2024年中考数学专项复习：两圆中垂构造等腰三角形（解析版）

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酒&模型介绍

【模型】已知点A,2是平面内两点，再找一点C,使得△ABC为等腰三角形.

【结论】分类讨论：

若A8=AC,则点C在以点A为圆心，线段的长为半径的圆上；

若BA=8C,则点C在以点8为圆心，线段A8的长为半径的圆上；

若CA=C2,则点C在线段AB的垂直平分线P。上.以上简称''两圆一中垂”.

“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法

构成三角形的点M,N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.

□fl

例题精讲

【例1］如图，平面直角坐标系中，已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使

△ABC为等腰三角形，你能否将点C的坐标表示出来？

解：：点A、2的坐标分别为(2,2)、B(4,0).

:.AB=2®

①若AC=AB,以A为圆心，48为半径画弧与无轴有2个交点(含8点)，即Ci(0,0)、

(4,0)(舍去。

②若以3为圆心，54为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外）：（4-2圾,

0）（4+2加,0）,即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；

③若CA=CB,作A8的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，分别为（2,0）,

（0,-2）；

综上所述：点C在x轴上，AABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个.

A变式训练

【变式17].直线y=-x+2与无轴、y轴的正半轴分别交A、8两点，点P是直线y=-x+2

上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为（0,2）,（1,1）,（2-亚,

如）,（2+芯,-近）_.

解：依题意得A（2,0）,B（0,2）,△AOP为等腰三角形，有三种情况：

当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线于点P,P（0,2）符合题意；

当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线42于两点，过P点

作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（2-、历，我），（2+&,-&）；

当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线48于P点，则P（l,1）.

故答案为：（0,2）,（1,1）,（2-V2，&）,（2+V2，-V2）.

【变式1-2].如图，在矩形A8CD中，AB=5,BC=3,点P为边AB上一动点，连接CP,

DP.当△€»尸为等腰三角形时，AP的值为1或2.5或4

解：在矩形A8CZ）中，CD=AB=5,

①当CQ=CP=5时，过点P作于点。,

：.PQ=AD=3,

C2=VCP2-PQ2=4,

：.BP=4,

：.AP=1；

②当CD=DP=5时，同①可得AP=4,

③当DP=C/时，可知P为A2的中点，AP=2.5.

故答案为：1或2.5或4.

【例2].如图，己知点A（1,2）是反比例函数y=区图象上的一点，连接A。并延长交双

x

曲线的另一分支于点8,点尸是x轴上一动点；若是等腰三角形，则点P的坐标

是（-3,0）或（5,0）或（3,0）或（-5,0）.

；.4、B两点关于。对称,

.•.0为AB的中点，且8(-1,-2),

当△RW为等腰三角形时有PA^AB或PB=AB,

设尸点坐标为(x,0),

VA(1,2),B(-1,-2),

2222PB

•••AB=V[l-(-l)]+[2-(-2)]=2存PA=V(X-1)+2，=

V(X+1)2+(-2)2)

当PA^AB时，则有[(X-1)2+22=2&，解得X=-3或5,此时尸点坐标为(-3,

0)或(5,0)；

当PB=AB时，则有｛(*+1)2+(-2)2=2泥,解得x=3或-5,此时P点坐标为(3,

0)或(-5,0)；

综上可知尸点的坐标为(-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0),

故答案为：(-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0).

A变式训练

【变式2-1].直线y=-x+4与x轴、y轴的正半轴分别交A、3两点，点尸是直线y=-x+4

上的一点，当△A。尸为等腰三角形时，则点尸的坐标为(2,2),(0,4),(4-2后，

2技，(4+2后，-2后)..

解：依题意得A(4,0),B(0,4),

.•.04=02=4,

...△AOB为等腰直角三角形，有三种情况：

(1)当点。为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线于点8,B(2,2)符合

题意；

(2)当点A为顶点，。4为腰时，以点A为圆心，0A为半径画弧交直线AB于两点，过

尸点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是(4-2版,2&)，(4+2&,-2弧)；

(2)当为底时，作线段OA的中垂线交直线于P点，则P(2,2).

故本题答案为：(2,2),(0,4),(4-2&,2&),(4+2&,-2^2).

【变式2-2].如图，平面直角坐标系中，直线y=-3x+9■与直线>=旦尤+9交于点8,与

4422

x轴交于点A.

(1)求点B的坐标.

