专题03 不等式（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）【高考数学】备战2025年高考易错题（新高考专用）含解析

【高考数学】备战2025年高考易错题（新高考专用）含解析专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．例．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式1．已知，则下列关系式正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则变式2．对于实数，，，下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则变式3．已知均为实数，下列不等式恒成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则1．已知实数，，，若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．2．若，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．3．已知，，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．若​，则下列不等式中正确的是（

）A．​B．​C．​D．​5．若、、，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则7．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知，，：，：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．下列四个选项能推出的有（

）A． B．C． D．10．已知，则（

）A． B．C． D．11．已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（

）A． B．C． D．易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．3．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．(2)当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为。例．若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（

）A． B．0 C． D．1变式1．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为变式2．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．变式3．下列叙述不正确的是（

）A．的解是B．“”是“”的充要条件C．已知，则“”是“”的必要不充分条件D．函数的最小值是1．已知的解集是，则下列说法正确的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，则m的取值范围是或D．当时，，的值域是，则的取值范围是2．已知集合，或，，则（

）A． B．C． D．3．已知集合，，则（

）A． B．C． D．4．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个5．设集合，，且，则（

）A．6 B．4 C． D．6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（

）A． B．或C． D．或7．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．8．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．10．不等式的解集为（

）A． B．C． D．11．若不等式的解集是，函数的对称轴是（

）A． B． C． D．易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问题）1.几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立.易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.例．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．变式1．已知，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．变式2．已知命题p：在中，若，则；q：若，则，则下列命题为真命题的是（

）A． B． C． D．变式3．设，，，则有（

）A．最小值3 B．最大值3C．最小值 D．最大值1．已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（

）A． B．C． D．2．已知正数，满足，则（

）A．的最小值为3 B．的最小值为C．的最小值为3 D．的最大值为3．已知，若，则（

）A． B．C．的最小值为8 D．的最大值为4．任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（

）A． B． C．5 D．35．已知，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为16 B．的最小值为9C．的最大值为1 D．的最小值为6．已知正数a，b满足，则（

）A． B． C． D．7．设正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为6 B．的最大值为C．的最小值为2 D．的最小值为8．已知，，且，则不正确的是（

）A． B． C． D．9．若实数，，满足，以下选项中正确的有（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为5 D．的最小值为10．已知，且，则下列选项正确的是（

）A． B．.C．的最大值为 D．11．设且，则的最小值是．

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．例．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，则成立，充分性成立；由，若，显然不成立，必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A变式1．已知，则下列关系式正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则【答案】A【详解】A选项，因为，故在上单调递增，因为，所以，A正确；B选项，因为，所以，因为，所以，B错误；C选项，若，则在R上单调递减，因为，所以，C错误；D选项，因为，所以，因为，则，故，D错误.故选：A变式2．对于实数，，，下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】D【详解】解：对于A：时，不成立，A错误；对于B：若，则，B错误；对于C：令，代入不成立，C错误；对于D：若，，则，，则，D正确；故选：D．变式3．已知均为实数，下列不等式恒成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【详解】A，当时，，A错误；B，当时，没意义，B错误；C，由，知，所以，C正确；D，当时，不成立，D错误.故选：C1．已知实数，，，若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】选项A：因为，取，则，故A错误；选项B：因为，与已知条件矛盾，故B不正确；选项C：因为所以，故C正确；选项D：当时，，故D不正确；故选：C.2．若，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B正确，对于C，因为在上递增，，所以，所以C正确，对于D，若，则，则，所以D错误，故选：D3．已知，，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，令，显然有，，而，A错误；对于B，由，知，令，显然有，而，B错误；对于C，由，，得，因此，C正确；对于D，若，令，有，而，D错误.故选：C4．若​，则下列不等式中正确的是（

