2024年中考数学一轮复习提高讲义：四边形综合

四边形综合

知识梳理理

1.多边形

边数为n的多边形叫作n边形(n为大于或等于3的正整数，一般三边形称作三角形).

多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(5-2)•180°(n>3).

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.

n边形的对角线条数为/或

2.平行四边形的性质

平行四边形的性质如表19-1所示.

表19-1

AD

U四边形ABCD为平行四边形nAB〃C

平行四边形的对边平行且相等

D,AD〃BC

BC

AD

u四边形ABCD为平行四边形=NA=Z

平行四边形的对角相等

C,ZB=ZD

BC

AD

四边形ACBD为平行四边形nOA=O

平行四边形的对角线互相平分

区C,OB=OD

BC

平行四边形是中心对称图形，对称中心

就是两条对角线的交点;连接四边上任意一AED

四边形ABCD为平行四边形,E,F在A

点和平行四边形的对称中心，与另一条边相

宓D,BC上,且线段EF过点OT3E=OF

交于一点，则这两个点关于平行四边形的对BFC

称中心对称

SAAOB=SABOC=SADOC=SADOA

AD

AAOB^ACOD

平行四边形中的重要结论区AAOD^ACOB

BCAABC^ACDA

ABCD^ADAB

3.矩形的性质和判定

矩形的性质如下：

⑴矩形的四个角都是直角.

⑵矩形的对角线相等.

矩形的判定如下：

(1)有三个角是直角的四边形是矩形.

⑵对角线相等的平行四边形是矩形.

4.菱形的性质

(1)边：对边平行，四边都相等.

⑵角:对角相等.

(3)对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.

5.正方形的性质和判定

正方形的性质如下：

(1)边：四条边都相等，对边平行，邻边垂直.

(2)对角线：对角线相等且互相平分，且每一条对角线平分一组对角，对角线把正方形分成四个全等的等腰直

角三角形.

(3)角：四个角是直角.

⑷既是轴对称图形又是中心对称图形.

(5)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有特点.

正方形的判定方法：

(1)由定义判定：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形(平行四边形+一个直角+一组邻边相

等).

(2)矩形+有一组邻边相等.

(3)菱形+有一个角是直角.

典型例题

在四边形ABCD中,对角线AC.BD相交于点0,从(1)AB=CD;(2)AB//CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC±BD;

(6)AC平分/BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形.如(l)(2)(5)n四边形ABCD是菱形，再写出符

合要求的两个:今四边形ABCD是菱形;今四边形ABCD是菱形.

分析菱形的判定主要分为从四边形出发和从平行四边形出发，在四边形基础上要保证四边都相等，而在平行

四边形的基础上要保证邻边相等或对角线垂直.

解答案不唯一.⑴⑵⑹，⑶⑷(5),⑶⑷⑹等皆可.

例2

如图19-1所示，正方形ABCD的对角线长8V2„E为AB上一点，若EFXAC于F,EG±BD于G,则.EF+EG

图19-1

分析涉及垂线的问题往往可以考虑面积法，将4A0B分成△A0E和4B0E两个三角形，那么EF和EG就是

分别以A0和B0为底边的三角形的高，根据面积相等可得，EF+EG即为AC的一半.

解EF+EG=4V2.

例3

如图19-2所示，在口ABCD中,DB=CD,NC=70。,AE_LBD于点E.试求/DAE的度数.

分析本题主要结合了平行四边形、等腰三角形以及直角三角形的一些特点，进行了角度的运算.

解因为DB=CD,NC=70。

AD

所以AB=BD,NBAD=70。17\

所以NBDA=70。\\

又/AED=90°\/\

所以如E=20。\/\

例4图19-2

已知:如图19-3所示，在△ABC中，中线BE,CD交于点0,F,G分别是0B,0C的中点.求证：四边形DFGE是平行

四边形.

分析遇到多个中点问题，往往会考虑中位线，由中位线即可带来平行以及相应的数量关系［从而得到需要的

结果.A

解因为中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC的中点D/_\E

所以DE,FG分别是△ABC和4OBC的中位线//^</\

G

BC

图19-3

所以DE,FG均平行且等于BC的一半

所以DE〃FG

所以四边形DFGE是平行四边形

双基训练

1.如图19-4所示,如果口ABCD的对角线AC,BD相交于点0,那么图中的全等三角形共有（）.

A.1对B.2对

C.3对D.4对

2.平行四边形的一边长是10厘米，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）.

A.4厘米和6厘米B.6厘米和8厘米C.8厘米和10厘米D.10厘米和12厘米

3.在四边形ABCD中，。是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）.

