2024年中考数学一轮复习提高讲义：角

角

知识梳理

1.角的定义

⑴由两条有公共端点的射线所组成的图形.这个公共端点叫作角的顶点.

⑵由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边.

2.角的表示方法

(1)分别用两边上的各一个字母和顶点字母共三个字母表示，顶点字母在中间；

(2)以某一点为顶点的角只有一个时，可以直接用顶点字母表示；

⑶用特定的字母或数字表示角.

3.角的度量及角度计算

⑴角度以度、分、秒为单位，它们之间是六十进制；

⑵角度运算时满足“满六十进一，借一作六十”.1。=60；1，=得)°；1，=60〃,1〃=隽)

4.角的大小比较方法

(1)叠合法;

(2)度量法;

(3)观察法.

5.角的和、差

一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数之和，那么这个角就叫作另两个角的和.如果是/a与NP的

和,记作.Ny=Na+

如果一个角的度数是另两个角的度数之差，那么这个角就叫作另两个角的差.如果是/丫与/a的差.记作/

p=Zy-Za.

6.角的平分线

如图13-1所示，从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.

符号语言：OC就是/AOB的平分线

符号表达：

AAOC=^BOC=-^AOB

2

ZAOB=ZAOC+ZBOC=2ZAOC=2ZBOC

7.余角和补角

如果两个锐角的和是一个直角，即两个角的和等于90。，我们就说这两个角互为余角，简称互余.其中一个角

是另一个角的余角.

如果两个角的和是一个平角，即两个角的和等于180°,我们就说这两个角互为补角，简称互补.其中一个角是

另一个角的补角.

注：互为余角、互为补角的两个角反映的是角的数量关系，只和两个角的大小有关，而与它们的位置无关，

所以互余与互补的角不一定相邻（见表13-1）.

表13-1

典型例题

例1

①把105.38。化成度、分、秒的形式；

②把72。2042”化成度的形式；

③89°36'-20°30'.

分析①把度转化为度、分、秒的换算中，要用乘法，先把不足1度的化为分，再把不足1分的化为秒；②把

度、分、秒化成度时，要用除法，它的基本顺序是先把秒化为分，并与原有的分合并，再化成度.

解①因为0.38°=60'x0.38=228,08=60"x0.8=48”,月所以105.38°=105°22'48".

②因为42°=(/)'X42=0.7；207=Q)X20.7=0.345。，所以72°20'42"=72.345°.

③因为89°36'=89.6°,20°30'=20.5°.

原式=89.6。-20.5。=69.1。.

例2

已知a,b都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算其a+6)的结果依次为55。,75。,120。,150。,你认为()的结果可

能是正确的.

A.甲B.乙C.丙D.丁

分析a,b都是钝角，根据a,b的范围求出a+b的范围，进而得到+b)的范围，再判断谁的结果可能正

确.

解因为a,b都是钝角，所以90。。<180。,90。4<180。,得180。々+1?<360。,.所以60°<|(cz+fa)<120。，甲、

乙、丙、丁四人的计算结果，只有乙的计算结果落在这个范围内，所以乙的结果可能正确.答案为B.

如图13-2所示,AB,CD相交于点O,OB平分/DOE,若/DOE=70。,求NAOC的度数？

图13-2

分析已知OB平分/DOE,由NDOE=70。可以求出/BOE=NBOD=35。和/COE,题目要求的是/AOC的度

数，根据所给条件不能直接得出，可以将求/AOC转化为先求/COB再得出/AOC.

解因为OB平分/DOE,/DOE=70。，

所以NBOE=/0E=[x70°=35°,

ZCOE=ZCOD-ZDOE=180°-70°=110°,

所以/BOC=NCOE+/BOE=110°+35°=145°,

所以/AOC=/AOB—/BOC=35。.

例4

已知一个角的余角比它的补角的|还少13。，求这个角.

分析将题目中的数学语言转化为代数式，建立方程后求解.

解设这个角为x度，则这个角的余角是(90-x)度，补角是(180%渡.

由题意得，90-%=|(180-%)-13,

解方程彳导x=81.

所以这个角的度数为81。.

例5

下列有关时钟的时针与分针所成角的说法中正确的是().

A.九点一刻时，所成的角是平角B.十点五分时，所成的角是锐角

C.十一点十分时，所成的角是钝角D.十二点一刻时，所成的角是直角

分析时钟的时针1小时转30°,1分转0.5。;分针1小时转360°,1分转6。.另外，还可画图以形助思（如图13-3所

示）.

解B.

双基训练

1.如图13-4所示,/AOB+/BOC=/;ZAOC-ZBOC=Z;ZAOB=ZAOC-Z

2.若N1+N2=90°,Z3+/2=90°,/3=40。,则Z1=，依据是_.

3.已知Na=58。23'/。的余角是__,Na的补角是—.

4.如图13-5所示,N40B=MOD=90。,44。。=146。,则乙BOC=».

图13-5图13-6图13-7

5.如图13-6所示,/ABC是直角.NABE=30tBF平分/ABC.则NEBF的度数是.

6如图13-7所示,OC平分NAOB,下列说法错误的是（）.

A.Za=ZpB,ZAOB=2Za

1

C.Zp=2ZAOBD.^.a=-Z-AOB

7.如图13-8所示，下列表示角的方法，错误的是（）.