）A．​B．​C．​D．​【答案】D【详解】因为，所以，则.所以即，AB错误.因为，所以，则，​C错误.因为，所以则，​D正确.故选：D5．若、、，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为、、，且，则，，由不等式的基本性质可得，A错；，B对；当时，，C错；，D错.故选：B.6．下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【详解】A选项，当时，，故A错误；B选项，当，，，时，，，故B错误；C选项，当，，，时，，故C错误；D选项，若，，则，即，故D正确．故选：D.7．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由，可得，则是的必要不充分条件.故选：B8．已知，，：，：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】解：因为，，：即，即，则，而：，所以，是的充分不必要条件，故选：.9．下列四个选项能推出的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】，对于A，当时，，所以，所以A正确，对于B，当时，，所以，所以B错误，对于C，当时，，所以，所以C正确，对于D，当时，，所以，所以D正确，故选：ACD.10．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】因为，所以，故，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD．11．已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】选项A，由得，∴，故A正确；选项B，取，，可得，，不满足，故B错误；选项C，，∵，所以，故，∴，故C正确；选项D，设函数，，则，当时，，单调递减，故时，，即，故，故D错误.故选：AC易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．3．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．(2)当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为。例．若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（

）A． B．0 C． D．1【答案】ABD【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意；当时，要满足，而，所以解得；综上，实数a的取值范围是；所以对比选项得，实数a可能是，0，1.故选：ABD.变式1．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【答案】BD【详解】不等式的解集为，则是方程的根，且，则，即，A错误；不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；，C错误；不等式化为，即，解得或，所以不等式的解集为，D正确.故选：BD变式2．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，，故选：CD．变式3．下列叙述不正确的是（

）A．的解是B．“”是“”的充要条件C．已知，则“”是“”的必要不充分条件D．函数的最小值是【答案】AD【详解】选项A：的解是或，故A不正确；选项B：由得，恒成立则或，解得，所以“”是“”的充要条件，故B正确；选项C：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；选项D：由均值不等式得，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以的最小值大于，故D不正确；故选：AD1．已知的解集是，则下列说法正确的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，则m的取值范围是或D．当时，，的值域是，则的取值范围是【答案】ABD【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，于是得，即，对于A，不等式化为：，解得，A正确；对于B，，，当且仅当，即时取“=”，B正确；对于C，，令，则在上单调递增，即有，因有解，则，解得或，C不正确；对于D，当时，，则，，依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，从而得或，因此，D正确.故选：ABD2．已知集合，或，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由或，所以．故选：A3．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，解得，所以，因为，得，所以，故.故选:C．4．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】B【详解】由题意若不等式在上恒成立，则必须满足，即，由，两式相加得，再由，两式相加得，结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，解得，经检验，当，时，，有，，满足在上恒成立，综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.故选：B.5．设集合，，且，则（

）A．6 B．4 C． D．【答案】D【详解】，，∵，∴，∴，故选：D.6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，若不等式有解，则，可得或，即实数m的取值范围是．故选：D．7．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，不等式恒成立时，，所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.故选：D.8．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，由得，因，故，当且仅当即时等号成立，因当时，恒成立，得，故选：C9．已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由集合中恰有两个元素，得，解得．故选：B．10．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】易知方程可化为，方程的两根为；所以不等式的解集为.故选：B．11．若不等式的解集是，函数的对称轴是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵不等式的解集是，∴和是方程的两个根，∴，∴，∴函数的对称轴是．故选：A．易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问题）1.几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立.易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.例．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，,,当且仅当，即等号成立故选：B.变式1．已知，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【详解】由，，即，易知，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值为.故选：D变式2．已知命题p：在中，若，则；q：若，则，则下列命题为真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】命题p：在中，若，由正弦定理得，所以，为真命题，当，对于，当且仅当时等号成立，所以命题q：若，则，为真命题，所以为真命题，假命题，假命题，假命题，故选：A.变式3．设，，，则有（

）A．最小值3 B．最大值3C．最小值 D．最大值【答案】B【详解】，，故，故，当且仅当时成立，AD错误，B正确；当时，，C错误.故选：B．1．已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，点在线段上（不包括端点），故存在，使得，即，即，因为向量，所以，可得，，，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立.故选：C．2．已知正数，满足，则（

）A．的最小值为3 B．的最小值为C．的最小值为3 D．的最大值为【答案】ABD【详解】对于A：由，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B：由得，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故B正确；对于C：因为，当且仅当时取等号，故C错误；对于D：由，当且仅当，即时等号成立，故D正确．故选：ABD．3．已知，若，则（

）A． B．C．的最小值为8 D．的最大值为【答案】ABC【详解】对于A和B中，因为且，可得且，即，所以，且，，所以A、B正确；对于C中，由，当且仅当，且，即，时，取“”号，所以C正确；对于D中，由，即，当且仅当，且，即，时，取“”号，所以D错误．故选：ABC.4．任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（