（2）若点。在x轴上，且△ABC是以A5为腰的等腰三角形，求点。的坐标.

：.B(-1,3)；

(2)\•直线y=-3x+旦与直线y=3x+9交于点3,与无轴交于点A.

4422

AA(3,0),B(-1,3),

AC2=(3-m)2—m2-6m+9,BC2=(m+1)2+32=m2+2m+10,

当AC—AB时，m2-6m+9=52,解得：m=8或-2；

当时，m2+2m+10=52,解得：根=-5或3(与点A重合，舍去);

故点C的坐标为(-5,0),(-2,0),(8,0).

实战演练

1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,3),B(0,5),若在坐标轴上找一点C,使

得△ABC是等腰三角形，则这样的点C有(

A.4个B.5个C.6个D.7个

解：由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个;

以AC、为腰的三角形有2个;

以BC、为腰的三角形有2个.

x轴交于点A,与y轴交于点8,点尸是无轴上

则点P的坐标不可能是()

A.(-3-2M,0)B.(3,0)C.(-1,0)D.(273，0)

解：如下图所示:

,/函数尸冷的图象与无轴交于点A,与y轴交于点B,

在中，令y=0可得％=-3,令x=0可得

3

.,.A（-3,0）,B（0,a），

32+（V3）2=2百，

（1）当4B=BP时，点尸与尸1重合，则Pi（3,0）；

（2）当AP=BP时，点尸与点P2重合，如图②所示：

过的中点C作x轴的垂线，垂足为£）,

由题意知：CD1=AD-PD,

,点C的坐标为（-旦，亚"）,设点尸的坐标为（a,0）

22

（近）2=（-3+3）（a+S）

222

解之得：a--1

即：点尸的坐标为（-1,0）

（3）当时，点尸3重合，则P3（-3-273-0）或（-3+2我，0）

综上所述：若△B42为等腰三角形，则点尸的坐标可能是（3,0）、（-1,0）、（-3-2我,

0）,（-3+2我，0）

故选：D.

3.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0,2）,点8的坐标为（K巧，0），点C在

x轴上.若△ABC为等腰三角形时，ZABC=30°,则点C的坐标为（

A.(-2V3.0),2a0),(2>/3-4,0)

3

B.(-26，0),d0),(4+2V3-0)

3

0),(返，0)

C.(-2V3,0),(阻

33

D.(-2V3.0),(1,0),(4-273-o)

解：：点A的坐标为（0,2）,点3的坐标为（2>/§，0）,

；.OA=2,OB=2如,

••・A"、0A?40B2=62+(2近)2=4,tan/AB0=冷品=(

480=30°，

VZABC=30°,

...点C在点3的左边.

①若AB=AC=4,

XVOAXBC,

OC=O8=2百，

.,.点Ci坐标为（-273-0）；

②若BC=AB=4,

又：点B的坐标为（2^^，0）,

.•.点C2坐标为（2百-4,0）；

③若CA=CB,则C在线段A5的垂直平分线上.

设OC=x,贝ijAC=BC=OB-OC=2A/3-x.

在直角△OAC中，VZAOC=90°,

：.OA2+OC2=AC2,即22+/=（2«-尤）2,

解得x=22Zl_.

3

...点C3坐标为（2巨，0）.

3

综上所述：点C坐标为（-2«,0）或（273-4,0）或（且巨，0）.

3

故选:A.

4.已知平面直角坐标系中有A(2,2)、B(4,0)两点，若在坐标轴上取点C,使AABC

为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()

-►

x

D.8个

解：如图：

当时，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴于点Ci,C2,

当氏4=2C时，以点2为圆心，42长为半径画弧，交x轴于点C3,C4,

当CA=CB时，作42的垂直平分线，交x轴于点C5,交y轴于点C6,

:点A,B,C2三个点在同一条直线上,

...满足条件的点C的个数是5,

故选：A.

5.如图，抛物线y=/-2x-3与y轴交于点C,点。的坐标为（0,-1）,在第四象限抛

物线上有一点尸，若△PC。是以8为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）

C.V2-1D.1-&或1+V2

所以，点C的坐标为（0,-3）,

:点。的坐标为（0,7）,

线段CD中点的纵坐标为工X（-1-3）=-2,

2

•••△PC。是以CD为底边的等腰三角形，

点P的纵坐标为-2,

-2尤-3=-2,

解得=X2=l+&,

..•点尸在第四象限，

.♦.点尸的横坐标为1+V2.

