2024-2025学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示课时作业含解析北师大版选修2-1

PAGEPAGE6课时作业8空间向量运算的坐标表示时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(B)A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)解析：b＝(a＋b)－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2，4，－2)．2．下列各组向量中不平行的是(D)A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)解析：b＝－2a⇒a∥b；d＝－3c⇒d∥c；零向量与任何向量都平行⇒e∥f.3．已知点A的坐标为A(1,1,0)，向量eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,0,2)，则点B的坐标为(B)A．(7，－1,4) B．(9,1,4)C．(3,1,1) D．(1，－1,1)解析：设B(x，y，z)，则eq\f(1,2)(x－1，y－1，z)＝(4,0,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1＝4，,\f(1,2)y－1＝0，,\f(1,2)z＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝1，,z＝4，))∴点B的坐标为(9,1,4)．4．若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(D)A．cos〈a，b〉＝eq\f(1,2) B．a⊥bC．a∥b D．|a|＝|b|解析：∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝eq\r(12＋22＋02)＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(－22＋02＋12)＝eq\r(5)，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝－eq\f(2,5).易知A，B不正确，D正确，C明显也不正确．5．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则(C)A．x＝1，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2) D．x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2)解析：由a∥b得eq\f(2x,1)＝eq\f(1,－2y)＝eq\f(3,9).解得x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2).故选C.6．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为eq\f(8,9)，则λ＝(C)A．2 B．－2C．－2或eq\f(2,55) D．2或－eq\f(2,55)解析：a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝eq\r(5＋λ2)·eq\r(9)·eq\f(8,9)＝eq\f(8,3)eq\r(5＋λ2)，所以eq\f(8,3)eq\r(5＋λ2)＝6－λ，解得λ＝－2或λ＝eq\f(2,55).7．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形态是(C)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－3，1)．因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×5－3×1－7×1＝0，所以AC⊥BC.所以∠ACB＝90°.又因为|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5eq\r(3)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，即|eq\o(AC,\s\up6(→))|≠|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以△ABC为直角三角形．8．已知两点的坐标为A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|的取值范围是(B)A．[0,5] B．[1,5]C．(1,5) D．[1,25]解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2cosβ－3cosα，2sinβ－3sinα，0)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(3cosα－2cosβ2＋3sinα－2sinβ2)＝eq\r(13－12cosα－β).由于cos(α－β)∈[－1,1]，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|∈[1,5]．二、填空题9．已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(5,13，－3)．解析：由平行四边形中对角线相互平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点为(eq\f(7,2)，4，－1)，设D(x，y，z)，则eq\f(7,2)＝eq\f(x＋2,2)，4＝eq\f(－5＋y,2)，－1＝eq\f(1＋z,2)，∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．10．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝eq\r(258).解析：∵a－2b＝(8，－5,13)，∴|a－2b|＝eq\r(82＋－52＋132)＝eq\r(258).11．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,3,0)，则∠ABC＝eq\f(3π,4).解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,3,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2＋12＋0＝10，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋42＋02)＝2eq\r(5)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(－12＋32＋02)＝eq\r(10)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(10,2\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),2)，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,4)，∴∠ABC＝eq\f(3π,4).三、解答题12．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)若ka＋b与ka－2b相互垂直，求k的值．解：由题意可知a＝(1,1,0)，b＝(－1，0,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)．(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)，∴|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，ka＋b与ka－2b相互垂直，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).13．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动(O为坐标原点)，当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值时，求点Q的坐标．解：由于eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，点Q在直线OP上，所以eq\o(OQ,\s\up6(→))与eq\o(OP,\s\up6(→))共线，故可设eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，所以点Q的坐标为(λ，λ，2λ)．所以eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－eq\f(4,3))2－eq\f(2,3).当λ＝eq\f(4,3)时，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值．此时Q点的坐标为(eq\f(4,3)，eq\f(4,3)，eq\f(8,3))．——实力提升类——14．已知a＝(1,1,1)，b＝(0，y,1)(0≤y≤1)，则cos〈a，b〉的最大值为(D)A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(6),3)解析：方法1：构造正方体ABCO­A′B′C′D′，设正方体的边长为1，如图所示．设点E为线段D′C′上的任一点，则eq\o(OB′,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝(0，y,1)，故可取eq\o(OB′,\s\up6(→))为a，eq\o(OE,\s\up6(→))为b.易知当点E在C′位置时，〈a，b〉最小，即cos〈a，b〉最大，此时b＝(0,1,1)，即cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1×0＋1×1＋1×1,\r(3)×\r(2))＝eq\f(\r(6),3)，即cos〈a，b〉的最大值为eq\f(\r(6),3).方法2：∵a＝(1,1,1)，b＝(0，y,1)(0≤y≤1)，∴a·b＝y＋1，|a|＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(y2＋1)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(y＋1,\r(3)·\r(y2＋1)).设t＝eq\r(y2＋1)，则t2－1＝y2，∵0≤y≤1，t>0，∴y＝eq\r(t2－1)(1≤t≤eq\r(2))，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,\r(3))·eq\f(\r(t2－1)＋1,t)＝eq\f(1,\r(3))(eq\r(1－\f(1,t2))＋eq\f(1,t))．设sinα＝eq\f(1,t)，则eq\f(\r(2),2)≤sinα≤1，即eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,\r(3))(eq\r(1－sin2α)＋sinα)＝eq\f(1,\r(3))(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),\r(3))sin(α＋eq\f(π,4))，∴当α＝eq\f(π,4)时，cos〈a，b〉取得最大值，且最大值为eq\f(\r(6),3).15．已知空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)．(1)求△ABC的面积．(2)求△ABC中AB边上的高．解：(1)由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,0，－8)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋9＋4)＝eq\r(14)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋0＋64)＝2eq\r(17)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－14,\r(14)×2\r(17))＝eq\f(－\r(14),2\r(17))，∴sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\f(14,68))＝eq\