）A． B． C．5 D．3【答案】BD【详解】根据题意可得，当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为4．从而AC不可能，BD可以取．故选：BD．5．已知，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为16 B．的最小值为9C．的最大值为1 D．的最小值为【答案】ABD【详解】对于A，因为，所以（舍去），所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16，故A正确；对于B，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9，故B正确；对于C，由B得，则，则，故C错误；对于D，，当，即时，取得最小值，所以当时，的最小值为，故D正确.故选：ABD.6．已知正数a，b满足，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】对A，由题意得，当且仅当，即时等号成立，故A错误，对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对C，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故C正确；对D，，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值，最小值为，当且仅当，时等号成立，故D正确.故选：BCD.7．设正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为6 B．的最大值为C．的最小值为2 D．的最小值为【答案】BD【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A错误；对于B，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，的最大值为，故选项B正确；对于C，因为，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故选项C错误；对于D，因为，故选项D正确，故选：BD.8．已知，，且，则不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】对于A，因为，，所以，即，当且仅当时，等号成立，故A错误；对于B，，由A得，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故C错误；对于D，，，设，，则，所以在上单调递减，即，所以，故D错误；故选：ACD．9．若实数，，满足，以下选项中正确的有（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为5 D．的最小值为【答案】AB【详解】对于A：实数，，，整理得，当且仅当时取等号，即的最大值为，故A正确；对于B：，，，，，当且仅当、时取等号，故B正确；对于C：，，，，，当且仅当，即、时取等号，因为等号取不到，可知5不为最小值，故C错误；对于D：，当且仅当，即时取等号，故D错误.故选：AB.10．已知，且，则下列选项正确的是（

）A． B．.C．的最大值为 D．【答案】ABD【详解】由题意可得，当且仅当时取得等号，即A正确；，当且仅当时取得等号，即B正确；先证柯西不等式，设，则，所以，由柯西不等式可知：，当且仅当，即时取得等号，即D正确；若，则，此时，故C错误.故选：ABD11．设且，则的最小值是．【答案】【详解】因为，所以，，所以，因为，所以由基本不等式得，当且仅当即时，等号成立，综上所述：的最小值是.故答案为：.

专题04导数及其应用易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）一、导数的概念和几何性质1．概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2．几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3．物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．二、导数的运算1．求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3．复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：应用1．在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．应用2．过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．例．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若，都有，求的取值范围．变式1．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.变式2．已知函数.(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.变式3．．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若对，恒成立．求实数的取值范围．1．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．3．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则（

）A． B．1 C． D．4．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知函数，则（

）A．函数在处的切线方程为 B．函数有两个零点C．函数的极大值点在区间内 D．函数在上单调递减6．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（

）A． B． C． D．7．已知函数，则（

）A．的图象关于原点中心对称B．在区间上的最小值为C．过点有且仅有1条直线与曲线相切D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是8．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线；(2)讨论的单调性；(3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.9．已知函数，且，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设，，，讨论函数的零点个数．10．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.11．已知，函数，．(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；(2)若与有相同的最小值，求实数a．易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数的单调性）1．求可导函数单调区间的一般步骤第一步：确定函数的定义域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；第三步：把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；第四步：确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.注意①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.技巧：1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路第一步：由函数在区间上单调递增(减)可知()在区间上恒成立列出不等式；第二步：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；第三步：对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值．易错提醒：一：研究单调性问题1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．2．已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间。例．已知函数为函数的导函数．(1)若，讨论在上的单调性；(2)若函数，且在内有唯一的极大值，求实数的取值范围．变式1．已知函数．(1)若，判断函数的单调性．(2)若有两个不同的极值点（），求证：．变式2．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若，求的取值范围．变式3．设函数.(1)求的单调区间；(2)若正数，满足，证明：.1．若方程在上有实根，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知函数，则不等式成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．3．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．6．已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（

