八年级上册《线段的垂直平分线的性质》课件与同步练习

13.1.2线段的垂直平分线的性质新课导入导入课题

前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.学习目标（1）能叙述出线段垂直平分线的性质.（2）能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题.（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.推进新课知识点1探索并证明线段垂直平分线的性质探究

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…

到点A与点B的距离，你有什么发现？ABlP1P2P3你能用不同的方法验证这一结论吗？相等.

请在图中的直线l上任取一点，那么这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？

探究

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.ABlP1P2P3

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证：PA=PB．证明：“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.”ABPCl证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

点P在线段AB的垂直平分线上．已知：如图，在△ABP中，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABCPABC证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．

用数学符号表示为：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PABC解：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上．∵MB=MC，∵点M在BC的垂直平分线上，∴直线AM是线段BC的垂直平分线．

练习1如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ABCDM巩固练习【课本P62练习第2题】

练习2如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______．8ABCDE

练习3到三角形三个顶点的距离相等的点是（

）A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三边高线的交点D.没有这样的点B知识点2

例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C（如图）.求作：AB的垂线，使它经过点C.经过已知直线外一点作这条直线的垂线ABC作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.

（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（4）作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线.CABDEFK

解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．

练习4如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE巩固练习【课本P62练习第1题】ABCDE

∴AB=AC=CE．∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．知识点3作线段的垂直平分线

例2如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB怎样作线段AB的垂直平分线呢？

这种作法的依据是什么？这种作图方法还有哪些作用？

确定线段的中点．

作法：如图．（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD．

CD就是所求作的直线．

ABCD

如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？

如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．

如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.

你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？五角星的对称轴有什么特点？

巩固练习

练习5作出下列图形的一条对称轴，和同桌比较一下，你们作出的对称轴一样吗？

练习6如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

练习7如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．ABCD随堂演练基础巩固1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上的一点.已知线段MA=12cm，则线段MB的长为_____cm.122.在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（

）A.50° B.40°C.40°或140° D.40°或50°C3.画出下列图形的对称轴（有几条对称轴就画出几条，不要遗漏）.综合应用4.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处BC′交AD于E；（1）若∠DBC=22.5°，则在不添加辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有多少个？（2）你认为图中有多少组全等三角形，并把他们写下来.解：（1）5个.（2）4组，△BCD≌△BC′D，△ABE≌△C′DB，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB.拓展延伸5.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.课堂小结

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。1．三角形ABC纸片上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定(

)A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上2．如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线．若AM＝5cm，△MAB的周长为16cm，则AN的长为(

)A．3cm B．5cmC．8cm D．11cmDA3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，连接AD.若AE＝4cm，则△ABC的周长与△ABD的周长的差为(

)A．2cm

B．4cmC．6cm D．8cmD4．如图，AC＝AD，BC＝BD，AB与CD相交于点O，则AB与CD的关系是____________________.AB垂直平分CD5．如图，AB垂直平分CD，AC＝1.6cm，BC＝2.3cm，则四边形ACBD的周长是__________cm.7.86．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.(1)求证：PA＝PB＝PC.(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？解：(1)证明：由垂直平分线的性质，可知PB＝PC；同理，由垂直平分线的性质，可知PA＝PB，∴PA＝PB＝PC.(2)∵PA＝PC，∴由垂直平分线的判定可知，点P也在边AC的垂直平分线上．由此得出结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等．7．如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴(保留作图痕迹)．解：如图，直线AK即为所求的一条对称轴(答案不唯一)．8．如图，找出轴对称图形的对称轴，并指出两组对应点．解：如图，A，B是对应点，C，D是对应点．9．如图，点A，B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于点C，D.分别以点C，D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE.(1)根据题意，利用直尺和圆规补全图形．(2)求证：直线l垂直平分AE.解：(1)如图所示，即为所求．(2)如图，连接AC，CE，ED，AD.∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，∴AC＝CE，AD＝DE，∴点C，D在AE的垂直平分线上，∴直线l垂直平分AE.第十三章轴对称13．1轴对称13．1.2线段的垂直平分线的性质《第1课时线段的垂直平分线的性质和判定》同步练习1线段的垂直平分线的性质1．已知直线AB是线段CD的垂直平分线，并且垂足为B.若AC＝5cm，则下列结论中正确的是(

)A．AB＝5cm B．BC＝5cmC．BD＝5cm D．AD＝5cmD2．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是(

)A．2B．4C．6D．8C3．如图，AC⊥BD，OB＝OD，AB＝3，CD＝5，则四边形ABCD的周长是________.164．教材P62练习1改编如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．已知BD＝3，AB＝5，则DE＝______.85．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，AB－BC＝3，△BCD的周长为15，求AB的长．解：∵MN为AC的垂直平分线，∴DC＝DA，∴DC＋DB＋BC＝AD＋DB＋BC＝AB＋BC＝15.又∵AB－BC＝3，∴AB＝9.2线段的垂直平分线的判定6．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则(

)A．l垂直AB

B．l平分ABC．l垂直平分AB

D．不能确定7．已知线段AB，直线CD⊥AB于点O，AO＝OB.若点M在直线CD上，则MA＝________；若NA＝NB，则点N在____________上．DMB直线CD8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，边BC的垂直平分线MN经过点A.求证：点A在CD的垂直平分线上．证明：如图，连接AC，证AC＝AB＝AD即可．9．如图，AB＝AC，OB＝OC.求证：AO垂直平分BC.证明：∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC.10．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，边AC的垂直平分线分别交边AC，BC于点F，G.若△AEG的周长为8，则BC的长是(

)A．12

B．8

C．6

D．4B11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线的交点P恰好在边AC上，且AC＝10cm，则点B到点P的距离为____________.5cm12．如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：(1)DE＝DF.(2)AD垂直平分EF.证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)证Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE＝AF，DE＝DF，即点A在EF的垂直平分线上，点D也在EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF.13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：CF＝AD.(2)连接BE.若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在AF的垂直平分线上？请说明理由．解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE与△FCE中，∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴CF＝AD.(2)当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上．理由如下：∵AD＝2，∴CF＝AD＝2.∵BC＝6，∴BF＝BC＋CF＝6＋2＝8.∵AB＝8，∴AB＝BF，∴点B在AF的垂直平分线上．14．如图，在△ABC中，点D在边AC的垂直平分线上，且BD平分∠ABC，DF⊥BC于点F.(1)求证：