故选：A.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,-2）,在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三

角形，则符合条件的有4个.

解：分二种情况进行讨论：

当。4为等腰三角形的腰时，以。为圆心。4为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为

圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；

当OA为等腰三角形的底时，作线段04的垂直平分线，与丁轴有一个交点.

符合条件的点一共4个.

故答案为：4.

7.如图，已知点A,8的坐标分别为（2,0）和（0,3）,在坐标轴上找一点C,使AABC

是等腰三角形，则符合条件的C点共有8个.

以点A为圆心，为半径画圆，与坐标轴有三个交点（2点

与坐标轴有三个交点（A点除外）,

当CA=CB时，画42的垂直平分线与坐标轴有2个交点,

综上所述：符合条件的点C的个数有8个,

故答案为：8.

8.已知直线y=-，§x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-5(x-、口)2+4

3

上，能使为等腰三角形的点P的个数有3个.

解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC,

如图所示.

令一次函数y=-中尤=0,则y=3,

.♦.点A的坐标为(0,3)；

令一次函数y=-焉x+3中y=0,贝!]-百x+3=0,

解得：x=V3>

.•.点8的坐标为(百，0).

：.AB=2y/3-

•.•抛物线的对称轴为

.♦.点C的坐标为(2如，3),

.•.AC=2F=AB=BC,

」.△ABC为等边三角形.

令尸-(x-2+4中y=0,则-《(x-V3)2+4=0,

33

解得：x=_M，或了=3百.

.♦.点M的坐标为(-我，0),点N的坐标为(373-0).

△ABP为等腰三角形分三种情况：

①当时，以8点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于C、M,N三点;

②当尸时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；

③当AP=B尸时，作线段的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；

能使△A2P为等腰三角形的点P的个数有3个.

故答案为：3.

9.在平面直角坐标系中，已知A(5,0),B(0,12),且A2=13,在x轴上取一点P,使

得△E4B是以AB为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点P的坐标(-5,0),

(-8,0),(18,0).

解：如图，

①若AB=BP,则。4=0尸=5,则点尸1(-5,0)；

②若A8=A尸，则点尸2(-8,0)；点尸3(18,0)；

符合条件的点P的坐标分别为：(-5,0),(-8,0),(18,0).

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，NAO2=50°,轴于3,

点C在y轴正半轴上运动，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数是40。或100。.

当OA=OC时，NAOC=90°-40°,

当AO=AC时，Z040=180°-2X40°=100°,

当CO=C4时，NACO=180°-2X40°=100°,

综上所述，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数为40°或100°,

故答案为：40°或100。.

11.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线/分别交x轴、y轴于A、8两点，

OA<OB,且。4、的长分别是一元二次方程/-7x+12=0的两根.

(1)求直线的函数表达式；

(2)若在y轴上取一点P,使△A8P是等腰三角形，则请直接写出满足条件的所有点尸

的坐标.

得xi=3,%2=4,

*：OA<OB,・・・OA=3,08=4.

AA(3,0)B(0,4)

设直线AB的函数表达式y=kx+b,

则［0=3k+b

14=b

f,4

lr=----

：.i3

b=4

.4，

,•y=-7-x+4

o

(2)满足条件的P的坐标：(0,9)(0,工)(0,-1)(0,-4)

8

因为。4=3,。2=4所以A2=5,

以8为圆心，以为半径作弧，交y轴与两点，

这两点的坐标分别是(0,9)、(0,-1)

这两点与A、8都构成的△A8P是等腰三角形.

根据轴对称的意义，当尸(0,-4)时，

△ABP是等腰三角形.

当点尸在的垂直平分线与y轴的交点上时，

设P(0,m)

则(4-相)2—m2+32

解得，m=—

8

所以点尸的坐标为：(0,9)(0,工)(0,-1)(0,-4)

8

12.如图1,在平面直角坐标系中，点A、点8的坐标分别为(4,0)、(0,3).

(1)求A8的长度.

(2)如图2,若以为边在第一象限内作正方形ABC。，求点C的坐标.