）A．B．（为自然对数的底数，）C．存在，D．若，则7．设，若，，，下列说法正确的是（

）A． B．无极值点 C．的对称中心是 D．8．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，C．若是增函数，则D．若和的零点总数大于2，则这些零点之和大于59．已知函数且．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的最大值．10．已知函数．(1)讨论函数的单调性．(2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围．11．已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若存在极小值点，且，求的取值范围．易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最值）1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤第一步：先确定函数的定义域；第二步：求导数；第三步：求方程的根；第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：第一步：求在内的极值（极大值或极小值）；第二步：将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．技巧：1．由图象判断函数的极值，要抓住两点：（1）由的图象与x轴的交点，可得函数的可能极值点；（2）由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性．两者结合可得极值点．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．3．求函数在闭区间内的最值的思路（1）若所给的闭区间不含有参数，则只需对函数求导，并求在区间内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．结论：1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．3、若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；4、若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解5、对于任意的，总存在，使得；6、对于任意的，总存在，使得；7、若存在，对于任意的，使得；8、若存在，对于任意的，使得；9、对于任意的，使得；10、对于任意的，使得；11、若存在，总存在，使得12、若存在，总存在，使得易错提醒：（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.例．已知函数存在两个极值点，且.(1)求的取值范围；(2)若，求的最小值.变式1．已知函数，其中．(1)若是函数的极值点，求a的值；(2)若，讨论函数的单调性．变式2．若函数，为函数的极值点.(1)求的值；(2)求函数的极值.变式3．已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若有两个极值点，求证：.1．已知函数，在有且只有一个极值点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知是函数的一个极值点，则的取值集合为（

）A． B． C． D．3．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．关于函数，下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．0是的极值点C．在上有且仅有1个零点 D．的值域是6．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（

）A． B．C． D．7．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（

）A． B． C． D．8．当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（

）A．8 B．12 C．16 D．329．已知函数.(1)当时，求的极值；(2)当时，求在上的最小值；(3)若在上存在零点，求的取值范围.10．已知函数.(1)若为函数的导函数，求的极值；(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.11．已知函数在处取得极值.(1)求的值；(2)求在上的值域.易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问题）1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．4．解决函数应用问题的步骤第一步：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；第二步：建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；第三步：解模：求解数学模型，得出数学结论；第四步：还原：将数学结论还原为实际问题的意义．技巧：判断函数零点个数的方法：方法1：利用零点存在性定理判断法；方法2：代数法：求方程的实数根；方法3：几何法：对于不易求根的方程，将它与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决2、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或②，构造函数或③，构造函数或易错提醒：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根例．已知函数．(1)若在区间上有极值，求实数的取值范围；(2)当时，求证：有两个零点，，且．变式1．已知函数.(1)试讨论的单调区间；(2)若有两个零点，求的取值范围.变式2．若函数在处有极小值．(1)求c的值．(2)函数恰有一个零点，求实数a的取值范围．变式3．已知函数.(1)求的极值：(2)若有两个零点，求a的取值范围.1．已知函数（）.(1)求在上的最大值；(2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围.2．已知函数有两个零点.(1)求的取值范围；(2)设，为的两个零点，证明：.3．已知是函数的一个极值点．(1)求的值；(2)若有3个零点，求的取值范围．4．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在上存2个零点，求的取值范围.5．已知函数.(1)若存在实数，使成立，求实数的取值范围；(2)若有两个不同零点，求证：.6．已知．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求整数的最大值．7．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间和极值(2)若在区间内恰好有两个零点，求的取值范围.8．已知函数．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数有两个零点且，求证：．9．已知．(1)若当时函数取到极值，求的值；(2)讨论函数在区间上的零点个数．10．设函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，设极大值点为，为的零点，求证：．11．已知函数(1)求的单调区间和极值；(2)讨论的零点个数．

专题04导数及其应用易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）一、导数的概念和几何性质1．概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2．几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3．物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．二、导数的运算1．求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3．复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：应用1．在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．应用2．过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．例．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若，都有，求的取值范围．【详解】（1）解：当时，，因为，所以，曲线在处的切线方程是，即．（2）因为，都有，所以．设，则．记，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减．因为，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，．变式1．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）显然，要使方程有两个不等的实根，只需当时，有且仅有一个实根，当时，由方程，得.令，则直线与的图象有且仅有一个交点..又当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得极小值，又当时，，所以，即，当时，，即，所以作出的大致图象如图所示.