A.AC=BD,AB=CD,AB〃CDB.AD〃BC,NA=NC

C.AO=BO=CO=DO,AC±BDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC

4.如图19-5所示,过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC,BD的平行线，分别相交于E,F,G,H四点，则四边形EFG

11为（）.

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

5.在四边形ABCD中,AD〃BC,若ABCD是平行四边形，则还应满足（）.

A.ZA+ZC=180°B.ZB+ZD=180°

图19-5

C.ZA+ZB=180°D.ZA+ZD=180°

6.一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形是（）.

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

7.如图19-6所示,大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是Si&，那么Si段的大小关系是（）.

A.S1>S2B.S1=S2

c.Si<S2D.Si,S2的大小关系不确定

8.矩形的一条角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为（）

A.3平方厘米B.4平方厘米

C.12平方厘米D.4平方厘米或12平方厘米

9如图19-7所示，菱形花坛ABCD的边长为6米,NB=60。,其中由两个正六边形组成的图形部分种轮,则种花部

分的图形的周长（粗线部分）为（）.

A12百米B.20米C.22米D.24米

10.如图19-8所示，将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合,则折痕EF的长是

().

A.V3B.2V3C.V5D.2V5

AGD

图19-8图19-9

11.如图19-9所示是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点

O,再从中点O走到正方形OCDF的中心Oi,再从中心Oi走到正方形01GFH的中心O?,又从中心O2走到

正方形02IHJ的中心03,再从中心03走到正方形03KJP的中心O,，一共走了31鱼米，则长方形花坛ABCD

的周长是（）.

A.36米B.48米C.96米D.60米

12.矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,NAOB=2/BOC,若AC=16厘米则AD=____厘米.

13.如图19-10所示，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积

的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于—.

14.如图19-11所示，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形

AMKP的面积Si与矩形QCNK的面积S2的大小关系是SxS2（填或

15.如图19-12所示,四边形ABCD是正方形,P在CD上,△ADP旋转后能够与△重合，若AB=3,DP=1,则.P

P'=

16.已知菱形有一个锐角为60。，一条对角线长为6厘米，则其面积为一平方厘米

17.在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的

两个图形全等.

⑴根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有一组.

⑵请在图19-13所示的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线.

⑶由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

18.如图19-14所示，已知四边形ABCD是平行四边形,/BCD的平分线CF交边AB于F,ZADC的平分线DG

交边AB于G.

(1)线段AF与GB相等吗？

(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由.

图19-14

19.如图19-15所示,已知口ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点F.

(1)试说明线段CD与FA相等的理由.

(2)若使/F=/BCF,口ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要

再添加辅助线).

图19-15

20.如图19-16所示，已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点，且.AACE是等

边三角形.

(1)求证:四边形ABCD是菱形.

(2)若^AED=2NE2D,求证：四边形ABCD是正方形.

能力提升

21.如图19-17所示,在梯形ABCD中，已知4旬|他,点E为BC的中点设△DE4的面积为S1梯形ABCD的面

积为.52,则S1与S2的关系为—.

22如图19-18所示四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直，四边形.4出心。1是四边形ABCD的中点四

边形如果AC=8,BD=10,,那么四边形Ai/CiDi的面积为

23.如图19-19所示llogranMBCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△48E向上翻折，点A正好落在CD上

的点F,若△FDE的周长为8,AFC8的周长为22厕FC的长为

24.将一张长方形的纸对折，如图19-20所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次

的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到一条折痕；如果对折n次，可

以得到一条折痕.

第一次对折第二次对折第三次对折

图19-20

25.已知:如图19-21所示.四边形ABCD是菱形旧是BD延长线上一点,F是DB的延长线上的一点，且DE=

BF..请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线

段相等（只须证明一组线段相等即可）.

⑴连接一

⑵猜想:

（3）证明:

26.已知:如图19-22所示，在边长为a的菱形ABCD中,=60°„E是异于A,D两点的动点，F是CD上的

动点.请你判断：无论E,F怎样移动，当满足：AE+CF^a时,△BEF是什么三角形?并说明你的结论.

图19-22

27.已知:如图19-23所示,E,F分别是WogramABCDmAD.BCAE=CF.

(1)求证:AABE=ACDF.

(2)若M,N分别是BE,DF的中点，连接MF,EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.

图19-23

28.已知:如图19-24所示,△4BC中,CE,CF分另是N力C8和它的令B补角.乙4C。的角平分线,AE，CE于E,AF±CF

于F,直线EF分别交AB.AC于M,N.

求证:⑴四边形AECF是矩形.

(2)MN与BC的位置有何关系，证明你的结论.

图19-24

29.如图19-25所示，已知梯形ABCD中,AD\\BC,AB=DC,,对角线AC和BD相交于O,E是BC边上一个动点

(点E不与B,C两点重合),EF〃BD交AC于点F,EG||4C交BD于点G.

