八年级上册《课题学习 最短路径问题》课件与同步练习

13.4课题学习最短路径问题新课导入导入课题

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.学习目标（1）能利用轴对称变换解决实际问题.（2）能利用作图解决生活中的轴对称问题.（作图建模）推进新课知识点1将军饮马问题

问题1

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？

将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．BAlC设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．联想B·lA·如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？两点之间，线段最短.

连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求.如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况.BAlCB′作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB.连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．巩固练习

练习1如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图，P点即为该点.知识点2造桥选址问题

如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）

当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.

将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，

A′N+NB最小？连接A′B与b相交于N，N点即为所求.巩固练习练习2牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.A´B´PQ....随堂演练基础巩固1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小...AB(1)..2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.综合应用3.如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.解：如图，作点M关于BC的对称点M′，连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小.拓展延伸4.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.解：如图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′并延长，交MN于点P，点P即为所求.理由：点A，B′，P在同一条直线上时，PA-PB′最大，即PA-PB最大.课堂小结归纳

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。1．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线(虚线)l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段(实线)表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是(

)C2．在平面直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B两点的距离之和最小．现有如下四种方案，其中符合要求的是(

)C3．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，QD＝1.5，点P，Q分别为AB，AD上的两个定点，且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值为(

)A．3.5 B．4C．5 D．6C4．如图，线段AB与线段CD关于直线l对称，点P是直线l上一动点，点D与点A之间的距离为8cm，点B与点D之间的距离为5cm，则PA＋PB的最小值是______cm.85．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC＋PD最小时，∠PCD＝__________.45°6．如图，公路同侧有两个村庄M，N，为方便两村居民的生活，现要在公路旁建一个车站P，同时修通到两村的公路，问车站应建在何处费用最省？(只需画出示意图，不需要说明理由)解：①作点M关于直线AB的对称点M′；②连接M′N，交AB于点P，则点P即为所求点．第十三章轴对称《13.4课题学习最短路径问题》同步练习1两点之间线段最短1．如图，小明家在点A处，学校在点B处，则小明从家到学校最短的路径是______(填序号)，其中的数学道理是____________________.②两点之间线段最短2．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点P处饮水，然后到对岸的B地买生活用品．请在图中画出路径最短时点P的位置，并说明理由．解：连接AB交直线l于点P.理由：两点之间线段最短．2利用轴对称解决最短路径问题3．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在(

)A．点A B．点B

C．点C D．点DC4．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点M处饮水，然后到C地宿营．请在图中画出最短路径．解：作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，交直线l于点M，连接AM，CM.5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)．(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.(2)在直线l上画出点P，使得PA＋PC1最小．(3)在直线l上画出点Q，使得QA1＋QB1最小．解：(1)如图所示．(2)连接AC1交直线l于点P.(3)连接AB1交直线l于点Q.6．如图，已知六边形ABCDEF是正六边形，点G，H分别是AF和CD的中点，点P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的最小值为(

)A．线段GE的长度B．线段AE的长度C．线段AB长度的两倍D．线段GD的长度BA8．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8，则∠AOB的度数是__________.30°9．如图，牧马人骑马从A地出发，先到草地a让马吃草，再到河边b饮水，然后到C地宿营．请在图中画出最短路径．解：作点A关于直线a的对称点A′，作点C关于直线b的对称点C′，连接A′C′，分别交直线a，b于点M，N，连接AM，MN，CN.10．在如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点△ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标