由图象，知要使直线与的图象有且仅有一个交点，只需或.综上，若有两个不等的实根，则的取值范围为.变式2．已知函数.(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）易知的定义域为，设切点坐标，则切线方程为：，把点带入切线得：，所以，的切线方程为：；（2），又有两个不同零点，则有两个不同零点，构造函数，

则为增函数，且，即方程有两个不等实根，令，则，

则，

设，方法一、原不等式恒成立等价于恒成立，令，由单调递增，即，若单调递增，即恒成立，此时符合题意；若有解，此时有时，单调递减，则，不符合题意；综上所述：的取值范围为.方法二、，设，在恒成立，在单调递增，，则在单调递增，所以，，所以的取值范围为.变式3．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若对，恒成立．求实数的取值范围．【详解】（1）解：，所求切线斜率为，切点为，故所求切线方程为，即.（2）方法一：分离变量由得在恒成立，令，则，，当时，，即：，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值为，故，即的取值范围是.方法二：分类讨论由得在恒成立，令，则，①当时，恒成立，在上单调递减，又，故当时，，不合题意；②当时，令得，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，取最小值，故，即的取值范围是，综上所述，的取值范围是.方法三：数形结合由得在恒成立，令，，则当时，恒成立，，,若，当时，，，，不合题意；若，，曲线与曲线有且只有一个公共点，且在该公共点处的切线相同．设切点坐标为，

则，解得，故当时，，即的取值范围是.1．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，所以，则．由，得，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，则直线的斜率，故，显然，故，所以直线的倾斜角为，故选：B．2．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对求导后根据题意可得在上有解.令，求导判断单调性求得值域，从而可得不等式，求解即可.【详解】对求导得，当时，曲线不存在与直线垂直的切线，当时，若曲线存在与直线垂直的切线，只需在上有解.令，求导得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，且当时，，所以，解得，所以k的取值范围是.故选：D.3．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案.【详解】由题意得，过点作曲线的切线，设切点坐标为，则，即，由于，故，因为过点作曲线的切线有且只有两条，所以为的两个解，且，所以，所以.故选：A.4．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，即可得到纵截距，然后构造函数，求导，根据单调性求值域即可.【详解】因为，所以所求切线方程为，令，则，令，则.所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.因为，，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为.故选：B.5．已知函数，则（

）A．函数在处的切线方程为 B．函数有两个零点C．函数的极大值点在区间内 D．函数在上单调递减【答案】ACD【分析】利用导函数求出在处的切线斜率，从而求切线方程，即可判断选项A；令，由单调性和极值可判断选项C、D；由零点存在定理可判断选项B.【详解】由得，所以，又,所以函数在处的切线方程为，即，所以A正确；令，显然在上单调递减，且，，所以存在使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以在处有极大值，极大值点，所以C正确；因为，所以函数在上单调递减，所以D正确因为，函数在上单调递增，所以在上，函数有一个零点，因为，所以当时，，所以函数在上无零点，所以函数只有一个零点，所以B错误.故选：ACD6．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.【详解】，，则，当且仅当即等号成立，根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，选项A中直线的斜率为，符合题意；选项B中直线的斜率为，不符合题意；选项C中直线的斜率为，符合题意；选项D中直线的斜率为，符合题意；故选：ACD.7．已知函数，则（

）A．的图象关于原点中心对称B．在区间上的最小值为C．过点有且仅有1条直线与曲线相切D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是【答案】AD【分析】根据奇函数的定义即可判断A，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断B，求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.【详解】的定义域为，且，所以为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确，，令得或，故在单调递增，在单调递减，故在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，又，最小值为，故B错误，设切点为，则切点处切线方程为，若切线经过，则将代入可得，所以或，故经过会有两条切线，C错误，若切线经过，则将代入得，令，则当因此在单调递增，在和单调递减，作出的图象如下：，要使过点存在3条直线与曲线相切，则直线过点与的图象有三个不同的交点，故，D正确，故选：AD

