+∠PEF=∠EPF+∠APC=90°，∴∠PEF=∠APC，∵∠EFP=∠ACP=90°，∴△PEF≌△APC，∴EF=PC，∵∠EBF=180°−∠CBE=45°，∠EFB=90°，∴△EBF为等腰直角三角形，∴BE=2∵△ABC为等腰直角三角形，∴BA=2即BA−BE=2当点P在线段BC延长线上时，连接AE，作EF⊥CB于点F，如图所示：

根据旋转可知，∠APE=90°，∵∠ABE=90°，∴A、B、P、E四点共圆，∴∠EAP=∠EBP=45°，∴∠AEP=90°−45°=45°，∴∠AEP=∠EAP，∴PA=PE，∵∠EFP=∠APE=90°，∴∠EPF+∠PEF=∠EPF+∠APC=90°，∴∠PEF=∠APC，∵∠EFP=∠ACP=90°，∴△PEF≌△APC，∴PF=AC，∵BC=AC，∴PF=BC，∵∠EBF=45°，∠EFB=90°，∴△EBF为等腰直角三角形，∴BE=2即BE=BA+2综上分析可知，BA−BE=2BP或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论．2．（2023·黑龙江·中考真题）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

【答案】图②中FH=2FG，图③中【分析】图②：如图②所示，连接BD，HG，CE，先由三角形中位线定理得到FG∥CE，FG=12CE，GH∥BD，GH=12图③：仿照图②证明△HGF是等边三角形，则FH=FG．【详解】解：图②中FH=2FG，图③中图②证明如下：如图②所示，连接BD，∵点F，G分别是DE，∴FG是△CDE的中位线，∴FG∥CE，同理可得GH∥BD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，∴△ABD≌△ACESAS∴CE=BD，∴FG=HG，∵BD∥GH，∴∠FGH=∠FGD+∠HGD=∠DCE+∠GHC+∠GCH=∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠ACE=∠DBC+∠ABD+∠ACB=∠ACB+∠ABC=90°，∴△HGF是等腰直角三角形，∴FH=2

图③证明如下：如图③所示，连接BD，∵点F，G分别是DE，∴FG是△CDE的中位线，∴FG∥CE，同理可得GH∥BD，∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS∴CE=BD，∴FG=HG，∵BD∥GH，∴∠FGH=∠FGD+∠HGD=∠DCE+∠GHC+∠GCH=∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠ACE=∠DBC+∠ABD+∠ACB=∠ACB+∠ABC=180°−∠BAC=60°，∴△HGF是等边三角形，∴FH=FG．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．（2024沈阳大东区一模）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．

【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E，使得DE=AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围是______．方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，且AC=DC，∠CAD=∠CDA，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．①∠CAE=∠DAE②AB=2AE③∠DAE=∠DAB④AE=AD【问题拓展】（3）如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE=1（4）如图4，在（3）的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F，OF=2，OE=4，则△AOC的面积是______．【答案】（1）1<AD<5；（2）②③；（3）见解析；（4）8【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC=BE=4，由三角形的三边关系可求解；（2）由“SAS”可证△AEC≌△HED，可得AC=DH，∠ACD=∠HDC，由“SAS”可证△ADB≌△ADH，可得AB=AH，∠BAD=∠DAE，即可求解；（3）由“SAS”可证△AEO≌△CEH，可得AO=CH，∠A=∠HCO，由“SAS”可证△BOD≌△HCO，可得BD=OH，可得结论；（4）由全等三角形的性质可得S△AEO=S△CEH，【详解】解：（1）如图1中，延长AD至点E，使ED=AD．在△ADC和△EDB中，DA=DE∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDB(SAS∴AC=BE=4，∵AB=6，∴6−4<AE<6+4，∴2<2AD<<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5；（2）如图2，延长AE至H，使EH=AE，连接DH，

