2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE5-课时分层作业(七)平行关系的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行 B．平行或异面C．平行或相交 D．异面或相交B[由题意知，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．]2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且肯定交于同一点C．都相交但不肯定交于同一点D．都平行或交于同一点A[因为直线l∥平面α，所以依据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.]3．已知直线a∥平面α，直线b平面α，则()A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交 D．a与b无公共点D[由题意可知a与b平行或异面，所以两者无公共点．]4．如图，四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.]5如图，平面α∥平面β，过平面α，β外一点P引直线l1分别交平面α，平面β于A，B两点，PA＝2，AB＝6，引直线l2分别交平面α，平面β于C，D两点，已知BD＝4，则AC的长等于()A．2 B．1C．4 D．3B[由l1∩l2＝P，知l1，l2确定一个平面γ，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∩γ＝AC,β∩γ＝BD,α∥β))⇒AC∥BD⇒eq\f(PA,PB)＝eq\f(AC,BD)，∴eq\f(2,2＋6)＝eq\f(AC,4)，解得AC＝1.]二、填空题6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段eq\r(2)[因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝eq\f(1,2)AC，又因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).]7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)①②⇒③(或①③⇒②)[①②⇒③.设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵nα，lα，∴n∥α.]8．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若aα，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．④[①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．]三、解答题9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．[证明]因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四边形BCFE是梯形．10．如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′相互平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．[证明]在平行四边形A′B′C′D′中，A′D′∥B′C′.∵AA′∥BB′，AA′∩A′D′＝A′，BB′∩B′C′＝B′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.∵平面AA′D′D∩平面ABCD＝AD，平面BB′C′C∩平面ABCD＝BC，∴AD∥BC.同理可证AB∥DC.故四边形ABCD是平行四边形．1．如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与ABA．异面 B．平行C．相交 D．以上均有可能B[因为A1B1∥AB，AB平面ABC，A1B1平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.又A1B1平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1，所以DE∥AB.]2．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶25D[由题意知，△A′B′C′∽△ABC，从而eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(4,25).]3．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．平行[由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.]4．如图，A是△BCD所在平面外一点，M是△ABC的重心，N是△ADC的中线AF上的点，并且MN∥平面BCD.当MN＝eq\f(4,3)时，BD＝________.4[如图，取BC的中点E，连接AE，EF，则点M在AE上，并且AM∶AE＝2∶3.因为MN∥平面BCD，所以MN∥EF.所以MN∶EF＝2∶3.而EF＝eq\f(1,2)BD，所以BD＝3MN＝4.]5．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF[解]如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF，所以