8．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线；(2)讨论的单调性；(3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）代入函数解析式，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线；（2）利用导数，对分类讨论，求的单调区间；（3）由恒成立，结合函数的极值，求的取值范围.【详解】（1）时，函数，则，切点坐标为，，则曲线在点处的切线斜率为，所求切线方程为，即.（2），函数定义域为R，①，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，②，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，③，恒成立，在上单调递增.（3）当时，由（2）可知为在上的极小值，也是最小值.于是，所以当且时，由于函数的图像抛物线开口向上，对称轴大于0，因此，此时，符合题意.所以的取值范围为.9．已知函数，且，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设，，，讨论函数的零点个数．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义，结合直线方程的求法，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，然后化简，换元，求导，由函数的值域，即可判断零点个数.【详解】（1）当时，定义域为R，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为．（2）由，得，得，所以，，于是，，由，得．当时，，与题意不符，所以．对两端同时取自然对数，得，得．设，则，设，则，令，得，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，且当时，，，当时，，所以当或，即当或时，函数有一个零点；当，即或时，函数有两个零点．综上，当或时，函数有一个零点；当或时，函数有两个零点．10．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，求得，，结合导数的几何意义，即可求解；（2）根据题意，把不等式转化为，设，求得，转化为存在唯一的，使，求得，得到，设，利用导数求得函数的单调性，再设，求得在上单调递增，进而求得的取值范围.【详解】（1）解：当时，，可得，则，，即切线的斜率为，所以切线方程为，即.（2）解：由题意，函数的定义域为，，即，设，则，因为，所以在上为增函数，当时，，当时，，所以存在唯一的，使，且当时，，当时，.由，得，则，所以因为，所以.设，可得，所以在区间上为减函数，又由，所以，又因为，设，则，可知在上单调递增，则，即实数a的取值范围是.11．已知，函数，．(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；(2)若与有相同的最小值，求实数a．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由得切点的横坐标，再代入计算出纵坐标即得切点坐标；（2）首先由导数求得与的最小值，由两最小值相等求，为此方程变形后引入新函数，利用导数确定单调性得出零点．【详解】（1）由题意，，由得，此时，所以切点为；（2），时，，在上是增函数，无最小值，所以，，时，，递减，时，，递增，所以有唯一的极小值也是最小值，，，，，递减，时，，递增，所以有唯一的极小值也是最小值为，由题意，，设，则，设，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以，即，是减函数，又，因此是的唯一零点，所以由得．易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数的单调性）1．求可导函数单调区间的一般步骤第一步：确定函数的定义域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；第三步：把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；第四步：确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.注意①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.技巧：1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路第一步：由函数在区间上单调递增(减)可知()在区间上恒成立列出不等式；第二步：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；第三步：对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值．易错提醒：一：研究单调性问题1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．2．已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间。例．已知函数为函数的导函数．(1)若，讨论在上的单调性；(2)若函数，且在内有唯一的极大值，求实数的取值范围．【详解】（1）因为，所以，设，则．当时，，当时，．当时，令，则．当时，，则即单调递增；当时，，则即单调递减；当时，，则即单调递增．综上，在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）知，，．（ｉ）当时，在内，恒成立，当时，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，在内有唯一的极小值点，不存在极大值，不符合题意．（ⅱ）当时，令，得，当时，；当时，．①当，即时，若，即，则当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得内的唯一极大值，符合题意．若，即，则当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得内的唯一极大值，符合题意．②当，即时，若，则单调递减，若，则单调递减，故在内无极值，不符合题意．③当，即时，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减，故在处取得内的唯一极大值，符合题意．④当，即时，在内单调递减，在内单调递增，故在处取得内的唯一极小值，不存在极大值，不符合题意．综上，实数的取值范围是．变式1．已知函数．(1)若，判断函数的单调性．(2)若有两个不同的极值点（），求证：．【详解】（1）解：当时，，所以，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以恒成立，即，所以在上单调递减．（2）解：因为，所以，因为有两个不同的极值点，所以有两个不同的实根，设，则，设，可得，所以在上是减函数，且，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，由，设，则，所以在上是增函数，所以，所以，即，因为，所以，因为，，在上是增函数，所以，所以，可得，所以．变式2．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若，求的取值范围．【详解】（1）．由题可知：，当时，令，解得，当，，单调递减，当，，单调递增；.当时，令，解得，所以当，，单调递减，当，，单调递增；综上，当时，单调递减区间为，单调递增区间为；当时，单调递减区间为，单调递增区间为．（2）原不等式为，即．因为，所以．令，则其在区间上单调递增，取，则；取，则，所以存在唯一使得，令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，．故．故，所以．当且仅当即时，等号成立，故，解得或，即的取值范围为.变式3．设函数.(1)求的单调区间；(2)若正数，满足，证明：.【详解】（1）的定义域是，.令，解得；令，解得或.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增.（2）证明：因为，所以.设，定义域为，则，当时，.单调递增；当时，，单调递减.因此，所以对任意的恒成立.令，有，当且仅当时，等号成立.因此，即，解得，即.1．若方程在上有实根，则a