2024年中考数学提高复习讲义：统计与概率

统计与概率

知识梳理

1.科学计数法

一个大于10的数可以表示成AX10X的形式，其中1WA<1O,N是正整数.

2.扇形统计图

(1)用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大

小，这样的统计图叫作扇形统计图.

⑵扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360。的比.

3.各种统计图的优势

(1)条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.

(2)折线统计图能清楚地反映事物的变化情况.

⑶扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.

4.近似数字和有效数字

(1)测量的结果都是近似的.

(2)利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

(3)对于一个近似数，从左边第一个不是。的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫作这个数的有效

数字.

5.平均数

X]+X?+…+X.、

对于N个数Xi,X2，…,XN我们把不"的结果叫作这N个数的算术平均数，记为X.

6.加权平均数

一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就

是加权平均数.

7.中位数与众数

(DN个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位

数.

(2)一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这个组数据的众数.

⑶优劣：①平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受

极端值影响；②中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；③众数：各个数据如果

重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义.

8.调查

(1)为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总

体的每一个考察对象称为个体.

⑵从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫作总体的一

个样本.

(3)抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力，但

其调查结果往往不如普查得到的结果准确为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.

9.频数与频率

(1)每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率.

(2)当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图.

10.可能性

⑴有些事情我们能确定它一定会发生，这些事情被称为必然事件；有些事情我们能肯定它一定不会发生，这

些事情被称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的.

(2)有很多事情我们无法肯定它会不会发生，这些事情被称为不确定事件.

(3)一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的.

11.概率

(1)人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性.

⑵游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同.

(3)必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0；如果

A为不确定事件，那么0<P(A)<l.

典型例题

例1

在平行四边形ABCD中，AC,BD是两条对角线，现从以下四个关系式①AB=BC；②AC=BD;③ACLBD;④

ABXBC中，任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为—.

解析因为四边形ABCD为平行四边形，

®AB=BC时，则有平行四边形的四边都相等，即为菱形.

②4C=时，则是平行四边形的对角线相等，即为矩形.

@AC1时，则有平行四边形的对角线垂直，即为菱形.

@AB1BC时，则有四边形的邻边垂直，即为矩形.

从上面可以得到，只有①③可以判断平行四边形ABCD为菱形，所以可以推出的概率为

例2

如图所示，将3枚相同的硬币一次放入一个4X4的正方形格子中(每个正方形格子只能放一枚硬币),求所放

的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率.

解析3枚硬币如果没有要求任意放，则第一枚硬币总共可以有16种放法，第二枚硬币则就有15种放法了，

同理，第三枚硬币就有14种放法.总共的放法数就有16x15x14.

若按照要求放硬币即任意两个都不同行且不同列，则第一枚硬币可以任意放总共有16种放法，第二枚硬币为

了和第一枚硬币不在同一行同一列，在第一枚硬币放置的位置所在的行和所在的列都不可以放置，再加上第一枚

硬币放置的位置总共就是7个位置不可以放置，剩下的9个位置可以放置.同样的道理，第三枚硬币可以放置的位

置就有4个，则总共的放法数为16x9x4.

则问题中所求的概率为林为=2

loXIbX14DD

例3

2

从3,0,-1,-2,-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5-爪?)久和关于x的方程(m+l)x+mx

+1=0中m的值，恰好使所得函数的图像经过第一、三象限，目方程有实数根的概率为—.

解析因为函数y=(5-m是正比例函数，要使得它的图像经过第一、三象限，

所以5—m2>0,即m2<5,

所以3,0,-1,-2,-3中,3和-3不符合题意.

现将0,-1,-2代入方程中，一次验证二次函数根的情况.

①m=0时，代入二次函数得%2+1=0,显然无实数解.

②m=-l时，代入二次函数得-x+l=0,为一次函数，有实数解.

③m=-2时，代入二次函数得x2+2x-l=0,A=4+4=8>0,有实数解.

,|因此方程有实数解的概率为.