A.Z1与/AOB表示同一个角

B.ZAOC也可用/O来表示

C.图中共有三个角:/AOB,/AOC,/BOC

D.20表示的是/BOC

8.如图13-9所示,/AOB=NBOC=/COD=NDOE=30。.图中互补的角有().

A.10对B.4对C.3对D.5对

互为补角，且则/2的余角是().

1-1-11

X.1(zl+z2)C.^(zl-Z2)D.1z2

10.把下列角度转化成度、分、秒的形式.

(1)30.6°(2)65.52°(3)32.26°

11.把下列角度化成度的形式.

(1)70°42,(2)42°30'36〃(3)75°19'12''.

12.计算:

⑴14。28'+78。35'（结果用度、分、秒表示）

（2）120°12,-78。36,（结果用度表示）

(3)180°-120°18,

13.如图13-10所示，请比较图中三角形三个角的大小，并说明理由.

14.如图13-11所示，点O在直线AB上，乙40c=30°,,用量角器作出N80C的角平分线OD,并计算NAOD的

度数

/------------------------------------B

图13-11

15.一个角的补角减去40。后，等于这个角的余角的2倍，求这个角的度数.

16如图13-12所示，直线AB,CD相交于点O,已知NAOC=80o,OE把/BOD分成两个角，且NBOE:/EOD=3:5,

求NDOE的度数

图13-12

17.如图13-13所示，直线AB,CD相交于点0,0B平分NEOD/COE=100。,求NAOD和/AOC的度数.

18.如图13-14所示直线AB,CD相交于点O,/BOE=90。,若NCOE=55。,,求/BOD的度数.

图13-14

19.如图13-15所示，三条直线AB,CD,EF相交于点0,ZX0F=3乙FOB/AOC=90。,求/EOC的度数.

图13-15

20.如图13-16所示，乙40C/8。。者B是直角，目乙40B与的度数比是2:11,求乙40B和NBOC的度数.

图13-16

能力提升

21.如图13-17所示,0B平分/AOC.且/2:/3:/4=3:5:4,贝!]/2=。，/3=。，/4=

22.如图13-18所示，已知/人08=64。,04平分/人08,0人"平分/人€^,0人"平分/40人",则/人”0人”的大小为（

).

A.8°B.40C.2°D.l0

23若N|3=n,且既有余角，又有补角那n的取值范围是（）.

A.n=90°B.n=180°C,90°<n<180°D.0°<n<90°

24.在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际南或北方向线之间的夹角大小来表示的.如图13-19所示，用

ON（南北线）与飞行线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角，从。到A的飞行方向角为30°，从。到B的飞行方

向角为75。,从O到C的飞行方向角为155。,则OA与OB之间的夹角是—.OB与OC之间的夹角是

25.小冈悔晚19:00都要看央视的“新闻联播”节目，这时钟面上时针与分针夹角的度数为

26.计算:

（1）118o12'-37o37'x2

(2)132°26'42"-41.325°x3

图13-19

（3）360。+7（精确到分）.

27如图13-20所示，已知.za,4,々画乙4OB,使U0B=2/a+邛-|zy.

ay

图13-20

28.一个角的补角与20。角的和的一半等于这个角的余角的3倍，求这个角.

29.如图13-21所示,OD平分.N力。BQE分乙AOB为2:3两部分,NDOE=12。,。,求N40B的度数.

30.如图13-22所示,OC,OD是.乙408的任意两条射线,OM平分乙40C,,ON平分4BOD若乙MON=a,/.COD

=0,求Z.AOB.

拓展资源

3L如图13-23所示，利用图中所提供的一副三角板，你能画出哪些度数的角，这些角有什么规律？（角的范围

图13-23

32.已知在三角形中，三个内角的度数的和等于180。,,如图13-24所示，在三角形ABC中,BO,CO分别平分.

/.ABC./-ACB.

(1)若乙4=80。厕乙BOC==.

(2)若/A=a，贝U.NBOC=.

33.如图13-25所示,有一个3x3的正方形，求.N1+42+N3+-+Z7+Z8+49的和.

图13-25

34.已知乙40B是直角，若以O为顶点，在乙4。8的内部画出100条射线，则以OA,OB及这些射线为边的锐

角共有多少个?若以O为顶点，在乙40B的内部画出n条射线（n>1的自然数），则以OA,OB以及这些射线为边

的锐角共有多少个？

35.如图13-26所示，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋.如

果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射）,那么该球最后落入哪个球

袋?在图上画出被击的球所走的路程.

1号球袋2号球袋

3号球袋4号球袋

图13-26

l.ZAOC,ZAOB,ZBOC2.40°,等角的余角相等

3.31°37',121°37'4.34。5.15°6.C7,B8.B9.C

10.(1)30°36',(2)65°31'12",(3)32°15'36"

11.(1)70.7°,(2)42.51°,⑶75.32°

12.(1)93°3,,(2)41.6°,(3)59。42,或59.7°

13.量得NA=80。,NB=40。,/C=60。所以NB</C<NA.

14./AOD=105°,图略15.40°16,ZDOE=50°17.ZAOD=140°,ZAOC=40°

18.35°19.45°20.ZAOB=20°,ZBOC=70°21.72,120,9622.A23.D