∵AE是中线，∴DE=EC，又∵∠AEC=∠DEH，AE=EH，∴△AEC≌△HED(SAS∴AC=DH，∠ACD=∠HDC，∵∠ADB=∠ADC+∠ACD，∠ADH=∠ADC+∠CDH，∴∠ADB=∠ADH，∵AD为中线，∴BD=CD，∵AC=CD，∴BD=DC=AC=DH，又∵AD=AD，∴△ADB≌△ADH(SAS∴AB=AH，∠BAD=∠DAE，∴AB=2AE，故答案为：②③；（3）证明：如图3，延长OE至H，使EH=OE，连接CH，

∵E是AC的中点，∴AE=CE，又∵OE=EH，∠AEO=∠CEH，∴△AEO≌△CEH(SAS∴AO=CH，∠A=∠HCO，∴AO∥∴∠AOC+∠HCO=180°，∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOC+∠BOD=180°，∴∠BOD=∠OCH，又∵CH=OA=OB，OC=OD，∴△BOD≌△HCO(SAS∴BD=OH，∴OE=1（4）如图3，∵△AEO≌△CEH，△BOD≌△HCO，∴S△AEO=S△CEH∴S∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COE+∠DOF=90°，∴∠DOF+∠D=90°，∴∠OFD=90°，∵OF=2，OE=4，∴BD=2OE=8，∴S故答案为：8．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．解法指导全等三角形的常考模型：一线三等角模型∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC∆ADB≌∆DEC∆ABC≌∆DBE一线三等角模型（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD【手拉手模型】解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”；②连接对应端点；③SAS证明全等.【倍长中线模型】【平行线中点模型与雨伞模型】变式训练1．（2024·广东汕头·一模）综合运用(1)如图1，∠ACE=90°，顶点C在直线BD上，过点A作AB⊥BD于点B，过点E作ED⊥BD于点D，当BC=DE时，判断线段AC与CE的数量关系；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)如图2，直线l1∶y=43x+4与坐标轴交于点A，B，将直线l1绕点(3)如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为(8,−6)，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y=−2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．【答案】(1)AC=CE；(2)y=1(3)4,−2或203【分析】（1）由∠ACE=90°可得∠CAB=∠ECD，根据AAS即可证明△ACD≌△CBE；（2）证明△ACD≌△BAOAAS，得到C−7,3，最后运用待定系数法求直线（3）根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y=−2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：点D在矩形AOCB的内部时和点D在矩形AOCB的外部时，设Dx,−2x+6，根据△ADE≌△DPF，得出AE=DF【详解】（1）解：如图1，∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC=∠CDE=90°，∴∠ACB+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠ECD，在△ABC与△CDE中，∠CAB=∠ECD∠ABC=∠CDE=90°∴△ABC≌△CDEAAS∴AC=CE；（2）解：∵直线l1∶y=4∴A−3,0，B∴AO=3，BO=4，如图2，过点A作AC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于点D∵将直线l1绕点B顺时针旋转45°至直线l∴∠ABC=45°，∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=90°−45°=45°，∠BAO+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵CD⊥x轴，∴∠CDA=∠AOB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠BAO，∴△ACD≌△BAOAAS∴CD=AO=3，AD=BO=4，∴OD=AD+AO=4+3=7，∴C−7,3设l2的解析式为y=kx+b，将B3=−7k+b4=b解得k=1∴l2的函数表达式为y=（3）解：当点D是直线y=−2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，如图3，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设Dx,−2x+6，则OE=2x−6，AE=6−2x−6=12−2x同1可得，△ADE≌△DPF，∴DF=AE，即12−2x=8−x，解得x=4，∴2x+6=−2，∴D4,−2此时，PF=ED=4，CP=6=CB，符合题意；当点D在矩形AOCB的外部时，如图4，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设Dx,−2x+6，则OE=2x−6，AE=OE−OA=2x−6−6=2x−12，DF=EF−DE=8−x同理可得△ADE≌△DPF，∴AE=DF，即2x−12=8−x，解x=20∴2x−6=−22∴D20此时，ED=PF=203，∴BP=PF−BF=16综上，点D的坐标为4,−2或203【点睛】本题考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，AB=BD，点F在BE上，AF=EF，∠ABD=∠AFE．(1)在图1中找出与∠DBF相等的角并证明；(2)求证：∠BFD=∠AFB；(3)如图2，连接FD，点M在EF上，AF=kDF，∠EDF+∠MDF=180°，求AEMF．（用含k【答案】(1)∠BAF=∠DBF，见解析(2)见解析(3)k−1【分析】本题考查四边形，三角形全等，三角形相似等综合问题，解题的关键是正确作出辅助线．（1）根据三角形外角性质及角的和差求解即可；（2）在BE上截取BG=AF，连接DG，先证△BGD≌△AFBSAS，得出∠BGD=∠AFB，DG=BF，再根据等量代换，∠FEA=∠GED，即∠BEA=∠BED（3）在EA上截取EN=ED，连接NF，先证△NEF≌△DEFSAS，根据等量代换，∠FEA=∠FAE，∠FAE=∠FED，得出△AFN∽△EMD【详解】（1）解：∠BAF=∠DBF，证明：∵∠AFE是△ABF的外角，∴∠AFE=∠ABF+∠BAF，又∵∠ABD=∠ABF+∠EBC，∠AFE=∠ABD，∴∠BAF=∠DBF；（2）证明：如图1，在BE上截取BG=AF，连接DG，在△BGD和△AFB中，BD=AB∠GBD=∠BAF∴△BGD≌△AFBSAS∴∠BGD=∠AFB，DG=BF，∵BG=AF，FA=FE，∴BG=FE，∴BG−GF=FE−GF，∴BF=GE，∴DG=GE，∴∠GDE=∠GED，∴∠BGD=∠GDE+∠GED=2∠GED，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠AFB=∠FAE+∠FEA=2∠FEA，又∵∠AFB=∠BGD，∴∠FEA=∠GED，即∠BEA=∠BED；（3）解：如图2，在EA上截取EN=ED，连接NF，在△NEF和△DEF中，EN=ED∠NEF=∠DEF∴△NEF≌△DEFSAS∴∠ENF=∠EDF，∵∠EDM+∠EDF=180°，∠ANF+∠ENF=180°，∴∠ANF=∠EDM，∵FA=FE，∴∠FEA=∠FAE，∴∠FAE=∠FED，∴△AFN∽△EMD，∴AFEMAN=AE−EN=AE−DE=kDE−DE=k−1∴AFEM∴AEMF为k−13．（2023·河南商丘·模拟预测）综合与实践【操作发现】甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是边AB上一点，连接ED．甲同学；延长ED至点F，使DF=DE，连接CF，如图2所示．∵D是BC的中点，∴BD=CD．又∵DE=DF，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（依据1：乙同学；过点C作AB的平行线交ED的延长线于点F，如图3所示．∵CF∥AB，又∵BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（依据2：）