(3)在x轴上是否存在一点P,使得是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐

：.OA=4,OB=3,

-'-AB=VOA2-K)B2=5)

(2)如图，过点C作CEL02于E,

AZCBE+ZBCE^9Q0,

:四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90°,

AZCBE+ZABO=90°,

：.ZABO=ZBCE,

，ZAOB=ZBEC=90°

在AAOB和△BEC中，，NABO=/BCE

AB=BC

△AOB妾△BEC,

：.BE=OA=4,CE=OB=3,

：.OE=OB+BE=I,

：.C(3,7)；

(3)设P(a,0),

VA(4,0),B(0,3),

：.PA=\a-4\,PB2=a2+9,AB=5,

•••△ABP是等腰三角形，

①当时，

；.|a-4|=5,

'.a=-1或9,

：.P(-1,0)或(9,0),

②当=时，

22

(A-4)=a+9,

③当PB=AB时，

：.cr+9=25,

.'.a—4(舍)或a—-4,

：.P(-4,0).

即：满足条件的点尸的坐标为(T,0)、(-4,0)、(9,0)、(―,0).

13.抛物线y=ax2+bx-3QW0)与直线y=kx+c(4力0)相交于A(-1,0)>B(2,-3)

两点，且抛物线与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求出C、£>两点的坐标

(3)在第四象限抛物线上有一点P,若是以CD为底边的等腰三角形，求出点P

的坐标.

解：(1)把A(-1,0)、2(2,-3)两点坐标代入

产一+小3可得卜玲-3=0

I4a+2b-3=-3

解得卜=1

lb=-2

.*.y=x2-2x-3

(2)把x=0代入y=f-2x-3中可得y=-3.9.C(0,-3)

设丁=区+。，把A(-1,0)、B(2,-3)两点坐标代入

f-k+b=0

I2k+b=-3

解得修1

lb=-l

.•.y=-x-I

：.D(0,-1)

（3）由C（0,-3）,D（0,-1）可知CD的垂直平分线经过（0,-2）

尸点纵坐标为-2,

x2-2x-3=-2

解得：x=l±®Vx>0.\x=l+V2.

：.P（1+V2，-2）

14.如图，已知二次函数y=-/+6x+c（c>0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点8

的左侧），与y轴交于点C,且O8=OC=3,顶点为

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ,垂足为。，若。。=优，

四边形ACPQ的面积为S,求S关于机的函数解析式，并写出机的取值范围；

（3）探索：线段8M上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N

的坐标；如果不存在，请说明理由.

.(0=-9+3b+c

,I3=c

解得［b=2］分

1c=3

・•・二次函数的解析式为y=-/+2x+3.

(2)y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,M(1,4)

设直线MB的解析式为y=kx+n,

则有［4=k+n

I0=3k+n

解得修2

In=6

直线MB的解析式为y=-2x+6

轴，OQ=m,

点尸的坐标为(m,-2m+6)

S四边形4cPQ=SAAOC+S^PQOC=—AO'CO+—(PQ+C。)，。。

22

=Ax1X3+—(-2m+6+3)*m—-m2+—m+—(lWmW3).

2222

(3)CM=V(l-0)2+(4-3)2=V2，CN=7x2+(-2x+3)2MN=

V(x-1)2+(-2x+2)

①当CM=NC时，Vx2+(-2x+3)2=亚，

解得无1=工，X2=l(舍去)

5

此时N(工，」包)

55

②当CM=MN时，(x-l)2+(-2x+2)2=V2，

解得尤1=1+垣，-=1-垣(舍去)，

55

此时N(i+H,4-

55

③当CN=MN时,7x2+(-2x+3)2=V(x-l)2+(-2x+2)2

解得x=2,此时N(2,2)

综上所述：线段上存在点N(工，西)，(2,2),(1+YH,4-汉迈)使ANMC

5555

为等腰三角形.

15.直线y=fcc-4与x轴、y轴分别交于8、C两点，且带

(1)求点8的坐标和Z的值；

(2)若点A时第一象限内的直线y=fcv-4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，

△AOB的面积是6?

(3)在(2)成立的情况下，x轴上是否存在点P,使△POA是等腰三角形？若存在，求

解：(1)•.•直线y=fcc-4与x轴、y轴分别交于8、C两点,

二点C(0,-4),

0C=4,

..0C=4

,0B百，

.•.03=3,

.,.点B(3,0),

；.3k-4=0,

解得：k=2；

3

(2)设A的纵坐标为〃，

VS^A0B=—0B*h=6,且03=3,

2

；・/i=4,

•直线2C的解析式为：y=^x-4,

-3

.,.当y=4时，4=—.V-4,