例4

一个口袋中有4个白球和1个红球，5个人依次在口袋中摸出1个球；

(1)若每人摸出后放回，则第3个人摸到红球的概率是多少？

(2)若摸出白球不放回，则第3个人摸到红球的概率是多少？

⑶若每个人摸出的球不放回，且摸到红球即停止摸球，则第3个人去摸球时摸到红球的概率是多少？

解析⑴每人摸出后放回，因此第3个人摸到红球的概率是

(2)若摸到白球不放回，第3个人是要摸红球，则可以知道前面2个人摸到的是白球，因此第3个摸到红球的

概率为

(3)若每个人摸出的球不放回，且摸到红球即停止摸球，因此前面3个人摸球的所有可能的种数为：5x4x3；而

第3个人摸到红球，则前面2个人需要先摸到白球,那样第3个人才能摸到红球，因此可能的种数为：4x3x1.因

此，第3个人摸球时摸到红球的概率为：条=去

5x4x35

双基训练

1.为了了解我市今年初二期末数学学科各分数段成绩分布情况，从其中抽取120个学生的期末数学成绩进行统

计分析.在这个问题中，样本是指（）,

A.150B.被抽取的150名学生

C.被抽取的150名考生的期末数学成绩D.我市今年初二数学学科成绩

2.下列调查方式中，你认为不合适的个数是（）.

⑴旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式；

（2）了解杭州市人民生活水平，采用全面调查方式；

（3）了解每天杭州市的流动人口量，采用抽样调查方式；

（4）日光灯厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查的方式.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.为了了解某学校初三700名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容

量为（）.

A.700B.50C.700名学生的视力D.50名学生的视力

4.下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）.

A.调查市场上老酸奶的质量情况

B.调查某品牌圆珠笔芯使用寿命

C.调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品

D.调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率

5.在条形统计图中，下列说法正确的是（）.

A.横、纵轴都必须从0开始

B.横、纵轴都不必从0开始

C.纵轴必须从。开始，横轴不必受这个限制

D.横轴必须从。开始，纵轴不必受这个限制

6.小林家今年1~5月份的用电量情况如图所示，由图可知，相邻的两个月中，用电量变化最大的是（）.

第6题图

A.1月至2月B.2月至3月C.3月至4月D.4月至5月

7.已知某天某市连续七天的空气质量指数分别为:120,100,99,67,88,105,70,则这七天空气质量的平均数是（）.

A.120B.67C.92.7D.88

8.下列说法中正确的个数有（）.

⑴一组数据345,5,6,7,8的众数和中位数都是5;

（2）“抛一枚硬币反面向上的概率是会表示每抛硬币2次就有一次反面向上；

（3）“打开电视机，正在播新闻”是必然事件；

⑷调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命适合用抽样调查.

A.lB.2C.3D.4

9.某校七年级1班20名男生的身高如下（单位:cm）:153,156,152,158,156,160,163,145,152,153,162,153,165,150,15

7,153,158,157,158,157.则在139.5〜149.5的频率为（）.

A.-B.-C.-D.一

5102030

10.在一块麦田里抽取1000个小麦穗，考察它的长度,数据落在5.75~6.05之间数据的频率是0.36,则长度在5.

75-6.05之间的麦穗的个数是（）.

A.640B.350C.360D.630

11.A箱子中装有40个白球和10红球，B箱子中装有60个白球、40个红球和50个黑球，除了颜色外大小、

形状没有区别，把A,B两个箱子中的球搅匀了，从中随机抽取一个球，下列正确说法的个数有（）.

（1）从A箱子中摸到红球的概率大；

⑵从B箱子中摸到白球的概率较大；

（3）从两个箱子中摸到红球的概率相等；

⑷无法比较两个箱子中摸到红球的概率

A.lB.2C.3D.4

12.袋中有同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白色，从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相

同的概率为（）.

A.-B.-c.-D.i

3324

13.一个质地均匀的正方形，其六个面上分别标有数字1,2,3,其展开图如图所示，随机抛掷此正方形，力

面朝上的概率是（）.

建muz

第13题图

14.为了估计池塘中有多少鱼，先从池塘中捕捉50条鱼，做了标记以后又放回到池塘中，经过一段时间以后,

等做好记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捉200条，统计有10条鱼做了记号，则估计池塘约有（）条鱼.