（1）上述过程中的依据1是，依据2是．（填“SAS”“ASA”或“AAS”）【类比迁移】（2）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，连接AE，BE，AE平分∠BAD，请根据（1）中的方法，判断线段AD，AB，

【拓展应用】（3）如图5，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以A为顶点作Rt△ADE，使∠ADE=90°，∠EAD=∠CAB，AD=2，连接BE，F为线段BE的中点．将△ADE绕点A在平面内旋转，当DE∥

【答案】（1）SAS，ASA；（2）AB=BC+AD，见解析；（3）线段CF的长为1.25或3.75【分析】（1）解读证明过程，即可知道依据1是SAS；依据2是ASA，进行作答即可．（2）方法一：延长AE，交BC的延长线于点F，通过AAS证明△ADE≌△FCE，结合角平分线的性质以及线段的等量代换，即可作答；方法二：延长AE至点F，使EF=AE，连接CF，通过SAS证明（3）当DE∥BC时，分两种情况讨论：①当点D在线段AC上时，延长ED交AB于点G，连接FG，可得此时点G在AB的中点处，②当点D在CA的延长线上时，CF和DE的延长线交于点【详解】解：（1）SAS，ASA．（2）AB=BC+AD．理由如下：方法一：延长AE，交BC的延长线于点F，如解图1所示．