(1)求证:四边形EFOG的周长等于2OB.

⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD〃:BC,AB=DC”改为另一种四边形.其他条件不变，使得结论“四边

形EFOG的周长等于20B”的结论仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明.

图19-25

拓展资源

30.如图19-26所示,正方形ABCD的边长为4厘米,两动点P,Q分别同时从D,A出发，以1厘米/秒的速度各自

沿着DA,AB边向A,B运动.试解答下列各题：

(1)当P,Q出发后多少秒时,四边形APOQ为正方形？

(2)当P,Q出发后多少秒时,SpQ)=卷S正方形ABCD.

图19-26

31.在边长为6的麦形ABCD中，动点M从点A出发，沿A—>B—>C向终点C15动，连接DM父AC于点N.

⑴如图19-27所示，当点M在AB边上时，连接BN.

①求证：AABN=AADN;

②若^ABC=60°,AM=4,,求点M到AD的距离.

⑵如图19-28所示，若Z.ABC=90°,,记点M运动所经过的路程为x(6<x<12).

试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

图19-27图19-28

32.在正方形ABCD中,M是边BC中点,E是边AB上的一个动点,MF1ME,,MF交射线CD于点F,AB=4,BE=

x,CF=y.

⑴求y关于x的解析式，并写出x的取值范围.

(2)当点F在边CD上时，四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化?请说明理由.

(3)当DF=1时，求点A到直线EF的距离.

33.如图19-29所示,四边形ABCD是正方形,△4BE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将

BM绕点B逆时针旋转(60。。得到BN,连接EN,AM,CM.

(1)求证:△AMB=AENB;

⑵①当点M在何处时,AM+CM的值最小；

②当点M在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由；

⑶当AM+BM+CM的最小值为百+1时，求正方形的边长.

34.已知矩形ABCD中,AB=4厘米BC=8厘米,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为0.

⑴如图19-30所示，连接AF,CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长.

⑵如图19-31所示动点P,Q分别从A,C两点同时出发，沿△4FB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A-F-

B—A停止.点Q自C—D—E—C停止.

①已知点P的速度为5厘米/秒，点Q的速度为4厘米/秒，运动时间为t秒，当以A,C,P,Q四点为顶点

的四边形是平行四边形时，求t的值.

②若点P,Q的运动路程分别为a,b（单位：厘米，ab手0）,,已知以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边

形，求a与b满足的数量关系式.

1.D2.D3.C4.C5.D

6.B7.A8.D9.B10.D

11.C12.813.30°14.=\S.PP'=2乘16.18/或68

17.(1)无数；

⑵作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可如答图19-1、答图19-2

和答图19-3所示,AE=BE=DF=CF,AM=CN.

⑶这两条直线过平行四边形的对称中心(或对角线的交点).

18.(1)证明:因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AB//CD,AD//BC,AD=BC.

所以ZAGD=ZCDG,ZDCF=ZBFC.

因为DG,CF分别平分/ADC和/BCD,

所以ZCDG=ZADG,ZDCF=ZBCF.

所以/ADG=/AGD,/BFC=NBCF,所以AD=AG,BF=BC.

所以AG=BF.

所以AF=BG.

(2)因为AD〃BC,

所以ZADC+ZBCD=180°,

因为DG,CF分别平分/ADC和/BCD,

所以NEDC+NECD=90。.

所以NDEC=90。.

所以乙FEG=90°.

因此我们只要保证添加的条件使得EF=EG就可以了.

我们可以添加/GFE=NFGD.四边形ABCD为矩形,DG=CF等.

19.(1)因为四边形ABCD是平行四边形

所以CD/7BF,^ITUZZCDA=ZDAF

又因为E是AD的中点，所以AE=ED

又因为/CED=NAEF,所以△AEF^ADEC

所以CD=AF

⑵添加条件为BC=2AB.理由如下：

因为AB=CD=FA,BC=2AB,

所以BC=AB+AF=BF,所以/F=/BCF

20。)因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AO=CO,

又因为△ACE是等边三角形，

所以EO_LAC,即DB_LAC,

所以平行四边形ABCD是菱形；

(2)因为△ACE是等边三角形，

所以/AEC=60。，

因为EOXAC,

所以^AEO=|^AEC=30°

因为/AED=2NEAD;

所以/EAD=15。，

所以^ADO=LEAD+AAED=45°

因为四边形ABCD是菱形，

所以NADC=2/ADO=90。，

所以四边形ABCD是正方形.