A.400B.500C.800D.1000

15.某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占

所有报名人数的百分比为—.

第15邈图

16.某灯泡厂在一次质量检查中，从5000个灯泡中随机抽查了100个，查得合格率为96%，估计这5000个灯

泡中有一个灯泡不合格.

17.一张圆桌旁有4个座位，A先坐在如图所示的位置，B,C,D三个人随机坐到其他3个座位，则A与B

不相邻而坐的概率为

第17题图

18.把标有号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10个乒乓球放在一个箱子中，从中任意取一个号码为小于7的奇数的概

率是一.

19.为了了解某中学毕业班500名学生的中考数学成绩，从中抽取了100名学生的中考数学试卷进行分析，在

这次分析过程中，总体是样本是—，个体是______样本容量是—.

20.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外、形状、大小、质地等完全相

同，小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的概率稳定在5%和15%,则口袋中白色球的个数很可能

是-

能力提升

21.对某校八年级学生随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分，共4个等级.将调

查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图.根据图中信息，这些学生的平均分数是().

成绩频数扇形统计图

A.2.25B.2.5C.2.95D.3

22.一个质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1至1]6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上面的数

字记为A，掷第二次，将朝上面的数字记为B,则(A,B)落在直线y=-x+6上的概率为().

A.—B.-C.-D.-

36946

23.在对n个数据进行整理时，把这些数据分成7组，则各组的频数之和与概率之和为().

A.n和1C.n和7D.1和1

24.某初中要了解七年级女生的体重,以便掌握她们的身体发育情况,从七年级学生的700名女生中抽取50名

进行体重检测，在这个问题中，下列说法正确的是().

A.700名女生是个体B.700名女生的体重是总体

C.50名是样本D.50名女生是总体的一个样本

25.小芳同学有两根长度为4cm,10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择(如图所

示),从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是.

15cm

第25题图

26.如图所示，电路图上有四个开关A,B,C,D和一个灯泡.

⑴任意闭合其中一个开关，求灯泡发光概率.

(2)任意闭合其中两个开关，请用树状图的方法求出小灯泡的发光概率.

27.如图所示,口袋中5张完全相同的卡片，分别写有1cm,2cm,3cm,4cm,5cm.口袋外有2张卡片，分别写有4cm

和5cm.现随机从袋中取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别组成三条线段的长度，回

答下列问题：

(1)求这三条线段能构成三角形的概率.

(2)求这三条线段能构成直角三角形的概率.

(3)求这三条线段能构成等腰三角形的概率.

第27题图

28.如图所示的两个转盘分别被均匀地分成3个和4个扇形，每个扇形上都标有一个实数，同时自由转动两个

转盘，转盘停止后(若指针指在分格线上，则重转)，两个指针都落在无理数上的概率是多少？

第28题图

拓展资源

29.“国际无烟日，来临之际，小冰就某市公众对在餐厅中吸烟所持的态度进行了调查，并将调查结果制作成如

下图所示的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：

(1)被调查者中，不吸烟者赞成在餐厅彻底禁烟的人数是—.

(2)被调查者中，希望在餐厅设立吸烟室的人数是—.

⑶求被调查者中赞成在餐厅彻底禁烟的概率.

(4)该市现有人口约370万，根据图中的信息估计该市现有人口中赞成在餐厅彻底禁烟的人数.

30.为培养学生养成勤俭节约的习惯，学校开展对废旧用品的收集活动(主要包括旧报纸、旧书本、饮料瓶),

随机抽取三年级五个班级学生一周收集的情况进行统计，统计结果如下图所示.已知饮料瓶每个卖01元，解答下

歹D问题：

各班收集饮料瓶的数量统计表

班级个数

一班80

二班120

三班90

四班110

五班100

(1)三年级五个班级一周收集的饮料瓶共卖多少钱？

⑵三年级五个班级一周收集的三种物品总共卖多少薪°题图五个班级收集三种废品的所卖钱数扇形统计图

(3)已知收集的旧书本共卖100元，请补全扇形统