∵E是DC的中点，∴DE=CE．∵AD∥∴∠DAE=∠F．又∵∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCEAAS∴AD=FC．∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE．又∵∠DAE=∠F，∴∠BAE=∠F．∴AB=BF．∴AB=BC+CF=BC+AD．方法二：延长AE至点F，使EF=AE，连接CF，如解图2所示．

∵E是DC的中点，∴DE=CE．又∵AE=FE，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCESAS∴AD=FC，∠D=∠ECF，∠DAE=∠F．∵AD∥∴∠D+∠BCD=180°．∴∠ECF+∠BCD=180°，即B，C，F三点共线．∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE．又∵∠DAE=∠F，∴∠BAE=∠F．∴AB=BF．∴AB=BC+CF=BC+AD．（3）当DE∥①当点D在线段AC上时，延长ED交AB于点G，连接FG∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=5，∴AC=∵DE∴DG∴AD即AG=此时点G在AB的中点处，如图3所示．则DG=∵∠EAD=∠CAB∴tan∴ED=1.5∴EG=ED+DG=3=CB∵DG∴∠GEF=∠CBF

∵EF=BF，∴△CFB≌∴∠EFG=∠BFC∵∠BFC+∠EFC=180°∴∠EFG+∠EFC=180°∴点C、F、G在同一直线上，∴CB=GE=3，CF=GF．∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=4．又∵∠EAD=∠CAB，∠ADE=∠ACB=90°∴△AED∽△ABC．∴ED:BC=AD:AC．又∵AD=2，∴ED=1.5．在Rt△CDG中，CD=AC−AD=4−2=2，DG=EG−ED=3−1.5=1.5∴CG=2∴CF=GF=1②当点D在CA的延长线上时，CF和DE的延长线交于点G，如图4所示．同理，在Rt△CDG中，CD=AC+AD=4+2=6，DG=EG+ED=3+1.5=4.5∴CG=6∴CF=CF=1综上所述，当DE∥BC时，线段【点睛】本题考查了全等三角形的综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．题型三：相似三角形的常考模型大题典例1．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．【答案】(1)13(2)2(3)见解析(4)0<t≤9−352或【分析】（1）证明四边形ABEQ是矩形，进而在Rt△QBE（2）证明△PBE∽△ECD，得出tan∠PQE=（3）过点P作PH⊥BC于点H，证明△PHE≌△ECQ得出PE=QE，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时如图，③当点P在AD上，当F,D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接BQ，

∵四边形ABCD是矩形∴∠BAQ=∠ABE=90°∵∠PEQ=90°，∴四边形ABEQ是矩形，当点P和点B重合时，∴QE=AB=3，BE=2在Rt△QBE中，BQ=故答案为：13．（2）如图所示，

∵∠PEQ=90°，∠PBE=∠ECD=90°，∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∴△PBE∽△ECD，∴PEDE∵BE=2，CD=AB=3，∴tan∠PQE=（3）如图所示，过点P作PH⊥BC于点H，

∵∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°，∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°，则四边形ABHP是矩形，∴PH=AB=3又∵EC=BC−BE=5−2=3∴PH=EC，∴△PHE≌ECQ∴PE=QE∴△PQE是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点P在BE上时，

∵QE=QF=3,AQ=BE=2，在Rt△AQF中，AF=则BF=3−5∵PE=t，则BP=2−t，PF=PE=t，在Rt△PBF中，P∴t解得：t=当t<9−352∴0<t≤9−3②当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时如图，

则PB=t−BE=t−2，PE=AP=AB−PB=3−t−2在Rt△PBE中，5−t2解得：t=17③当点P在AD上，当F,D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，此时t=2+3+2=7