21$=2sl22.2023.724.15;2"-1

25.(1)连接AF;

(2)AF=AE;

⑶证明:四边形ABCD是菱彩

所以AB=AD,

所以NABD=NADB,

所以/ABF=/ADE,

在仆ABFADE中,AB=AD,/ABF=NADE,BF=DE

所以△ABF0△ADE,

所以AF=AE.

26.如答图19-4所示，连接BD,

因为四边形ABCD是菱形，

所以AB=AD,

因为NDAB=60。，

所以△ABD是等边三角形，

所以AB=DB,

又因为AE+CF=a,

所以AE=DF,

所以△ABE会△DBF,

所以BE=BF,ZABE=ZDBF,

所以ZEBF=ZABD=60°,

所以△BEF是等边三角形.

27.(1)因为在口ABCD中,AB=CD,/A=/C,

又因为AE=CF,

所以△ABE^ACDF.

⑵四边形MFNE是平行四边形.

由(1)知4ABE^ACDF,

所以BE=DF,ZABE=ZCDF,

又因为ME=BM=^BE,NF=DN=^DF

所以ME=NF=BM=DN,

又因为NABC=/CDA,

所以NMBF=/NDE,

又因为AD=BC,

AE=CF,

所以DE=BF.

所以△MBF^ANDE,

所以MF=NE,

所以四边形MFNE是平行四边形.

28.(1)证明:因为AE_LCE于E,AF_LCF于F,

所以ZAEC=ZAFC=90°,

又因为CE,CF分别平分/ACB与它的邻补角/ACD,

所以ZBCE=ZACE,ZACF=ZDCF,

所以/.ACE+/.ACF=|x(乙BCE+^ACE+^ACF+乙DCF)=|X180°=90。，所以三个角为直角的四边形

AECF为矩形.

-1

(2)MN〃:BC且“N=：BC;

证明：因为四边形AECF为矩形，

所以NE=NC,

所以/NEC=ZACE=ZBCE,

所以MN〃:BC,

又因为AN=CN,

所以MN是小ABC的中位线，

所以MN=并。

29.(1)证明:如答图19-5所示.4——

因为四边形ABCD是梯形,AD〃BC,AB=CD,/\

所以/ABONDCB.77\\

又因为BC=CB,AB=DC,1%^/

所以AABC义ADCB.B七答图]"50

所以/1=/2.

又因为GE〃AC,

所以N2=/3.

所以/1=N3.

所以EG=BG.

因为EG〃OC,EF〃OB,

所以四边形EGOF是平行四边形.

所以EG=OF,EF=OG.

所以四边形EGOF的周长=2(OG+GE)=2(OG+GB)=2OB

(2)如答图19-6所示，已知矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为BC上一个动点，(点E不与B,C两点重

合)EF〃BD,交AC于点F,EG〃AC交BD于点G,彳。

求证:四边形EFOG的周长等于2OB.故答案为:矩形ABCD.院7]

30.(1)设在P,Q出发x秒后,四边形APOQ为正方形,4-x=x，解得x=2,

(2)1秒或3秒

BE

答图19-6

31.(1)①证明:如答图19-7所示，因为四边形ABCD是菱形.

所以AB=AD,Z1=Z2.

又因为AN=AN,

所以△ABN^AADN.

②作MHLDA交DA的延长线于点H.

由AD〃BC得/MAH=NABC=60。.

在RtAAMH中,MH=AM-sin60°=4sin600=2V3

所以点M到AD的距离为2V3.

(2)因为NABC=90。，

所以菱形ABCD是正方形.

所以NCAD=45。.

下面分三种情形：

(I)若ND=NA,则NADN=NNAD=45。.

此时，点M恰好与点B重合得x=6;

(II)若DN=DA,则NDNA=NDAN=45。.

此时，点M恰好与点C重合彳导x=12;

(III)如答图19-8所示，若AN=AD=6,则/1=N2.

因为AD〃BC,

所以/1=/4.又/2=/3,

所以/3=/4.

所以CM=CN.

因为4C=6V2

所以CM=CN=AC-AN=6V2-6

故久=18-6/

综上所述：当x=6或12或18-6/时,△ADN是等腰三角形.

32.(1)因为NBEM+/EMB=/EMB+/FMC=90°

所以/BEM=/FMC

又/B=NC=90。

所以△BEM^ACMF

r-r-|\IBEBM

所以方=项

所以xy=4,x的取值范围是0<x<4.

⑵不变，理由如下：

因为根据勾股定理得：EM2=BE2+BM2=Y+22=/+4,刊/=y2+4,

所以EF2=EM2+FM2=x2+4+y2+4=%2+y2+8,

因为xy=4,

所以EF2=(x+y)2,

所以EF=x+y,

所以四边形AEFD的周长是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=l2.

⑶设A到直线EF的距离为d,①DF=l=>y=3^>%=1

所以EF=