综上所述，0<t≤9−352或t=【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．2．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②AB=3k；PE=【分析】（1）根据新定义，画出等联角；（2）①△PCF是等腰直角三角形，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．由折叠得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2，证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt△CME≌Rt△CNE②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°．证明△APC≌△RFP，得出AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2=BF2，BF=2k，进而证明四边形BRFQ【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．由折叠得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2∵AC=AB，∠A=∠PBD=∠N=90°，∴四边形ABNC为正方形∴CN=AC=CM又∵CE=CE，∴Rt∴∠3=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∠CPF=90°∴∠PCF=∠2+∠3=∠CFP=45°∴△PCF是等腰直角三角形．②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°．∵∠1+∠5=∠5+∠6=90°，∴∠1=∠6，由△PCF是等腰直角三角形知：PC=PF，∴△APC≌△RFPAAS∴AP=FR，AC=PR，而AC=AB，∴AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2∴AP=BR=FR=k，∴PB=2AP=2k，∴AB=AP+PB=BN=3k，由BR=FR，∠QBR=∠R=∠FQB=90°，∴四边形BRFQ为正方形，BQ=QF=k，由FQ⊥BN，CN⊥BN得：FQ∥∴△QEF∽△NEC，∴QENE=即2k−NENE=k由①知：PM=AP=k，ME=NE=3∴PE=PM+ME=k+3【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．3．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°

(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA【答案】(1)AC=(2)BC=2(3)3【分析】（1）在Rt△BDC中，∠DBC=30°，Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，可得△ABE∽△CBD，根据相似三角形的性质得出ABBC=BE（2）延长DE交AB于点F，如图所示，在Rt△AEF中，求得EF,AF，进而求得BF的长，根据（1）的结论，得出DE=3，在Rt△BFD中，勾股定理求得BD（3）如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，连接BE，EA，ED,EC，同（1）可得△BDE∽△BCA，进而得出D在以E为圆心，433为半径的圆上运动，当点A,E,D三点共线时，AD的值最大，进而求得cos∠BDA=277，sin∠BDA=217，根据△ABC∽△EBD得出∠BDE=∠BCA，过点【详解】（1）解：在Rt△BDC中，∠DBC=30°，Rt△BAE，且∠AEB=90°，∴△ABE∽△CBD，∠DBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC，BE=AB×∴ABBC=BE∴△ABC∽△EBD∴AC∴AC=2故答案为：AC=2（2）∵Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，∴AE=AB⋅sin∠EBA=1延长DE交AB于点F，如图所示，

∵DE⊥AB，∴∠BFD=∠DFA=90°，∴在Rt△AEF中，EF=AE×sin∠BAE=∴BF=AB−AF=4−1=3，由（1）可得AC=2∴DE=3∴DF=DE+EF=23在Rt△BFD中，BD=∵△ABC∽△EBD，∴BCBD∴BC=2∴BC=27（3）解：如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，连接BE，EA，ED,EC

同（1）可得△BDE∽△BCA则DEAC∵AC=2，则DE=4在Rt△AEB中，AB=4，AE=AB×∴D在以E为圆心，43∴当点A,E,D三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则AD=AE+DE=8

在Rt△ABD中，∴cos∠BDA=ADBD∵△ABC∽△EBD，∴∠BDE=∠BCA，过点A作AF⊥BC，于点F，∴CF=AC×cos∠ACB=2×2∵∠DBC=30°，∴BC=3∴BF=BC−CF=27Rt△AFB中，tan【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．4．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE(2)若sin∠ABD=25【答案】(1)见解析(2)AD=2【分析】（1）先证明∠ADE=∠AEH，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明△EAF∽△DAE，利用相似三角形的性质即可求证；（2）先利用勾股定理求出AC，再利用∠ABD=∠ACD和正弦值即可求出AD．【详解】（1）连接ED，∵EH⊥AC，∴∠EAH+∠AEH=90°，∵AC是直径，∴∠AEC=90°，∴∠EAH+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠AEH，∴∠ADE=∠AEH，又∵∠EAF=∠DAE，∴△EAF∽△D